NMEDCBAEDCBAE DCBAl3l2l1C/B/A/CBAl3l2l1B/A/BA学生：科目：数学教师：谭前富知识框架相似三角形的性质是几何证明的重要工具，是证明线段和差问题、相等问题、比例问题、角相等问题的重要方法,尤其在圆中,相似三角形有着极其重要的作用.1、相似三角形的性质相似三角形的对应边成比例，对应角相等，对应边上的中线，角平分线，高线，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方.2、相似三角形的判定方法（1）三边对应成比例的两个三角形相似（2）两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似（3）两组角对应相等的两个三角形相似.3、相似三角形中几个的基本图形4、由相似三角形得到的几个常用定理定理1 平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形形似.如图，若DE∥BC,则AD AE DEAB AC BC==,或AD BDAE CE=.定理2 平行切割定理如图，,D E分别是ABCD的边,AB AC上的点，过点A的直线交,DE BC于,M N,若DE∥MN,则DM BNME NC=定理3 （平行线分线段成比例定理）两条直线被一组平行线截得的对应线段成比例.如图，若1l∥2l∥3l，则EDCBAAB BC ACA B B C A C==ⅱⅱⅱ,定理4（角平分线性质定理） 如图，,AD AE 分别是ABC D 的内角平分线与外角平分线，则DB EB AB DC EC AC==.定理5 射影定理直角三角形斜边上的高分原三角形成两个直角三角形，这两个三角形与原三角形相似.定理6 相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。

即：在⊙O 中，∵弦AB 、CD 相交于点P ， ∴PA PB PC PD ⋅=⋅定理7 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

即：在⊙O 中，∵直径AB CD ⊥， ∴2CE AE BE =⋅定理8 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

即：在⊙O 中，∵PA 是切线，PB 是割线∴ 2PA PC PB =⋅定理9 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。

即：在⊙O 中，∵PB 、PE 是割线 ∴PC PB PD PE ⋅=⋅【例题精讲】二例题讲解O EDCADCBPAOPO DCBAHEDCBAFEDCAG FED CBAPFED C BA FEGH DCBA1 利用相似证明角相等例 1 如图，ABC D 中，90,BAC AB AC ??,D 是边的中点，AH BD ^，垂足为H ,交BC 于点E . (1) 求证：ADBCDE ??(2) 若2AB =,求CDE D 的面积.练习 在ABC D 中，AD BC ^于点D ，DE AB ^于点E ，DF AC ^于点F ，求证：AFEABC ??.2 利用相似证明线段相等例2 已知点,E F 分别在矩形ABCD 的边,AB AD 上，EF ∥BD ，,EC FC 分别交BD 于点,G H ，求证：BG DH =.练习 1、如图，梯形ABCD 中AD ∥BC ，对角线,AC BD 交于点P ，过点P 作BC 的平行线分别交,AB DC 于点,E F ，求证PE PF .2、如图，ABC D 中，,AB AC AD BC =^于D ，,E G 分别是,AD AC 的中点，DF BE ^于F ，求证:FG DG =.3 证明比例（等积）线段F EDCBAFEDCBADCBANMFE H GFEDCBADCBAS NMO RPDCBA例 3 如图，,BD CD 为的两条角平分线，过点D 作直线分别交,AB AC 于点,E F ，若AE AF =，求证：24EF BE CF =?例 4 如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，直线l 平行于BD ，且与,AB DC ,BC AD 及AC 的延长线分别交于点,,,M N R S 和P ，求证：PM PN PR PS ??