第十二章 极限和导数一、数学归纳法：1、数学归纳法的步骤：“两步一结论”.2、数学归纳法的应用：主要用于证明与自然数有关的恒等式和不等式.3、重要的数学思想和方法：“归纳—猜想—证明”. 习题：① 用数学归纳法证明：111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++. ② 用数学归纳法证明：1111122334(1)n n n +++<⋅⋅⋅+. *(N )n ∈③ 已知数列{}n a 满足2n n S n a =-，求n a .二、极限1、数列极限：（1）公式：lim n C C →∞=（C为常数）；1lim0pn n →∞=（p>0）；0 1lim 1 111n n q q q q q →∞⎧<⎪==⎨⎪>=-⎩不存在或. （2）运算法则：若数列{}n a 和{}n b 的极限都存在，则{}n a 和{}n b 的和、差、积、商的极限等于{}n a 和{}n b 的极限的和、差、积、商.例题：① 将直线1:10l x y +-=、2:0l nx y n +-=、3:0l x ny n +-=（*n N ∈，2n ≥）围成的三角形面积记为n S ，则lim n n S →∞= .② 已知p 和q 是两个不相等的正整数，且2q ≥，则111lim 111pq n n n ∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭→ ．习题：① 135(21)lim(21)n n n n →∞++++-=+ .② 设0<a <b ，则4lim nn nn b a b →∞-=_ ____.③ 若(1)1lim2n a n n a∞++=+→，则a．④ 221lim2(11)n n n n →∞+--等于 ．⑤ 数列2141n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和为S n ，则lim n n S →∞＝________.⑥ 已知数列{}n a 的首项10a ≠，其前n 项的和为n S ，且112n n S S a +=+，则lim nn na S →∞= .2、函数极限：（1）公式：lim x C C →∞= （C 为常数）；1lim0px n →∞= （p>0）；0 1lim 1 111x x a a a a a →+∞⎧<⎪==⎨⎪>=-⎩不存在或；0 1lim 1 1 11x x a a a a a →-∞⎧>⎪==⎨⎪<=-⎩不存在或. （2）运算法则：若函数()f x 和)(x g 的极限都存在，则函数)(x f 和)(x g 的和、差、积、商的极限等于)(x f 和)(x g 的极限的和、差、积、商.习题：① 211lim______34x x x x →-=+-；2241lim()42x x x→--=-+ . ② 已知22lim7x ax cx bx c →∞+=+，lim 5x bx c cx a→∞+=+，且0bc ≠，则22lim x ax bx ccx ax b →∞++=++ . ③ 222sin lim(tan )cos x xx xπ→-= .3、函数的连续性：函数)(x f 在0x x =处连续的充要条件是00lim ()()x x f x f x →=.习题：① 已知函数2 3 ( 0 )() (0 )x x f x a x +≠⎧=⎨=⎩在x =0处连续，则a = .② 已知2 3 , 1() 2 , 1x x f x x +≠⎧=⎨=⎩，下面结论正确的是 （ ）（A ）()f x 在1x 处连续 （B ）(1)5f（C ） 1lim ()2x f x -→= （D ） 1lim ()2x f x →= ③ 若21lim()111x a bx x→-=--，则常数b a ,的值分别为 .三、导数1、导数的概念：（1）导数的定义：函数()y f x =在0xx 处的导数/0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-=∆.（2）导数的几何意义：曲线()y f x =上点00(,())x f x 处的切线的斜率为/0()f x .因此曲线()y f x =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为/000()()()y f x f x x x -=-.（3）导数的物理意义：若质点运动的位移函数为S =s (t ),则0t t 时质点运动的瞬时速度是0'()s t .例题：① 若000(2)()lim 13x f x x f x x∆→+∆-=∆，则0'()f x 等于 .② 若曲线12y x-=在点12(,)a a-处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a = .③ 如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为()()()00S t S =，则导函数()y S t '=的图像大致为④ 已知曲线314()33f x x =+. (1) 求曲线在点(2,4)P 处的切线方程； (2) 求曲线过点(2,4)P 的切线方程. ⑤ 求抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值.习题：① 若000()()lim1x f x x f x x∆→-∆-=∆，则0'()f x 等于 .② 运动曲线方程为2212t S t t-=+，则t=3时的速度是 .③ 已知函数y =f (x ),y =g (x )的导函数的图象如下图，那么y =f (x ),y =g (x )的图象可能是④ 曲线221xy x =+在点（1，1）处的切线方程是 . ⑤ 已知点P 在曲线y=41x e 上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 .2、导数的运算：（1）常见函数的导数：'0C =；1()'n n x nx -=；(sin )'cos x x =；(cos )'sin x x =-.1(ln )'x x =；1(log )'log a a x e x=；()'x x e e =；()'ln x xa a a =. （2）导数的四则运算法则： '''[()()]()()u x v x u x v x ±=±；[()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()C u x C u x '⋅=⋅；'2()'()()()'()(()0)()()u x u x v x u x v x v x v x v x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦.（3）复合函数的求导法则：首先，选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系y =f (μ)，μ=f (x )；然后将已知函数对中间变量求导(')y μ，中间变量对自变量求导)'(x μ；最后求''x y μμ⋅，并将中间变量代回为自变量的函数习题：① 若42()f x ax bx c 满足(1)2f '=，则(1)f '-= .② 等比数列{}n a 中，12a =，84a =，()128()()()f x x x a x a x a =---，则()0f '= .③ 求下列函数的导数：（1）1ln 1x y x -=+ (1)x（2）42ln1x y x =+.3、导数的应用：（1）求函数的单调性：用导数求函数单调区间的一般步骤为：求()f x '；()f x '>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；()f x '<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间.