经典几何模型之隐圆”“圆来如此简单”一.名称由来在中考数学中，有一类高频率考题，几乎每年各地都会出现，明明图形中没有出现“圆”，但是解题中必须用到“圆”的知识点，像这样的题我们称之为“隐圆模型”。

正所谓：有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相逢。

“隐圆模型”的题的关键突破口就在于能否看出这个“隐藏的圆”。

一旦“圆”形毕露，则答案手到擒来！二.模型建立【模型一：定弦定角】【模型二：动点到定点定长（通俗讲究是一个动的点到一个固定的点的距离不变）】【模型三：直角所对的是直径】【模型四：四点共圆】三．模型基本类型图形解读【模型一：定弦定角的“前世今生”】【模型二：动点到定点定长】【模型三：直角所对的是直径】【模型四：四点共圆】四．“隐圆”破解策略牢记口诀：定点定长走圆周，定线定角跑双弧。

直角必有外接圆，对角互补也共圆。

五．“隐圆”题型知识储备3六．“隐圆”典型例题 【模型一：定弦定角】1.（2017 威海）如图 1，△ABC 为等边三角形，AB =2，若 P 为△ABC 内一动点，且满足 ∠PAB =∠ACP ，则线段 PB长度的最小值为_ 。

简答：因为∠PAB =∠PCA ，∠PAB +∠PAC =60°，所以∠PAC +∠PCA =60°，即∠APC =120°。

因为 AC 定长、∠APC =120°定角，故满足“定弦定角模型”，P 在圆上，圆周角∠APC =120°，通过简单推导可知圆心角∠AOC =60°，故以 AC 为边向下作等边△AOC ，以 O 为圆心，OA 为半径作⊙O ，P 在⊙O 上。

当 B 、P 、O 三点共线时，BP 最短（知识储备一：点圆距离），此时 BP =2 -22. 如图 1 所示，边长为 2 的等边△ABC 的原点 A 在 x 轴的正半轴上移动，∠BOD =30°，顶点 A 在射线 OD 上移动，则顶点 C 到原点 O 的最大距离为 。

3 2 2 简答：因为∠AOB =30°（定角），AB =2（定弦），故 A 、B 、O 三点共圆，圆心角为 60°，故以 AB 为边向 O 方向作等边△ABQ ，∠AQB =60°为圆心角，Q 为圆心，以 QA 为半径作 ⊙ Q （ 如 图 2 ）， 由 知 识 储 备 二 可 知 当 OC ⊥ AB 时 ， OC 距 离 最 大 ，OC =OQ +QH +HC =2+ + =2+2 【思考：若∠BOD =45°呢？（提示：需要构造倍角模型）】 3. 如图 1，点 A 是直线 y =-x 上的一个动点，点 B 是 x 轴上的动点，若 AB =2，则△AOB 面积最大值为（ ） A. 2 B . + 1C. -1D.2简答：因为 AB =2（定弦），∠AOB =135°（定角），因为∠AOB 是圆周角，故圆心角为 90°，以 AB 为斜边向上方作等腰直角△QAB ，则 Q 为圆心（如图 2），由“知识储备二”可知，当 OQ ⊥ AB 时 ， 此 时 △ OAB 的 高 OH 最 大 ， 面 积 最 大 。

面 积 为 1 AB • OH = 1• 2 • ( 2 - 1) = 2 22 - 1 ，所以此题选择 B 。

同学：老师，你说错答案了，选 C 。

小段老师：没错啊，就选 B 啊。

同学：你是老师，你说了算，你开心就好...3 3 23 3 小段老师：题目有告诉你们 A 、B 在哪里吗，为什么想当然觉得∠AOB =135°呢，难道不可能等于 45°吗？如图 3，构建⊙Q ，由“知识储备二”可知当 OQ ⊥AB 时，此时△OAB 的面积最大为 1 AB • OH = 1• 2 • ( 2 +1) = 2 22 +1 ，故答案选 B4. 如图 1，AC 为边长为 2 的菱形 ABCD 的对角线，∠ABC =60°，点 M 、N 分别从点 B 、 C 同时出发，以相同速度沿 BC 、CA 向终点 C 和 A 运动，连接 AM 和 BN ，求△APB 周长的最大值简答：如图 2，由 M 、N 点速度相同可知 BM =CN ，易证△ABM ≌△BCN ，故∠NBC =∠BAM（如图 2），又因为∠NBC +∠ABN =60°，所以∠BAM +∠ABN =∠APN =60°（外角性质），所以∠APB =120°（定角），又因为 AB 长度固定（定弦），故以 AB 为底向左侧构建等腰△ QAB ，∠AQB =120°，则 P 在⊙Q 上，由“知识储备三”可知，当△ABP 是等腰三角形时，△ABP 周长最短。

又由△APB 是定角为 120°的等腰三角形，故 AP :BP :AB =1:1: ，AB =AC =2 ，故 PB =PA =2，故△ABP 的周长最大值为 4+2【模型二：动点到定点定长】 1. 如图 1，四边形 ABCD 中，AB =AC =AD ,若∠CAD =76°，则∠CBD =度。

