微专题三 求二次函数的解析式
一 二 三
一 设一般式 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)求二次函数的解析式
(教材 P40 练习第 2 题)
一个二次函数的图象经过(0，0)，(－1，－1)，(1，9)三点．求这个二次函数的
解析式． 解：设这个二次函数的解析式为 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则ac＝－0b，＋c＝－1，解得ab＝＝45，，
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解：(1)设函数解析式为 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
∵当 t＝2 时，AD＝4，
∴点 D 的坐标是(2，4)．
将(0，0)，(2，4)，(10，0)代入得，
c＝0，
a＝－14，
41a00＋a＋2b＋ 10bc＝＋4x，＝0，解得bc＝＝052，，
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[2019·台州]已知函数 y＝x2＋bx＋c(b，c 为常数)的图象经过点(－2，4)． (1)求 b，c 满足的关系式； (2)设该函数图象的顶点坐标是(m，n)，当 b 的值变化时，求 n 关于 m 的函数解 析式； (3)若该函数的图象不经过第三象限，当－5≤x≤1 时，函数的最大值与最小值之 差为 16，求 b 的值．
[2019·丰台区模拟]如图 3，排球运动员站在点 O 处练习发球，将球从 O
点正上方 2 m 的 A 处发出，把球看成点，其运行的高度 y(m)与运行的水平距离 x(m)
满足关系式 y＝a(x－k)2＋h.已知球与 O 点的水平距离为 6 m 时，达到最高 2.6 m，球
网与 O 点的水平距离为 9 m．高度为 2.43 m，球场的边界距 O 点的水平距离为 18 m，
∵4.88＞2.745，∴不能达到 4.88 m.
答：足球的飞行高度不能达到 4.88 m.
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ห้องสมุดไป่ตู้
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[2018·金华、丽水节选]如图 2，抛物线 y＝ax2＋bx(a≠0)过点 E(10，0)，
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二 设顶点式 y＝a(x－h)2＋k(a≠0)求二次函数的解析式 (教材 P36 例 4) 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷 水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1 m 处达到最高，高度为 3 m， 水柱落地处离池中心 3 m，水管应多长？ 解：如答图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为 x 轴， 水管所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系．点(1，3)是这段抛物线的顶点，因此可 设这段抛物线对应的函数解析式是 y＝a(x－1)2＋3(0≤x≤3)．
二次函数 y＝x2＋bx＋1 的图象先向右平移 2 个单位，再向下平移 1 个
单位后对应的函数解析式为 y＝x2＋c，则( C )
A．b＝4，c＝－2
B．b＝－4，c＝0
C．b＝4，c＝－4
D．b＝－4，c＝－4
【解析】 ∵y＝x2＋c 先向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位可得 y＝(x＋2)2
当 y＝0 时，－610(x－6)2＋2.6＝0， 解得 x1＝6＋2 39＞18，x2＝6－2 39(舍去)， 所以球会出界．故选 C.
[2019·南岗区校级模拟]一自动喷灌设备的喷流情况如图 4 所示，设水 管 AB 在高出地面 1.5 m 的 B 处有一自动旋转的喷水头，一瞬间流出的水流是抛物线 状，喷头 B 与水流最高点 C 连线成 45°角，水流最高点 C 比喷头高 2 m.
c＝0，
a＝－1.22，
得a＋b＋c＝2.44，解得b＝3.66，
9a＋3b＋c＝0， c＝0，
∴抛物线的关系式为 y＝－1.22x2＋3.66x；
(2)不能．理由：抛物线 y＝－1.22x2＋3.66x 的顶点横坐标 x＝2×3.616.22＝32，
纵坐标 y＝－1.22×322＋3.66×32＝2.745，
(1)求点 C 的坐标； (2)求此抛物线解析式； (3)求水流落点 D 到 A 点的距离．
图4
解：(1)如答图，过 C 点作 CE⊥y 轴于 E，作 CF⊥x 轴于 F， ∴B(0，1.5)，∠CBE＝45°，∴EC＝EB＝2， ∵CF＝AB＋BE＝1.5＋2＝3.5，∴C(2，3.5)； (2)设抛物线解析式为 y＝a(x－2)2＋3.5， 又∵抛物线过点 B(0，1.5)， ∴1.5＝a(0－2)2＋3.5，∴a＝－12， ∴y＝－12(x－2)2＋3.5＝－12x2＋2x＋32， ∴抛物线解析式为 y＝－12x2＋2x＋32；
A．(－3，6)
B．(－3，0)
C．(－3，－5)
D．(－3，－1)
【解析】 ∵某定弦抛物线的对称轴为直线 x＝1， ∴该定弦抛物线过点(0，0)，(2，0)， ∴该抛物线解析式为 y＝x(x－2)＝x2－2x＝(x－1)2－1， 将此抛物线向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，得到的新抛物线的解析 式为 y＝(x－1＋2)2－1－3＝(x＋1)2－4， 当 x＝－3 时，y＝(－3＋1)2－4＝0， ∴得到的新抛物线过点(－3，0)．故选 B.
