n=360/ 。
二次旋转轴L2
投影符号：或
三次旋转轴L3
投影符号：
极射赤平投影图
四次旋转轴L4
投影符号：
极射赤平投影图
六次旋转轴L6
投影符号：
极射赤平投影图
晶体的对称定律-开普勒的老问题：为什么天上不下五角形的雪花？

由于晶体是具有格子构造的固体物质，这种质点格子状的分
布特点决定了晶体的对称轴只有n = 1，2，3，4，6这五种，
四苯基甲烷的Li4
尿素的四次反轴Li4
环丁烷的L4和C
第一章 晶体的对称原理
对称：物体(或图形)中相同部分之间有规律重复，既相对又相称
1.1 宏观对称要素
宏观对称的主要特征：
--有限图形的对称。 --对称要素的组合在空间相交于一点（没有平移操作）。
对称操作(symmetry operation)
能够使对称物体(或图形)中的各个相同部分作有规律重复
的动作(对称操作)---包括旋转、反映、反演、旋转反映、 旋转反演。
cos sin 0 sin cos 0 0 0 1
cos sin 0
种类 Li1 = C Li2 = P Li3 = L3 +C Li4 Li6 = L3 +P
sin cos 0
=
0 0 1
or
对称变换矩阵
a11 a 21 a 31
a12 a 22 a 32
a13 a 23 a 33
对称轴(没有5-fold 和 > 6-fold )
6
6
6
6
6 6
3-fold 4-fold
6
1-fold
2-fold
变换矩阵：
6
cos sin 0 sin cos 0 0 0 1
×
0 1 0 0 1 0 0 0 1
L 4× C
L4+C
注意：复合对称动作和复合对称元素是不同的。两个或两个
以上的对称动作连续进行，称为这些动作的复合对称动作。一
个对称图形若同时具有两个或多种对称元素的对称性，则称为
具有这些对称元素组合的对称性。例如：


因为L4高于L2 ， Li4也高于L2 。在晶体模型上找对称要素，
一定要找出最高的。
旋转反映轴 –Lsn ：操作为旋转+反映的复合操作
一次旋转反映轴Ls1
二次旋转反映轴Ls2
极射赤平投影图
三次旋转反映轴Ls3
极射赤平投影图
四次旋转反映轴Ls4
极射赤平投影图
六次旋转反映轴Ls6
极射赤平投影图
上来说，不是天然的，就可以被算做“假”的。从狭义上来说，“假”
宝石一般是用其他品种的宝石冒充来的，比如说用塑料、水晶等冒充钻 石，或者用锆石、碳化硅冒充钻石，因为不是同一类的东西，所以可以 毫无疑问的说这是假的。 说点题外话，在市场上，商家听到“这颗
红宝石是不是真的”这种问题，就会知道
顾客是外行。如果遇上奸商，人家就会狠 狠宰你一刀。因此，如去珠宝店买东西， 不妨问问商家“这颗红宝石是不是合成的 啊？”商家一听就知道顾客还是懂点知识 的，也就不会太过分了。
A’ -a O n a 2/n A
2/n
B’
B
证明
2 2 B B ma 2 OB cos 2a cos n n
'
A’
-a 2/n
O
n
a 2/n
A
m 2 cos 2 n
B’
B
2 cos 1 n
m -2
cos -1

180
n=360/
2
-1 0 1
2
-1/2 0 1/2
它简单的对称要素或它们的组合来代替，其间关系如下：
Li1 = C， Li2 = P， Li3 = L3 +C，Li6 = L3 + P