简答：如图 2，因为 AB =AC =AD ，故 B 、C 、D 三点在以 A 为圆心的圆上，故∠CBD = 1 ∠2CAD =38° 2. 如图，在△ABC 内有一点 D ，使得 DA =DB =DC ，若∠DAB =20°，则∠ACB = 。

3 3简答：如图 2，因为DA=DB=DC，故A、B、C 三点在⊙D 上，∠DAB=∠DBA=20°，故∠ADB=140°，故∠ACB= 1∠ADB=70°23.如图 1，已知四边形ABCD 中，AB∥CD，AB=AC=AD=5，BC=6，求BD简答：因为∠1=∠2，AD∥BC，故∠3=∠1，∠4=∠2，故易证△AEB≌△ACD，故EB=CD=6，ED=2AD=10，故BD=84.如图 1，长 2 米的梯子AB 竖直放在墙角，在沿着墙角缓慢下滑直至水平地面过程中，梯子AB 的中点P 的移动轨迹长度为？.简答：由斜边上的中点等于斜边的一半可知，OP=1，动点P 到定点O 的距离始终等于 1，满足圆的定义（到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆），故P的运动轨迹是圆弧，圆心角为90°，轨迹长度为四分之一圆的长度，省略。

5.在矩形ABCD 中，已知AB=2，BC=3，现有一根长为 2 的木棒EF 紧贴着矩形的边（即两个端点始终落在矩形的边上），接逆时针方向滑动一周，则木棒 EF 的中点 P 在运动过程中所围成的围形的面积为？如图 1 如图 2简答：由上一题可知，P 的运动轨迹是圆弧，因为滑动一周，故有四个圆弧，则点 P 所围成的图形为中间的图形，用矩形的面积减去四个四分之一圆的面积即可，答案： 6 -π6. 如图 1，在矩形 ABCD 中，AB =2，AD =3，点 E ，F 分别为 AD 、DC 边上的点，且 EF =2， G 为 EF 的中点，P 为 BC 边上一动点，则 PA +PG 的最小值为？如图 1 如图 2简单：G 的运动轨迹为圆，求 AP +PG 典型的“将军饮马”问题，故做 A 关于 BC 的对称点A ＇，则 AP +PG =A ＇P +PG ，当 A ＇、P 、G 三点共线时，最短，又因为 A ＇为固定点，G 在圆上运动，由“知识储备一”可知当 A ＇、G 、D 三点共线时，此时 A ＇G 最短，为 47. 在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（3，0），B 为 y 轴正半轴上的点，C 为第一象限内的点，且 AC =2.设 t AN ∠BOC =M ，则 M 的取值范围为？简答：因为 AC =2，A 是定点，通过圆的定义（到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆） 可知，C 在⊙A 上运动，当 OC 与⊙A 相切时，此时∠BOC 最小，t AN ∠BOC 也最小，此时∠BOC +∠AOC =∠AOC +∠CAO =90°，故∠BOC =∠CAO ，此时 t AN ∠CAO = OC = 5，AC 23 3 又因为角度越大，正切值越大，故 t AN ∠BOC =M ≥ 528. 如图 1，在 R t△ABC 中，∠C =90°，AC =7，BC =8，点 F 在边 AC 上，并且 CF =2，点 E为边 BC 上的动点，将△CEF 沿直线 EF 翻折，点 C 落在点 P 处，则点 P 到边 AB 距离的最小值是？简答：E 是动点，导致 EF 、EC 、EP 都在变化，但是 FP =FC =2 不变，故 P 点到 F 点的距离永远等于 2，故 P 在⊙F 上运动，如图 2。

由垂线段最短可知，FH ⊥AB 时，FH 最短， 当 F 、P 、H 三点共线时，PH 最短，又因为△AFH ∽△ABC ，所以 AF :FH :AH =5:4:3，又因为 AF =5，故 FH =4，又因为 FP =2，故 PH 最短为 2 9. 如图，在□ABCD 中，∠BCD ＝30°，BC ＝4，CD ＝ 3 3 ，M 是 AD 边的中点，N 是 AB 边上一动点，将△AMN 沿 MN 所在直线翻折得到△PMN ，连接 PC ，则 PC 长度的最小值是？简答：翻折过程中，MP =MA =2，故 P 在⊙M 上运动，当 M 、P 、C 三点共线时，PC 最短。

PC =MC -MP ，要求 MP 需要过 M 作 MH ⊥CD 于 H ，∠HDM =30°，故 HM =1，HD = ，故 HC =4 ，故易求 MC =7，则 PC =7-2=5【模型三：直角所对的是直径】1. 如图 1，R t△ABC 中，AB ⊥BC ，AB =6，BC =4，P 是△ABC 内部的一个动点，且始终有 AP ⊥BP ，则线段 CP 长的最小值为？2 2简答：如图 2，因为 AP ⊥BP ，∠P =90°（定角），AB =6（定弦），故 P 在以 AB 为直径的 ⊙H 上，当 H 、P 、C 三点共线时 CP 最短，HB =3，BC =4 则 HC =5，故 CP =5-3=2 2. 如图 1，A （1,0）、B （3,0），以 AB 为直径作圆 M ，射线 OF 交圆 M 于 E 、F 两点，C 为弧 AB 的中点，D 为弦 EF 的中点，当射线绕 O 旋转时，CD 的最小值为？简答：因为 D 是 EF 中点，故 MD ⊥EF ，故∠ODM 始终等于 90°，故 D 在以 OM 为直径的圆上，如图 2。