练习1、如图，在ABC D 中，AD 是A Ð的平分线，AD 的垂直平分线交AD 于点E ，交BC 的延长线于点F .求证:2FD FB FC =?2、,AD BE 是ABC D 的高线，过D 作AB 的垂线， 垂足为F ，与BE 及AC 的延长线分别相交于,M N ， 求证：2DF FM FN =?3、AD 是Rt ABC D 的角平分线，90C ??，求证：222AC BCAD BD=4 求线段比例5 ABCD 是正方形，,E F 是,AB BC 的中点，联接EC 交,DB DF 于,G H ，求::EG GH HC .PDCBAHQPDCBAGEDFCBADQEF G NP CBAEDPFCBA练习 1、梯形ABCD 中，AD ∥,90BC ABC??,对角线AC BD ^于点P ，若34AD BC =，求BDAC的值.2、如图，在平行四边形ABCD 中，过点B 的直线顺次与,AC AD 及CD 的延长线相交于点,,E F G ,若5,2,BE EF ==求FG 的长.5 证明线段（线段比）和差例 6 如图，已知AB ∥,CD AD ∥,,CE F G 分别是AC 和FD 的中点，过G 的直线依次交,,,AB AD CD CE 于点,,,M N P Q .求证:.2MN PQ PN +=练习 如图，P 是ABC D 内一点，,,AP BP CP 分别与对边交于点,,D E F ，求证：AE AF AP EC FB PD+=.6 证明垂直例7 如图，,H Q 分别是正方形ABCD 的边,AB AC 上的点，且BH BQ =，过B 作HC 的垂线，垂足分别为P ，求证：DP PQ ^.练习题GFEDCBAC 1B 1A 1D CBAt 3t 2t 1I HGE DP FCBANKHGFEDCB AGFEDCBA1、如图，ABC D 中，90BAC ??，AD 是BC 边上的高，E 是BC 边上一点，过点E 作,AB AC 的垂线，垂足分别为,F G ，求证：90FDG??2、ABC D 与A B C ⅱ?D 均为等边三角形，BC 和11B C 的中点均为D ，求证：11AA CC ^7 证明平行例8 如图，在矩形ABCD 中，F E 、是DC 边上的点，满足FC EF DE ==，又H G 、是BC 上的点，满足HC GH BG ==．AE 与DG 相交于点K ，AF 与DH 相交于N ．求证：KN ∥CD ．练习题 如图，两个等边,ABC ADE ∆∆顶点A 重合，过点E 作BC 的平行线，分别交,AB CD 于,F G .（1）求证：DF 平分AFE ∠. (2) 求证：AG ∥BD .8 利用相似三角形的面积比例9 在ABC D 的内部取点P ，过P 点作3条分别与ABC D 的三边平行的直线，这样所得的3个三角形123,,t t t 的面积分别为4,9,49，求ABC D 的面积.DCBAF EDCB ANMQ DCBAPGFED CBAEDP MC A练习 1、AD 是Rt ABC ∆斜边上的高，求证：22AB BDAC DC=2、梯形ABCD 中AD ∥BC ,4,8AD BC ==,点,E F 在,AB DC 上，且EF ∥BC ,若直线EF 平分梯形ABCD 的面积，（1）求EF 的长，（2）求AEEB的值练习题1、已知平行四边形ABCD 中，,M N 为AB 的三等分点，,DM DN 分别交AC 于,P Q 两点，求::BP PQ QC 的值.2、如图，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，12AF FD =，FE 交AC 于点G ，求证：15AG AC =3、 如图，AM 是的中线，P 是AM 上一点，,BP CP 分别交,AC AB 于点,D E ，求证:DE∥BCN MK EDPFC BAN MG FTE D CBA HD CBAHED CBA4、ABC D 中，,90AB AC BAC =??，D 是BC 边的中点，AH BD ^交BD 于点H ，交BC 于点E ，求证：2BE EC =5、在四边形ABCD 中，,E F 分别是,AB CD 的中点，P 为对角线AC 延长线上任意一点，PF 交AD 于点M ，PE 交BC 于点N ，EF 交MN 于点K .