§3.3 磁场分布【预习重点】1.毕奥－萨伐尔定律、载流圆线圈在轴线上某点的磁感应强度公式。

2.亥姆霍兹线圈的组成及其磁场分布的特点。

3.霍尔效应、霍尔传感器原理。

【实验目的】1.测亥姆霍兹线圈在轴线上的磁场分布。

2.测载流圆线圈在轴线上的磁场分布，验证磁场叠加原理。

3.比较两载流圆线圈距离不同时轴线上磁场分布情况。

【实验原理】一、圆线圈载流圆线圈在轴线（通过圆心并与线圈平面垂直的直线）上磁场情况如图1。

根据毕奥萨伐尔定律，轴线上某点的磁感应强度B 为I N x R B ⋅+⋅=2/32220)(2μ （3.3.1）式中I 为通过线圈的电流强度，N 为线圈匝数，R 线圈平均半径，x 为圆心到该点的距离，0μ为真空磁导率。

而圆心处的磁感应强度0B 为I N RB ⋅=200μ （3.3.2）轴线外的磁场分布情况较复杂，这里简略。

二、亥姆霍兹线圈亥姆霍兹线圈是一对彼此平行且连通的共轴圆形线圈，每一线圈N 匝，两线圈内的电流方向一致，大小相同，线圈之间距离d 正好等于圆形线圈的平均半径R 。

其轴线上磁场分布情况如图3.3.2所示，虚线为单线圈在轴线上的磁场分布情况。

这种线圈的特点是能在其公共轴线中点附近产生较广的均匀磁场区，故在生产和科研中有较大的实用价值，也常用于弱磁场的计量标准。

设x 为亥姆霍兹线圈中轴线上某点离中心点O 处的距离，则亥姆霍兹线圈轴线上任一点的磁感应强度大小B ′为3/23/22222201222R R B N I R R x R x μ−−⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎪⎪′=⋅⋅⋅++++−⎢⎥⎢⎥⎨⎬⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎩⎭（3.3.3） 而在亥姆霍兹线圈轴线上中心O 处磁感应强度大小′0B 为003/285N I B μ⋅⋅′= （3.3.4） 三、双线圈若线圈间距d 不等于R 。

设x 为双线圈中轴线上某点离中心点O 处的距离，则双线圈轴线上任一点的磁感应强度大小B ′′为3/23/22222201222d d B N I R R x R x μ−−⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪⎛⎞⎛⎞′′=⋅⋅⋅++++−⎢⎥⎢⎥⎨⎬⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎩⎭（3.3.5）四、霍尔效应、霍尔传感器1.霍尔效应 霍尔效应是具有载流子的导体（或半导体）同时处在电场和磁场中而产生电势的一种现象。

如图3.3.3（带正电的载流子）所示，把一块宽为b ，厚为d 的导电板放在磁感应强度为B 的磁场中，并在导电板中通以纵向电流I ，此时在板的横向两侧面A ,A ′之间就呈现出一定的电势差，这一现象称为霍尔效应，所产生的电势差U H 称霍尔电压。

霍尔效应的数学表达式为：U H ＝R HdIB R H 是由半导体本身载流子迁移率决定的物理常数，称为霍尔系数。

霍尔效应可以用洛伦兹力来解释。

详见附页。

2.霍尔传感器 近年来，在科研和工业中，集成霍尔传感器被广泛应用于磁场测量，它测量灵敏度高，体积小，易于在磁场中移动和定位。

本实验用SS95A 型集成霍尔传感器测量载流圆线圈磁场分布，其工作原理也基于霍尔效应，即U H ＝R HdIB＝K H IB K H ＝R H /d K H 称为霍尔元件灵敏度，B 为磁感应强度，I 为流过霍尔元件的电流强度。

理论上B 为零时，U H 也为零，但实际情况U H 示值并不为零，这是由于霍尔元件所用的半导体材料结晶不均匀、各电极不对称等引起附加电势差U 0 ，称为剩余电压。

