一．单项选择（每小题4分，共36分）
1．设集合{}S =a b c d e ，，，，，则包含元素a b ，的S 的子集共有
.
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．8个
2．下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是
.A ．()12
f x x
=B ．()3
f x x
=C ．()3
x
f x =D ．()12x
f x ⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
3．设a b ，为正实数，则“1a >b >”是“22log log 0a >b >”的
.
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
4．若00a >b >，，且函数()32422f x x ax bx =--+在1x =处有极值，则ab 的最大值等于
.
A ．9
B ．6
C ．3
D ．2
5．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的1
4
，则该椭圆的离心率为
.
A ．
1
3B ．
12
C ．
23
D ．
34
6．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若45624,48a a S +==，则{}n a 的公差为
.
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
7．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同.现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和是3或6的概率是
.
A ．
15
B ．
310
C ．
110
D ．
112
8．若直线//a 平面α，直线//b 平面α，则a 与b 的位置关系是
.
A ．平行
B ．相交
C ．异面
D ．以上都有可能
9．已知直线1y kx =+与曲线3
y x +ax+b =切于点（1，3）
，则b 的值为.A.3 B.-3 C.5
D.-5
二．填空题（每小题4分，共32分）
10．设,a b r r 的夹角为120°，1,3a b ==r
r ，则3a b -r r =
.
11．设θ为第二象限的角，若1tan 42πθ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，则sin cos θθ+=
.
12．若双曲线()2222:10,0x y C a b a b
-=>>的一条渐近线被圆()2
224x y -+=所截得的弦长为2，则C
的离心率为
.
13．若曲线2
=2y x 的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则切线l 的方程为
.
14．若()2*312n
x n N x ⎛
⎫-∈ ⎪⎝
⎭展开式中含有常数项，则n 的最小值是
.
15．有3位司机和6位售票员分配到3辆公共汽车上工作，每一辆汽车分别有一位司机和两位售
员，那么所有不同的分配方法有种.
16．在极坐标系中，点2,6π⎛⎫
⎪⎝⎭
到直线sin 2ρθ=的距离等于
.
17．若复数()()13mi i ++（i 是虚数单位，m 是实数）是纯虚数，则复数
21m i
i
+-的模等于.
三．解答题（共7小题，共82分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）18．（8分）已知()22f x x bx c =++，不等式()0f x <的解集是（0，5）.（1）求()f x 的解析式；
（2）对于任意[11]x ∈-，
，不等式()t 2f x +≤恒成立，求t 的范围。
19．
（10分）设ABC ∆的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且7
62cos 9
a+c b B ===，，.（1）求a c ，的值；（2）求sin A B -（）的值。
第419页◎第420页士兵高中数学真题与详解
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二○一八年军队院校生长军官招生文化科目统一考试
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20．（12分）设等差数列{}n a 的公差为d ，点（,n n a b ）在函数2x f x =（）的图像上n N *∈（）.（1）若1=-2a ，点748a b （，）在函数()f x 的图像上，求数列{}n a 的前n 项和n S ；
（2）若1=1a ，函数()f x 的图像在点（22,a b ）处的切线在x 轴上的截距为1
2ln 2-，求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n
T 。
21．（12分）甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是
1
2
，且面试是否合格互不影响，求：（1）至少有1人面试合格的概率；（2）签约人数ξ的分布列和数学期望。
22．
（14分）已知椭圆2
2
21x y +=，过原点O 的两条直线12l l 和分别与椭圆交于A B ，和C D ，，设AOC ∆的面积为S .
（1）设1122A x y C x y （，），（，），用A C ，的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明12211
2
S x y x y =-；（2
）设11
:,,3l y kx C S ==⎝
⎭，求k 的值.（3）设1l 与2l 的斜率之积为m ，求m 的值，使得无论1l 与2l 如何变动，面积S 保持不变。
23．
（12分）某店销售进价为2元/件的产品A ，该店产品A 每日的销售量y （单位:千件）与销售价格x （单位:元/件）满足关系式()2
10462
y x x =
+--，其中26x <<.（1）若产品A 销售价格为4元/件，求该店每日销售产品A 所获得的利润；
（2）试确定产品A 的销售价格，使该店每日销售产品A 所获得的利润最大（保留1位小数）。
24．（14分）如图所示，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面90ABC BAC ∠=︒，.点D E N ，，分别为棱
PA PC BC ，，的中点，M 是线段AD 的中点，4PA AC ==，2AB =.
（1）求证://MN BDE 平面；（2）求二面角C EM N --的正弦值；
（3）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE
，求线段AH
的长。
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