对于很小的X,
1
Y /Y X / X
100 Y 表示 Y 变化的百分数； Y
100 X 表示 X 变化的百分数。 X
因此 X 变化 1%对应于 Y 变化1%。 即：1 是 Y 关于 X 的弹性。
例子: ln( TestScore) 对 ln( Income) 回归
首先定义新的因变量 ln(TestScore), 新的自变量 ln(Income) ln(TestScore)对 ln(Income)的线性回归可以用 OLS 进行估计:
2 3D1
三、自变量之间的交互作用
1、两个二元变量间的交互作用
例如：
Y 664.118.2* D1 1.9D2 3.53(D1 * D2 )
Y——考试成绩； D1——教师学生比（比值>20取1，否则0：） D2——英语学习者的比例（比值>10%取1，否则0 ）
三、自变量之间的交互作用
Ln(Y ) 682.2 0.97 * X 5.6* D 1.28(X * D) u (11.9) (0.59) (19.5) (1.28)
使用F检验；t检验
三、自变量之间的交互作用
3、两个连续变量的交互作用
Ln(Y ) 0 1X1 2 X 2 3 ( X1 * X 2 ) u
2、连续变量与二元变量间的交互作用
模型1：
Ln(Y ) 0 1X 2D u
Y——收入； X——工作经验（连续） D——学历（大学学历取1，否则取0）
三、自变量之间的交互作用
2、连续变量与二元变量间的交互作用
LnY
X
模型1：截距不同，斜率相同。
三、自变量之间的交互作用
2、连续变量与二元变量间的交互作用 模型2：
1 yˆ
a bx
y
1y
b
a＞0，b＜0
a＞0，b＞0
x
图11.4 方程yˆ x a bx
a x
的图象 b
五、S型曲线
S型曲线主要用于描述动、植物的自然生长过程，故
又称生长曲线。
y
Logistic曲线方程为：
ln a
k
yˆ

1

k aebx
b
k 2
k
1xa
四、其他非线性形式的回归
非线性的回归模型
非线性的回归函数
“非线性”的含义：
（1）非线性的函数 自变量与解释变量之间的非线性
函 数形式。
（2）非线性的回归 参数与随机项的非线性形式。
非线性的回归函数
一、多项式回归 二、对数回归 三、自变量的交互作用 四、其他非线性形式的回归 五*、非线性回归（参数非线性）
一、多项式回归
(b)
改变 X: ln(Y + Y) = 0 + 1ln(X + X)
(a)
相减得: ln(Y + Y) – ln(Y) = 1[ln(X + X) – ln(X)]
于是 或者写成
Y Y