但一般我们在写晶体的对称要素时，保留Li4 和Li6，而其他 旋转反伸轴就用简单对称要素代替。这是因为Li4 不能被代 替， Li6在晶体对称分类中有特殊意义。

但是，在晶体模型上找Li4往往是比较困难的，因为容易误 认为L2。 我们不能用L2代替Li4 ，就像我们不能用L2代替L4一样。
对称中心(C, 1)
假想的几何点，相对于这个点 的反伸(x, y, z) 变换矩阵：
0 1 0 0 1 0 0 0 1
(-x, -y, -z)
倒转轴(Lin)之对称操作
• 倒转轴（反轴）：围绕直线
旋转一定的角度和对于一定
点的反伸 = 对称轴×对称中心 变换矩阵：
对称元素之对称操作
对称操作 ＝ 对应点的坐标变换
(x, y, z)
(X, Y, Z)
X x Y y Z z
X a11 x a12 y a13 z Y a 21 x a 22 y a 23 z Z a x a y a z 31 32 33
第二篇 几何结晶学
主要内容：
第一章：晶体的对称原理 第二章：对称元素的组合
第三章：晶体所有可能的对称组合
第四章：空间点阵 第五章：晶体的定向及晶系 第六章：等效点系 第七章：单形和复形及其例举
问题的提出1：怎么从外形上辨别这些晶体？
问题的提出2：人工宝石是宝石，还是假宝石？
人工宝石确实是宝石，那么关于“假”这个问题怎么解释呢？从广义
6-fold
其中α为基转角
对称面(m)
变换矩阵
( m 包含x、y轴)
x x y y z z
m
1 0 0 0 1 0 0 0 1
m包含x、z轴 ? m包含y、z轴 ? m在其他位置 ?
对称中心
对称元素
对称变换 基转角
对称面
平面
旋转反伸轴
三次 四次 六次
点
直线和直线上的定点
绕直线旋转和点的倒反 120° 90° 60°
对于点的倒反 对于平面反映 360° 180°
习惯符号
国际符号 等效对称要素 图示记号
C
1
独立
Pm独立来自Li33 L3+C
Li4
4
独立
Li6
6 L3+P
〃或C
双线或粗线
1
120 90 60
360
3 4 6
1
m 1或 m 2 2
对称中心—C
操作为反伸(演)。只可能在晶体中
心，只可能一个。 反伸操作演示：
但这种反伸操作不容易在晶体模型上体现。 凡是有对称中心的晶体，晶面总是成对出现且两两反向平 行、同形等大。
对称中心：习惯符号C
旋转反伸轴 –Lin 操作为旋转+反伸的复合操作。
不可能出现n = 5， n > 6的情况。

为什么呢？
1、直观形象的理解：垂直五次及高于六次的平面结构不能
构成面网，且不能毫无间隙地铺满整个空间, 即不能成为晶
体结构。
证明
对称轴 n 通过点阵点O并与平面点阵(纸面)相垂直, 在平
面点阵上必有过O点的直线点阵AA＇, 其素向量为a. 利用对 称轴n 对O点两侧的a分别顺、逆时针旋转角度,产生点阵点 B与B＇, BB＇必然平行与AA＇
1.1 宏观对称要素
对称元素(symmetry element)：在进行对称操作时所凭借的几
何要素——点、线、面等。 对称元素种类 对称中心(center of symmetry)； 对称面(symmetry plane) 对称轴(symmetry axis)； 倒转轴(rotoinversion axis)
一次旋转反伸轴Li1
L i 1= C
极射赤平投影图
二次旋转反伸轴Li2
极射赤平投影图
Li 2= P
三次旋转反伸轴Li3
极射赤平投影图
Li 3= L3C
四次旋转反伸轴Li4
极射赤平投影图
Li 4
六次旋转反伸轴Li6
极射赤平投影图
L i 6= L3P

值得指出的是，除Li4外，其余各种旋转反伸轴都可以用其
映转轴(rotoreflection axis)
对称元素和相应的对称操作：
对称面—P 操作为反映。 可以有多个对称面存在， 如3P、6P等.
该切面是 对称面
该切面不是矩 形体的对称面
对称面：
对称自身—L1 什么操作也没有进行 最低的一种对 称元素.
对称轴—Ln
操作为旋转 。其
中n代表轴次， 指旋转360度相 同部分重复的 次数。旋转一 次的角度为基 转角 ，关系为：
对称元素符号
宏观晶体的宏观对称要素
对称轴
一次 对称元素 对称变换 基转角 习惯符号 360° L1 二次 三次 直线 围绕直线的旋转 180° L2 120° L3 90° L4 60° L6 四次 六次
国际符号
等效对称要素 图示记号
1
独立
2
独立
3
独立
4
独立
6
独立
对称元素符号
宏观晶体的宏观对称要素