本实验采用的SS95A 型集成霍尔传感器由霍尔元件、放大器和薄膜电阻剩余电压补偿器组成，测量时输出信号大，剩余电压的影响已被消除。

一般的霍尔元件有四根引线，两根为输入霍尔元件电流的“电流输入端”；另两根为霍尔元件的“霍尔电压输出端”。

本实验在设计安装时，传感器、圆线圈的工作回路相互独立，并且传感器的工作电流已设定为标准工作电流（定值）。

即K H I ＝K （常数） 则有 U H ＝KB K 为常数 这样U H 与B 建立简单的正比对应关系，由U H 值可得出B 的示值。

【实验仪器】实验装置见图3.3.4，FD-HM-І型磁场测定仪由圆线圈和亥姆霍兹线圈实验平台（包括两个圆线圈、固定夹、不锈钢直尺、铝尺）、高灵敏度毫特计和数字式直流稳流电源等组成。

一、实验平台 两个线圈各500匝，圆线圈的内径19.00cm 、外径21.00cm 、平均半径R =10.00cm.。

实验平台的台面应在两个对称圆线圈轴线上（台面中心横刻线与两个对称圆线圈轴线重合），台面上有相间1.00cm 的均匀网格线。

二、高灵敏度毫特计它采用两个参数相同的SS95A 型集成霍尔传感器，配对组成探测器，经信号放大后，用三位半数字电压表测量探测器输出信号。

该仪器量程0—2.000mT ，分辨率为1610T −×三、数字式直流稳流电源它由直流稳流电源、三位半数字式电流表组成。

当两线圈串接时，电源输出电流为50-200mA 连续可调；当两线圈并接时，电源输出电流为50-400mA 连续可调。

数字式电流表显示输出电流时应注意：υd F e图 3.3.3 霍尔效应示意图3.3.4 FD-HM-І型磁场测定仪(1)开机后，应至少预热10分钟，才进行实验。

(2)每测量一点磁感应强度值，换另一位置测量时，应断开线圈电路，在电流为零时调零，然后接通线圈电路，进行测量和读数，调零的作用是抵消地磁场的影响及对其它不稳定因素的补偿。

【实验内容】一、测量前准备1.连接电路见图3.3.4，接通电源，开机预热10分钟以上。

2.用铝尺和钢板尺调整两线圈位置，使两线圈共轴且轴线与台面中心横刻线重合，两线圈距离为R =10.00cm (线圈半径)，即组成一个亥姆霍兹线圈.调节依据可参考注意事项1。

3.熟悉传感器的放置方法。

二、单线圈轴线上各点磁感应强度的测量1、毫特斯拉计2、电流表3、直流电流源4、电流调节旋钮5、调零旋钮6、传感器插头7、固定架8、霍尔传感器9、大理石 10、线圈 A、B、C、D 为接线柱1. 单线圈a 轴线上各点的磁感应强度a B按图接线（直流稳流电源中数字电流表已串接在电源的一个输出端），只给单线圈a 通电，旋转电流调节旋纽，令电流I 为100mA 。