易知 A 为圆心，当 A 、D 、C 三点共线时，CD 最短，CD =AC -AD ，又易知 C （2,1），故 AC = ，故 CD = -13. 在△ABC 中,∠ABC =90,AB =6,BC =8,O 为 AC 的中点,过 O 作 OE ⊥OF ,OE 、OF 分别交射线 AB ,BC 于 E 、F ，则 EF 的最小值为？简答：因为∠EOF=90°，∠C=90°，故C、O均在以EF为直径的圆上（也称四点共圆），因为EF 是圆的直径，O、C 均在圆上，且OC 长度固定，要使得EF 最短，则圆最小，要使圆最小，OC 为固定长度，则OC 为直径时，圆最小（此处比较难，思维量比较大，大家慢慢琢磨），此时CO=EF=OA=OB=5（斜边上中线等于斜边一半）4.如图 1，已知R t△ABC 中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P 是边AB 上的动点，Q 是边BC 上的动点，且∠CPQ＝90°，求线段CQ 的取值范围．简答：以CQ 为直径作⊙O，根据直径所对的圆周角是直角，若AB 边上的动点P 在圆上，∠CPQ就为直角．当⊙O与AB相切时（如图2），直径CQ最小．由切线长定理，得AP＝AC＝5，所以BP＝13―5＝8．再根据△BPO∽△BCA，所以OP ＝10，CQ＝20．当点Q 3 3与点B重合时（如图3），直径CQ最大，此时ＣＱ＝１２．综上所述，20≤CQ≤12 35.如图 1，半径为 4 的⊙O 中，CD 为直径，弦AB⊥CD 且过半径OD 的中点，点E 为⊙O上一动点，CF⊥AE 于点F．当点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，点F 所经过的路径长为？简答：因为∠CFA=90°（定角），AC=4（定弦），故F在以AC为直径的⊙Q上，当E在B 处时，F 在G 处，当 E 在 D 处时，F 在 A 处，故 F 的运动路径为弧AG 的长度，易求60出∠ACD=30°，故∠AQG=60°，故弧AG 长度=• 2π• 2 3= 2 3360 36.（2013 武汉）如图 1，E，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE=DF．连接CF 交BD 于点G，连接BE 交AG 于点H．若正方形的边长为 2，则线段DH 长度的最小35 3 值是？简答：易证△ABE ≌△DCF ，△DAG ≌△DCG ，故∠DAG =∠DCG =∠ABE ，又因为∠ABE + ∠AEB =90°，故∠EAH +∠AEH =90°，故∠AHB =90°，故 H 在以 AB 为直径的⊙O 上，当 O 、H 、D 三点共线的时候 DH 最小，DH =OD -OH = -17.如图 1，在 R t△ABC 中，∠B =90°，∠C =30°，AB =1，D 为线段 AC 上一动点，将△ BDC 沿着 BD 翻折，点 C 的对应点为 F ，E 为 AC 的中点，在 D 从 C 到 A 的运动过程中， 当 EF 最短时，CD 为？简答：在折叠过程中，BF 始终等于 BC ，故 F 到 B 点的距离是定值，F 在⊙B 上，当 EF 最短时，B 、E 、F 三点共线（如图 2），此时∠BFD =∠BCD =30°，∠FBD =∠CBD =15°（因为 BE =CE ，故∠EBC =∠BCE =30°），故∠FDH =∠CDH =45°，∠FED =60°，故 FD ⊥CE ， EF =BF -BE = -1 ， 又 因 为 DF =DC ， 在 R t △ EDF 中 ED = 1 EF = 3 -1 ， 故CD =1-ED =1 - 2 2 3 -1 = 3 - 3 2 28.（2017 宿迁）如图，在矩形纸片 ABCD 中，已知 AB =1，BC = ，点 E 在边 CD 上移动， 连接 AE ，将多边形 ABCE 沿直线 AE 翻折，得到多边形 AB ′C ′E ，点 B 、C 的对应点分别为点 B ′、C ′．（1） 当 B ′C ′恰好经过点 D 时（如图 1），求线段 CE 的长；（2） 若 B ′C ′分别交边 AD ，CD 于点 F ，G ，且∠DAE =22.5°（如图 2），求△DFG 的面积；36 （3） 在点 E 从点 C 移动到点 D 的过程中，求点 C ′运动的路径长．简答：（1）“K 字形”秒杀，过程略，答案： - 2（2） 由翻折全等可知∠B ′AE =∠BAE =67.5°，又因为∠DAE =22.5°，故∠B ′AF =45°，故△AB ′F 、△DFE 均为等腰直角三角形，后面略，答案： 5 - 2 （3）折叠过程中始终有 AC ＇=AC ，故 C ＇在以 A 为圆心，AC 为半径的圆上。