离带电直线的距离
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第6章 静电场
例4两个半径分别为R1 ，R2的球面同心放置, 所 带电量为Q1和Q2, 皆为均匀分布。求电势分布。 解
Q1 u1 4πε0 r Q1 u1 4πε0 R1
(r R1 )
R2
o
Q1
R1
Q2
(r R1 )
Q2 Q2 u2 (r R2 ) , u2 (r R2 ) 4πε0 r 4πε0 R2
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第6章 静电场
2. 电势差 电场中任意两给定位置P、Q之间的电势 差（即电压） 定义为UPQ 。
U pQ u p uQ
Q

Wp q0

WQ q0

ApQ q0
E dl 单位: 伏特 (V ) 。 p
电势差 U PQ 表示静电场力移动单位正电荷由 P 沿任一路径到 Q 所做的功。
2 2
+ P1 + + + + +
R
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第6章 静电场
用类似的方法可求得均匀带电球面的电势 分布。
Q U 外 (r ) 4 π 0 r Q U内 ( r ) 4 π 0 R
Q 4 π 0R
U
Q 4π 0r
o
R
r
可见，球面各点电势相同，球面内空间为等 势体；在球面处场强不连续, 而电势是连续的。
在离圆盘很远处, 可以把圆盘看成一个 点电荷。
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第6章 静电场
例2 半径为R,带电量为q 的均匀带电球体。 求:带电球体的电势分布。 解:根据高斯定理可得：
+ +
+
+ r
qr E1 3 4 0 R
+ +
R PrRΒιβλιοθήκη E2 q 4 0 r
2
rR
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1 q1 1 q2 U1 U 2 4 0 r1 4 0 r2
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E2 E1
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第6章 静电场
对 n 个点电荷:
n qi up ui i 1 4 0 r i 1 i
n
dq 对连续分布的带电体：u p Q 4 0 r
电势零点选择方法： 有限带电体以无穷远为电势零点；
当电荷分布可视为无穷范围时，可在电场中选 一适当位置为电势零点； 实际问题中常选择地球电势为电势零点.
选地球为电势零点是基于两点考虑： （1）任何地方都能和地球比较，以确定各带电 体的电势。 （2）地球是一个半径很大的导体。在这样一个 导体上增减一些电荷对其电势的影响很小。
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第6章 静电场
例3 求电荷线密度为的无限长带电直线空 间中的电势分布。 解:若取无穷远为势能零点
E 2π 0 x x u P dx 2π 0 x xP (ln ln xP ) 2π 0
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P

O

xp
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第6章 静电场
e dS u (r ) 4π 0 r S
e dl 电荷线密度为λe 的带 u (r ) 电体产生的电势： 4π 0 r L
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第6章 静电场
电势的计算方法
（1）利用定义式
需知在积分路径上 E 的函数表达式。 有限大带电体，选无限远处电势为零。
（2）利用叠加原理
第6章 静电场
对球外一点 P：
qdr q 2 r 4 r 4 0 r 0 对球内一点 P1：

u外 E2 dr
P
+ +
+
+ r
+ +
R P
u内


P 1
R E dr r E1dr R E2dr
分段积分
q
8 0 R
(3R r ) 3
Aab Wa Wb q0 (Ua Ub ) q0Uab
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第6章 静电场
二、电势的叠加原理 1. 点电荷的电势 q u p E dl
p
r
p
dl
E


r
1 q up 4 0 r
q 1 dr 2 4 0 r
q 1 0 0 E r dl dr r 2 4 0 r
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第6章 静电场
利用以上结果, 可以计算均匀带电圆盘轴线 上 p 点的电势。 x 在盘上取一小圆环, 带电量为 ： dE dq 2πrdr 圆环在p点的电势 du
1 u du 4π 0

R
0
2 0
x R x
2 2
x
2πrdr
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r
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第6章 静电场
例5 无限长均匀带电圆柱面，半径为R，单位长 度上电量为λ，求电势分布。 解 由高斯定理，得
,r R E 0 E , r R 2π 0 r
取 u B= 0
R
o

r
P B
r
r0
r0 r R , uP E dr r
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第6章 静电场
u u1 u2
u
Q1 Q2 r R2 o R1 R2 4 π ε r 0 电势分布 Q1 Q2 R1 r R2 4πε0 r 4πε0 R2 Q1 Q2 r R1 4πε0 R1 4πε0 R2
正点电荷周围场的电势为正, 离电荷越 远,电势越低。负点电荷周围场的电势为负, 离电荷越远, 电势越高。
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第6章 静电场
2. 点电荷系的电势 u P E dl
P
q1
r1
P
r2 q2 P ( E1 E2 ) dl P E1 dl P E2 dl q2 q1 dr dr 2 2 r2 4 r r1 4 r 0 0
第6章 静电场
6.5 电势 电势差
一、电势 电势差 1.电势 定义静电场中位置P处的电势 为单位 检验电荷在位置P处所具有的电势能，
up
Ap "0" q0

Wp q0

"0" p
E dl
物理含义： 将单位正电荷从P点沿任意路径移到电 势能为零点时, 电场力所作的功。
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第6章 静电场
若沿电场线方向积分，有
U12 U1 U 2 E dl 0 U1 U 2
P1 P2
电场线性质：沿电场线方向，电势不断降低。
注意
（ V） 单位：伏特 电势差是绝对的，与电势零点的选择 无关；电势大小是相对的，与电势零点 的选择有关. 电场力做功与电势能、电势差的关系：
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第6章 静电场
r0 r0 ln ,rR up dr r 2 π ε0 r 2 π ε0 r
rR
r0 r0 uP E dr E dr ln r R 2 π ε0 R
R
问题：能否选
u 0 ?
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up
"0" p
E dl
1 dq u p ui 或 u p 4πε0 r i 1
n
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第6章 静电场
例1均匀带电圆环半径为R，电量q 。
求 圆环轴线上一点的电势。 解 建立如图坐标系， 选取电荷元 dq
q
dq
r R o
P x
dq u p du 0 4 π r 0 q q 4 π 0 r 4π 0 R 2 x 2
取a点为电势零点, a点距离带电直线为xa
x dx uP E dl 2 π x 0 x ( P)
(a)
a P
x
a

P

O

xa xp (ln xa ln xp ) 2π 0 取 xa 1, ln xa 0 (场中任意一点P 的 电势表达式最简捷) uP ln x 2π 0
电势叠加原理 在点电荷系产生的电场中, 某点的电势 是各个点电荷单独存在时, 在该点产生的电 势的代数和。
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第6章 静电场
注意 电势是标量, 只有大小、正负之分而无方 向, 所以只需求代数和即可。 e dV 电荷体密度为ρe的 u (r ) 带电体产生的电势： 4π 0 r V 电荷面密度为σe 的 带电体产生的电势：
第6章 静电场
单位:伏特 (V )
可见，电势能与电势的关系：Wp q0uP
说明: （1）电势是描述电场力做功方面性质的一 个基本物理量，是空间坐标的函数，为标量。 （2）电势与电势零点的选择有关系，具有 相对性。 （3）电势零点的选择具有任意性，根据问 题的方便而定。
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第6章 静电场
2
4π 0 x r
2

dq
2

1
P
2
r
2

1
2
r
R
O
dq
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