取台面中心为坐标原点O ，通过O 的横刻线为OX 轴。

把传感器探头从一侧沿OX 轴移动,每移动1.00cm 测一磁感应强度a B ，测出一系列与坐标x 对应的磁感应强度a B ，数据填入预习报告的表格中。

测量区域为-10cm —+10cm 。

实验中，应注意毫特计探头沿线圈轴线移动，每测量一个数据，必须先在直流电流输出电路断开时（I =0）调零后，才测量和记录数据。

2. 单线圈b 轴线上各点的磁感应强度b B 只给单线圈b 通电，旋转电流调节旋纽，令电流I 为100mA 。

以上述同样的测量方法，测出一系列X —b B 数据，并将数据填入预习报告的表格中。

测量区域为-10cm —+10cm 。

3.在轴线上某点转动毫特计探头，观察一下该点磁感应强度的方向：转动探头观测毫特计的读数值，读数最大时传感器法线方向，即是该点磁感应强度方向。

三、双线圈轴线上各点磁感应强度测量1.令两线圈串连，流过的电流方向一致（红黑接线柱交错相接），组成亥姆霍兹线圈。

然后，旋转电流调节旋纽，在同样电流I=100mA 条件下，测轴线上各点的磁感应强度R B 值测量方法同上。

得出的一系列X －R B 数据填入表格。

测量区域为-10cm —+10cm 。

2.分别把双线圈间距离调整为d =R /2和d =2R 并测量在电流为I=100mA 时轴线上各点磁感应强度值。

测量方法同上。

并将得出的X －2R B 、X －2R B 数据填入表格。

测量区域为-10cm —+10cm 。

四、数据处理1.将测得的单、双线圈中心点的磁感应强度与理论公式计算结果相比较，看是否一致。

2.用直角坐标纸，在同一坐标系作R B －X 、a B －X 、b B －X 、a B +b B －X 四条曲线，考察R B －X 与a B +b B －X 曲线，验证磁场叠加原理，即载流亥姆霍兹线圈轴线上任一点磁感应强度R B 是两个载流单线圈在该点上产生磁感应强度之和a B +b B 。

3.用直角坐标纸，在同一坐标系作R B －X 、2R B －X 、2R B －X 三条曲线，证明磁场叠加原理。

【注意事项】1.注意霍尔传感器的放置方法。

由于磁感应强度B 是矢量，测量过程中，传感器沿轴线放置时，毫特计可能指示负值，这里为了便于比较、验证叠加原理，统一取其绝对值。

2.在调节两线圈时，应注意两线圈是否共轴、轴线是否共与台面中心横刻线重合。

为了便于判断，这里给出判断依据（仅供参考）：（1）单线圈 B 值应关于单线圈的中心点（圆心）左右对称；若以亥姆霍兹线圈轴线的中心点为坐标原点，则点 B 5=0.314 mT B 15=0.111 mT B 0=0.225 mT（2）双线圈 B 值应关于双线圈的中心点左右对称；若以双线圈轴线的中心点为坐标原点，则有双线圈距离为R 时： B 0=0.450 mT B 10=0.278 mT B 5=0.425 mT双线圈距离为R /2时： B 0=0.573mT B 10=0.237 mT B 5=0.448 mT 双线圈距离为2R 时： B 0=0.222 mT B 10=0.342 mT B 5=0.278 mT 实测数据上下不应超出上述值的3％（为仪器允许误差）。

3.两线圈采用串接或并接与电源相连时，必须注意磁场的方向。

如果接错线有可能使双线圈中间轴线上的磁场为零或极小。

4.测每一点的B 值之前，毫特计必须事先调零。

5.测双线圈磁场分布时，两线圈应串联。

【思考题】1.为什么测每一点B 值前，必须断开线圈电路，对毫特计进行调零？2.测双线圈磁场分布时两线圈是并联还是串联？并联、串联轴线磁场分布有何异同？为什么？【附】霍尔效应的详细解释：在图3.3.3中，设导体中的载流子为电荷q ，其漂移速度为υd ，于是载流子在磁场中要受洛伦兹力F m 的作用，其值为F m ＝q υB 。

在洛伦兹力作用下，导体板内的载流子将向板的A 端移动，从而使A ,A ′两侧面上分别有正、负电荷的积累。

这样，便在A ,A ′之间建立起电场强度为E 的电场，于是，载流子就要受到一个与洛罗伦兹力方向相反的电场力F e . 随着A ,A ′上电荷积累，F e 也不断增大。

当电场力增大到正好等于洛伦兹力时，就达到了平衡。

这时导体板A ,A ′两侧之间的横向电场称为霍尔电场E H ，则有E H ＝dU H由于动平衡时电场力与洛伦兹力相等，有qE H ＝ q υd B得 E H ＝υd B 于是dU H＝υd B 而I ＝qn υd S ＝qn υd bd联立上式，得U H ＝nqdIB对于一定材料，载流子数密度n 和电荷q 都是一定的。