例题：① 函数2()xf x x e -=的单调递增区间为 . ② 已知函数2()ln(1)(0)2k f x x x x k =+-+≥，求f (x )的单调区间. ③ 若函数3211()(1)132f x x ax a x =-+-+在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）上为增函数，试求实数a 的取值范围.④已知函数42()32(31)4f x ax a x x =-++在()1,1-上是增函数，求a 的取值范围.习题：① 函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 . ② 若3()f x ax x =+恰有三个单调区间，则a 的取值范围是 .③ 已知a >0，函数f （x ）=x 3－ax 在［1，+∞）上是单调增函数，则a 的最大值是 .④ 求函数3211()(1)32f x x a x ax b =-+++（,R a b ∈）的单调性. ⑤ 是否存在这样的k 值，使函数243221()232f x k x x kx x =--++在（1，2）上递减，在（2，+∞）上递增（2）求函数的极值：求导数()f x '；求方程()f x '=0的根；用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查()f x '在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则()f x 在这个根处无极值.例题：① 已知函数f （x ）=ax 3+bx 2－3x 在x =±1处取得极值，求f （x ）的极大值和极小值. ② 函数f （x ）=x 3－6bx +3b 在（0，1）内有极小值，则b 的取值范围为 . ③ 已知函数321()(2)13f x ax bx b x =-+-+在1x x 处取得极大值，在2x x 处取得极小值，且1212x x ．（1）证明0a ；（2）若z =a +2b ,求z 的取值范围.习题：① 已知函数()f x =x 3+ax 2+bx +a 2在x =1处有极值为10，则(2)f =______② 设a 为实数，函数32()f x x x x a =--+，求()f x 的极值. ③ 设函数()sin cos 1f x x x x =-++，02x π<<，求函数()f x 的极值.（3）求函数的最值：利用导数求函数的最值步骤:求()f x 在(,)a b 内的极值；将()f x 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数()f x 在,a b 上的最值.例题：① 函数32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 .② 求抛物线212y x =上与点)0,6(A 距离最近的点. ③ 设函数321()(1)4243f x x a x ax a =-+++，其中常数1a .（1）讨论()f x 的单调性；（2）若当0x ≥时，()0f x 恒成立，求a 的取值范围.习题：① 用总长148 m 的钢条制作一个长方体容器的框架如果所制作容器的底面的一边比另一边长05 m ，那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积.②设1()1xxa f x a +=-(a >0且1)a ≠，g (x )是f (x )的反函数.当[2,6]x ∈时，恒有2()log (1)(7)a tg x x x >--成立，求t 的取值范围.（4）证明不等式： 例题：① 当0＜x ＜2π时，证明： 2πx ＜sin x ＜x . ② 设a 为实数，函数()22,x f x e x a x =-+∈R .求证：当ln 21a >-且0x >时，221x e x ax >-+.习题：求证不等式：)1(2)1ln(222x x x x x x +-<+<- ),0(∞+∈x .（5）讨论方程的根的情况：利用数形结合法，方程()0f x 的根就是函数()y f x 和x 轴的图象交点的横坐标.例题：① 函数432()410f x x x x =-+，则方程()0f x =在区间［1，2］上的根有 个. ② 已知函数3()f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程； （2）设0a ，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<．习题：设函数329()62f x x x x a =-+-，且方程()0f x 有且仅有一个实根，求a 的取值范围．第十三章 复 数一、复数的有关概念1、复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部. 全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示.2、复数的分类：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数.3、共轭复数：复数z =a +b i 和z =a －b i(a 、b ∈R )互为共轭复数.4、复数相等的充要条件：a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d .5、复数的几何意义：复数和复平面内的点一一对应.二、复数的运算1、复数的加法：(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i .2、复数的减法：(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i .3、复数的乘法：(a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i . （类似两个多项式相乘.）4、复数的除法：()()()()a bi a bi c di c di c di c di ++-=++-2222ac bd bc ad i c d c d +-=+++.（分母实数化.） 5、运算性质：（1）i 幂的周期性：i 4n+1=i ，i 4n+2=-1，i 4n+3=-i,，i 4n =1.（2）22()()a bi a bi a b +-=+.（3）22(1)2; (1)2i i i i +=-=.习题：1、计算(2+i)+(3+i 3)+(4+i 5)+(5+i 7)(其中i 为虚数单位)的值是 .2、复数3223i i +=- ；41i ()1i+-= . 3、在复平面内，复数21i i -对应的点的坐标为 . 4、设复数z 满足z(2-3i)=6+4i （其中i 为虚数单位），则z =_______.5、已知复数23(13)i z i +=-，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅= . 6、设x 、y ∈R ，且i 1-x －i 21-y =i315-，则x +y =________. 7、在复平面内，若i i m i m z 6)4()1(2-+-+=所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是 .8、设a ∈R ，z ∈C ，且2222z a z a -+是纯虚数，则x 、y 应满足的关系是 . 9、设z 是虚数，ω=z +z1是实数，且－1＜ω＜2. （1）求z 的实部的取值范围；（2）设u =zz +-11，求证：u 为纯虚数； （3）求ω－u 2的最小值.。