6．在正方形 中，点 是 边上任意一点，连接 过点 作 于 ，交 于 .
如图1，过点 作 于 .求证: ；
如图2，点 为 的中点，连接 ，试判断 存在什么数量关系并说明理由；
如图3， ，连接 ，点 为 的中点，在点 从点 运动到点 的过程中，点 随之运动，请直接写出点 运动的路径长.
7．已知正方形 与正方形（点C、E、F、G按顺时针排列），是的中点，连接，.
由平移可知： ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
在 ， ，
∴ ，
∴四边形 是菱形；
(3)连接 ,
在 中， ，
，
∴ ，
∴ ；
(4)在BC上取一点E，连接AE，平移△ABE得到△DCF，可得四边形AEFD是平行四边形.
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定定理，菱形的判定及性质，平移的性质的应用，勾股定理.
2．（1）①120°；②BC＝CD+CF；（2）不成立，见解析；（3）8，
【分析】
（1）①根据菱形的性质以及等边三角形的性质，推出△ACF≌△ABD，根据全等三角形的性质即可得到结论；②根据全等三角形的性质得到CF=BD，再根据BD+CD=BC，即可得出CF+CD=BC；
（2）依据△ABD≌△ACF，即可得到∠ACF+∠BAC=180°，进而得到AB∥CF；依据△ABD≌△ACF可得BD=CF，依据CD-BD=BC，即可得出CD-CF=BC；
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一、解答题
1．（1）矩形；（2）菱形；（3） ；（4）见解析
【分析】
（1）由平移推出 ，即可证得四边形 是平行四边形，再根据 ，得到 即可得到结论；
（2）由平移推出 ，证得四边形 是平行四边形，根据 得到 ，再根据勾股定理求出AF=5=AD，即可证得四边形 是菱形；
(II)若AE3时，且△CDB'是以DB'为腰的等腰三角形，试求DB'的长；
(III)若AE8时，且点B'落在矩形内部（不含边长），试直接写出DB'的取值范围.
9．如图， 中， ，连结 ， 是 边上一点，连结 交 于点 ．
（1）如图1，连结 ，若 ， ，求 的面ห้องสมุดไป่ตู้；
（2）如图2，延长 至点 ，连结 、 ，点 在 上，且 ， ，过 作 于点 ．若 ，求证： ．
（1）试问四边形 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的 值；如果不能，请说明理由；
（2）当 为何值时， ？请说明理由.
5．已知在 和 中， ， ， ， ．
（1）如图1，若 ， 、 、 三点共线，连接 ：
①若 ，求 长度；
②如图2，若点 是 中点，连接 ， ，求证： ；
（2）如图3，若点 在线段 上，且 ，试直接写出 面积的最小值．
（1）（观察猜想）如图（1），当点D在线段CB上时，
① ；
② 之间数量关系为．
（2）（数学思考）：如图（2），当点D在线段CB的延长线上时，（1）中两个结论是否仍然成立？请说明理由．
（3）（拓展应用）：如图（3），当点D在线段BC的延长线上时，若 ， ，请直接写出 的长及菱形ADEF的面积．
．
3．如图，在 中， 平分 交 于点 ， 垂直平分 ，分别交 ， ， 于点 ， ， ，连接 ， ．
拓展延伸：（3）在（2）的条件下，求出四边形 的两条对角线长；
（4）若四边形 为正方形，请仿照上述操作，进行一次平移，在图③中画出图形，标明字母，你能发现什么结论，直接写出你的结论．
2．在等边三角形ABC中，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD的上方作菱形ADEF，且∠DAF=60°，连接CF．
（3）当AB=5，CE=3时，正方形的顶点C、E、F、G按顺时针排列.若点 在直线CD上，则DM=;若点E在直线BC上，则DM=.
8．如图，在矩形ABCD中，AB16 ， BC18，点E在边AB上，点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在点B'处.
(I)若AE0时，且点B'恰好落在AD边上，请直接写出DB'的长；
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ， ， ，求 的长；
（3）在（2）的条件下，求四边形 的面积．
4．如图，在 中， ，点 从点 出发沿 方向以 的速度向点 匀速运动，同时点 从点 出发沿 方向以 的速度向点 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个地点也随之停止运动.设点 运动的时间是 秒（ ）.过点 作 于点 ，连接 .
（3）先利用勾股定理求出 ，再根据菱形的面积求出 ；
（4）在BC边上取点E，连接AE，平移△ABE得到△DCF，可得四边形AEFD是平行四边形.
【详解】
(1)四边形 是矩形，
在 中， ， ，
由平移可知： ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形；
(2)四边形 是菱形，
在矩形 中， ， ，
数学平行四边形知识点-+典型题及解析
一、解答题
1．综合与实践．
问题情境：
如图①，在纸片 中， ， ，过点 作 ，垂足为点 ，沿 剪下 ，将它平移至 的位置，拼成四边形 ．
独立思考：（1）试探究四边形 的形状．
深入探究：（2）如图②，在（1）中的四边形纸片 中，在 ．上取一点 ，使 ，剪下 ，将它平移至 的位置，拼成四边形 ，试探究四边形 的形状；
10．如图，在矩形ABCD中，AD＝nAB，E，F分别在AB，BC上．
（1）若n＝1，AF⊥DE．
①如图1，求证：AE＝BF；
②如图2，点G为CB延长线上一点，DE的延长线交AG于H，若AH＝AD，求证：AE+BG＝AG；
（2）如图3，若E为AB的中点，∠ADE＝∠EDF．则 的值是_____________（结果用含n的式子表示）．
（1）如图1，点 在上，点在的延长线上，
求证： =ME， ⊥.ME
简析：由是的中点，AD∥EF，不妨延长EM交AD于点N，从而构造出一对全等的三角形，即≌.由全等三角形性质，易证△DNE是三角形,进而得出结论.
（2）如图2，在 的延长线上，点在上，（1）中结论是否成立？若成立,请证明你的结论；若不成立，请说明理由.
（3）依据 ，即可得到 ，利用 是等边三角形， ，可得 ，即可得出HD的长度，利用勾股定理即可求出AD的长度，即可得出结论．
【详解】
解：（1）在等边△ABC中，AB=AC，∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°