1
X X
1
Y /Y X / X
(small X)
ln(Yi) = 0 + 1ln(Xi) + ui
(a) – (b)可得: ln(Y + Y) – ln(Y) = 1X
于是 或者可以写成
Y Y

1X
1
Y /Y X
(small X)
ln(Yi) = 0 + 1Xi + ui
对于很小的 X,有
1
Y /Y X
100 Y 为 Y 变化的百分数，所以 X 变化一个单
重要概念
利用对数可变换因变量 Y，自变量 X 或者两者（但它们必须都为 正）。下表归纳了这三种情形及其中回归系数1 的解释。每种情形下 因变量和/或自变量取完对数后，再应用 OLS 可估计出1。
情形
回归形式
I
Yi=0+1ln(Xi)+ui
II ln(Yi)=0+1Xi+ui
III ln(Yi)=0+1 ln(Xi)+ui
五*、非线性回归（参数非线性）
Logistic回归 负指数回归 。。。
五*、非线性回归（参数非线性）
负指数回归
Y 0[1 e1( X 2 ) ] u
Ln(TestScore) = 6.336 + 0.0554 ln(Incomei) (0.006) (0.0021)
假设 Income 从$10,000 增加到$1.0554 10% = 0.554%。
如果 TestScore = 650, 意味着测试成绩预计会增加
Yi = 0 + 1ln(Xi) + ui
对于一个很小的X,
1
Y X / X
其中 X 100 表示 X 变化的百分比数， X
X 增加 1% (即 X 变为原来的 1.01 倍)会使 Y 产生 0 .011 的变化。 X 增加 1% ln(X) 增加 0.01
Y 提高 0.011
1 的解释 X 变化 1%引起 Y 变化 0.011 X 变化一个单位(Δ X=1)引起 Y 变化 1001% X 变化 1%引起 Y 变化1%，故1 是 Y 关于 X 的 弹性.
三、自变量之间的交互作用
1、两个二元变量间的交互作用
例如：研究“性别”、“学历”对“收入” 的影响：
Y 0 1D1 2D2 u
一、多项式回归
r = 3时：三次项回归 （cubic model） Y 0 1X 2 X 2 3 X 3 u
一、多项式回归
形式： Y 0 1X 2 X 2 ...r X r u
1、阶数怎么确定？
（1）根据理论背景来确立； （如，成本函数、X对Y有正反两方面影响时）
(b)
设 X 增加X，则 Y + Y = 0 + 1ln(X + X) +ui (a)
(a) – (b):
Y = 1[ln(X + X) – ln(X)]
因此 或
ln(X + X) – ln(X) X ,
X
Y
1
X X
1
Y X / X
(small X)
系数1的经济含义
1、指数函数曲线
指数函数方程有两种形式：
yˆ aebx yˆ abx
y a＞0，b＞0
a＞0，b＜0
x
图11.1方yˆ 程 aebx 的图象
二、对数函数曲线
对数函数方程的一般表达式为：
yˆ a b ln x
y
b＞0
b＜0
x
图11.2 方程yˆ =a+blnx 的图象
Y
位 (X = 1)，对应的 Y 变化为 1001%。
X 增加一个单位 ln(Y)增加1
Y 增加 1001%
二、对数回归
3、双对数模型
Ln(Y ) 0 1Ln( X ) u
参数含义： X改变1%引进Y变化百分之几？ β1为“弹性”
ln(Yi) = 0 + 1ln(Xi) + ui
（3）多项式回归的参数意义 例如，研究X对Y的边际影响
dY dX
(1 22X
33X 2 ...)
二、对数回归
1、线性对数模型 2、对数线性模型 3、双对数模型
ln(X) 表示 X 的自然对数 对数变换将变量的变化表示为百分率变化。
ln(x+x)
–
ln(x)
=
ln
1

Y——收入； D1——性别（1——男；0——女） D2——学历（1——大学学历；0——没有）
三、自变量之间的交互作用
1、两个二元变量间的交互作用 交互回归（interaction regression）：
Y 0 1D1 2D2 3 (D1 * D2 ) u
学历因素对人们收入的影响；
（2）根据拟合程度的好坏来确定（如，利用spss 的相关功能） 在社会科学领域里，阶数不会太高！
一、多项式回归
形式： Y 0 1X 2 X 2 ...r X r u
（2）多项式的本质 泰勒展开
一、多项式回归
形式： Y 0 1X 2 X 2 ...r X r u
N

1 , 距离焚化炉较近（3公里以内） 0 , 距离焚化炉较远（3公里以外）
案例

案例

案例

案例

同样距离的房屋价格在2000年到 2003年间的变化。
四、其他非线性形式的回归
反函数曲线方程 复合曲线方程方程 幂函数曲线方程 S形曲线方程 生长曲线方程 指数曲线方程 Logistic曲线方程
Ln(TestScore) = 6.336 + 0.0554 ln(Incomei) (0.006) (0.0021)
Income 提高 1%，预计 TestScore 提高 0.0554% 。
增加 0.0554%，（即 Income 变为原来的 1.01 倍，TestScore 增加为原来的 1.000554 倍）
0.00554 650 = 3.6 分。
例如：生产函数
CD生产函数：
Y AK L
对弹性进行估计：
Ln(Y ) LnA LnK LnL u
二、对数回归
注意： 在对变量做对数变换时，该变量的
取值不能出现“负数”！
总结:
非线性回归函数的形式与分类。 回归系数的解释
三、自变量之间的交互作用