求证：K 是线段MN 的中点.6、锐角三角形ABC D 中，AB AC >,,CD BE 分别是,AB AC 上的高，DE 与BC 的延长线交于点T ，过D 作的BC 垂线交BE 于F ，过E 作BC 的垂线交CD 于G ，证明：,,F G T 三点共线.7、如图，在等边ABC D 中，BC 边上取点D ，使:1:2BD CD =，作CH AD ^，垂足为H ，联接BH ，求证：BADHBC ??.圆中的相似三角形1、AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC＝60°，P是OB上一点，过P作AB的垂线与AC 的延长线交于点Q，连结OC，过点C作CD⊥OC交PQ于点D．(1)求证：△CDQ是等腰三角形；(2)如果△CDQ≌△COB，求BP∶PO的值．2、△ABC内接于圆O，∠BAC的平分线交⊙O于D点，交⊙O的切线BE于F，连结BD，CD．求证：(1)BD平分∠CBE；(2)AB·BF＝AF·DC．3、⊙O以等腰三角形ABC一腰AB为直径，它交另一腰AC于E，交BC于D．求证：BC＝2DEDCBA O MNE H4、 ⊙O 内两弦AB ，CD 的延长线相交于圆外一点E ，由E 引AD 的平行线与直线BC 交于F ，作切线FG ，G 为切点，求证：EF ＝FG ．5. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BAC 的平分线与BC 边和外接圆分别相交于D 和E. 求证：AD ·EC = AC ·BD 证明：6. 如图，CD 切⊙O 于P ，PE ⊥AB 于E ，AC ⊥CD ，BD ⊥CD. 求证：① PE ：AC = PB ：PA ； ② PE 2 = AC ·BD7. 已知： ，过点D 作直线交AC 于E ，交BC 于F ，交AB 的延长线于G ，经过B 、G 、F 三点作⊙O ，过E 作⊙O 的切线ET ，T 为切点. 求证：ET = ED8．如图，AB 是⊙O 直径，ED ⊥AB 于D ，交⊙O 于G ，EA 交⊙O 于C ，CB 交ED 于F ，求证：DG 2＝DE •DF9．如图，弦EF ⊥直径MN 于H ，弦MC 延长线交EF 的反向延长A B C PED H F O 线于A ，求证：MA •MC ＝MB •MD10、如图，AB 、AC 分别是⊙O 的直径和弦，点D 为劣弧AC 上一点，弦ED 分别交⊙O 于点E ，交AB 于点H ，交AC 于点F ，过点C 的切线交ED 的延长线于点P ．（1）若PC=PF ，求证：AB ⊥ED ； （2）点D 在劣弧AC 的什么位置时，才能使AD 2=DE ·DF ，为什么？11.如图(1)，AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆直径，则有结论：AB · AC=AE · AD 成立，请证明.如果把图(1)中的∠ABC 变为钝角，其它条件不变，如图(2)，则上述结论是否仍然成立？图(1) 图(2)12.如图，AD 是△ABC 的角平分线，延长AD 交△ABC 的外接圆O 于点E ，过点C 、D 、E 三点的⊙O 1与AC 的延长线交于点F ，连结EF 、DF.(1)求证：△AEF ∽△FED ；(2)若AD=8，DE=4，求EF 的长.13.如图，PC 与⊙O 交于B ，点A 在⊙O 上，且∠PCA=∠BAP.(1)求证：PA 是⊙O 的切线.(2)△ABP 和△CAP 相似吗？为什么？(3)若PB:BC=2:3，且PC=20，求PA 的长.D C B A OE14．（本小题满分7分）已知：如图， AD 是⊙O 的弦，OB ⊥AD 于点E ，交⊙O 于点C ，OE=1，BE=8，AE :AB=1:3．（1）求证：AB 是⊙O 的切线；（2）点F 是ACD 上的一点，当∠AOF=2∠B 时，求AF 的长．15．如图，⊿ABC 内接于⊙O ，且BC 是⊙O 的直径，AD ⊥BC 于D ，F 是弧BC 中点，且AF 交BC 于E ，AB ＝6，AC ＝8，求CD ，DE ，及EF 的长。