教材母题答图
答：水管长应为 2.25 m. 【思想方法】 若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小
值)，可设所求二次函数的解析式为 y＝a(x－h)2＋k，将已知条件代入，求出待定系
数即可．
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∴抛物线的函数解析式为 y＝－14x2＋52x；
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(2)由抛物线的对称性得 BE＝OA＝t， ∴AB＝10－2t. 当 x＝t 时，y＝－14t2＋52t，即 AD＝－14t2＋52t， ∴矩形 ABCD 的周长＝2(AB＋AD) ＝2（10－2t）＋－14t2＋52t ＝－12t2＋t＋20＝－12(t－1)2＋421. ∴当 t＝1 时，矩形 ABCD 的周长有最大值，最大值是421.
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∴b≥0，Δ≤0， ∴0≤b≤8，∴－4≤x＝－b2≤0， 当－5≤x≤1 时，函数有最小值－b42＋2b， 当－5≤－b2＜－2 时，函数有最大值 1＋3b， 当－2＜－b2≤1 时，函数有最大值 25－3b； 函数的最大值与最小值之差为 16， 当最大值为 1＋3b 时，1＋3b＋b42－2b＝16，
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由这段抛物线过点(3，0)可得
0＝a(3－1)2＋3，
解得 a＝－34，
∴y＝－34(x－1)2＋3(0≤x≤3)． 当 x＝0 时，y＝2.25.
a＋b＋c＝9，
c＝0，
∴该二次函数的解析式为 y＝4x2＋5x.
【思想方法】 若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数解析式为 y＝ ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出 a，b，c 的值．
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[2019 春·利津期中]足球比赛中，某运动员将在地面上的足球对着球门 踢出，图 1 的抛物线是足球的飞行高度 y(m)关于飞行时间 x(s)的函数图象(不考虑空 气的阻力)，已知足球飞出 1 s 时，足球的飞行高度是 2.44 m，足球从飞出到落地共 用 3 s.
(1)求 y 关于 x 的函数关系式； (2)足球的飞行高度能否达到 4.88 m？请说明理由．
变形 2 答图
(3)∵抛物线与 x 轴相交时，y＝0， ∴0＝－12x2＋2x＋32，即 x2－4x－3＝0， 解得 x1＝2＋ 7，x2＝2－ 7(舍去)， ∴D(2＋ 7，0)， ∴水流落点 D 到 A 点的距离为(2＋ 7)m.
三 利用平移规律求二次函数的解析式
(教材 P34 思考)
抛物线 y＝－12(x＋1)2，y＝－12(x－1)2 与抛物线 y＝－12x2 有什么关系？ 解：把抛物线 y＝－12x2 向左平移 1 个单位，就得到抛物线 y＝－12(x＋1)2；把抛 物线 y＝－12x2 向右平移 1 个单位，就得到抛物线 y＝－12(x－1)2. 【思想方法】 (1)可按照口诀“左加右减，上加下减”写出平移后的解析式；(2) 平移所得函数的解析式与平移的先后顺序无关．
矩形 ABCD 的边 AB 在线段 OE 上(点 A 在点 B 的左边)，点 C，D 在抛物线上．设
A(t，0)，当 t＝2 时，AD＝4.
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)当 t 为何值时，矩形 ABCD 的周长有最大值？最