江西省上饶市横峰中学2020届高考数学下学期适应性考试试题 理考试时间：120分钟一、选择题：（本题包括12小题，共60分，每小题只有一个选项符合题意） 1．设集合{}220A x x x =--≤，{}3log 1B x x =≤，则A B =( )A ．[]1,2-B ．(]0,1C ．(]0,2D ．[]1,32．已知复数()z i a i =-（i 为虚数单位，a R ∈），若12a <<，则z 的取值范围为（ ）A．B．)2C．(D ．()1,23．某中学高二年级共有学生2400人，为了解他们的身体状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本，若样本中共有男生42人，则该校高二年级共有女生（ ） A ．1260B ．1230C ．1200D ．11404．已知3,5,12a b a b ==⋅=，则向量a 在向量b 上的投影为（ ）A ．125B ．3C ．4D ．55．已知命题“:p x R ∀∈,211x +≥”的否定是（ ）A ．0x R ∃∈,2011x +≤B ．0x R ∃∈,2011x +<C ．x R ∀∈,211x +<D ．x R ∀∈,211x +≤6．若实数x ，y 满足约束条件220,20,30,x y x y x y -+≤⎧⎪+≤⎨⎪-+≤⎩则233z x y =-+的最大值为（ ）A ．8-B ．5-C ．2-D ．15-7．在ABC∆中，已知45A ∠=︒，AB =AB 边上的高为sin C =（ ）A ．10 B ．310C ．10 D ．2108．函数()()22sin cos x xf x x x -=-的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若()()120f x f x +=.且120x x ≤，则12x x -的最小值( ) A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π 10．已知双曲线22:14x C y -=，12,F F 分别为双曲线的左右焦点，00(,)P x y 为双曲线C 上一点，且位于第一象限，若三角形12PF F 为锐角三角形，则0y 的取值范围为（ ）A ．5)+∞ B ．25)+∞ C ．51()2D ．125(211．如图，在矩形ABCD 中，已知22AB AD a ==，E 是AB 的中点，将ADE 沿直线DE 翻折成1A DE △，连接1A C .若当三棱锥1A CDE -的体积取得最大值时，三棱锥1A CDE -外接82，则a =（ ） A ．2 B 2 C ．2D ．412．已知函数()()21cos 12f x ax x a R =+-∈，若函数()f x 有唯一零点，则a 的取值范围为A ．(),2-∞B ．(][),01,-∞⋃+∞C ．()(),01,-∞⋃+∞D ．()[),01,-∞⋃+∞二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知()6x a +的展开式中所有项系数和为64，其中实数a 为常数且0a <，则a =________.14．已知2sin 2cos sin ,ααβ==且22ππαβ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，，，则()cos 2αβ+=______. 15．盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色相同外完全相同.从盒中一次随机取出4个球，设X 表示取出的三种颜色球的个数的最大数，则()3P X ==____.16．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点(00,22p H x x ⎛⎫>⎪⎝⎭是抛物线C 上的一点，以H 为圆心的圆交直线2px =于A 、B 两点（点A在点B 的上方），若7sin 9HFA ∠=，则抛物线C 的方程是_________.三、解答题（共70分。

解题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22、23选做其中一道题） 17．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =，12n n S a +=-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足22log 1n n b a =+，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：123111134n T T T T ++++<. 18．（12分）如图，底面ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，CF ∥DE ，3DE CF =，BE 与平面ABCD 所成的角为45．（1）求证：平面ACE ⊥平面BDE ； （2）求二面角F BE D --的余弦值．19．（12分）在疫情这一特殊时期，教育行政部门部署了“停课不停学”的行动，全力帮助学生在线学习.复课后进行了摸底考试，某校数学教师为了调查高三学生这次摸底考试的数学成绩与在线学习数学时长之间的相关关系，对在校高三学生随机抽取45名进行调查.知道其中有25人每天在线学习数学的时长是不超过1小时的，得到了如下的等高条形图：（1）是否有99%的把握认为“高三学生的这次摸底考试数学成绩与其在线学习时长有关”； （2）将频率视为概率，从全校高三学生这次数学成绩超过120分的学生中随机抽取10人，求抽取的10人中每天在线学习时长超过1小时的人数的数学期望与方差.20．（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b =>>+3且与长轴垂直的弦长为1．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点M 为椭圆上位于第一象限内一动点，, A B 分别为椭圆的左顶点和下顶点， 直线MB 与x 轴交于点C ，直线MA 与轴交于点D ，求证：四边形ABCD 的面积为定值．21.（12分）已知函数()2xf x e x =-.（1）求曲线()f x 在1x =处的切线方程；（2）求证：当0x >时，()21ln 1x e e x x x+--≥+. ()20P K k ≥ 0.0500.010 0.0010k3.841 6.635 10.828()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()23πρθ+=.（1）求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；（2）直线l 与x 轴的交点为P ，经过点P 的直线m 与曲线C 交于,A B两点，若||||PA PB +=m 的倾斜角.23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()()0,0f x x a x b a b =-++>>. （1）若1a b ==时，解不等式()2f x x ->； （2）若()f x 的值域是[)4,+∞，若1111k a b +≥++恒成立，求k 的最大值横峰中学2020届高三适应性考试数学（理科）答案一、选择题：二、填空题：13. 3- 14. 14- 14.136316. 24y x = 三、解答题：17. 解：（1）因为12n n S a +=-，①当2n ≥时，12n n S a -=-，②由①-②得1n n n a a a +=-，即12n n a a +=，当1n =时，2124a a =+=，21422a a ==， 所以数列{}n a 为等比数列，其首项为12a =，公比为2，所以112n nn a a q -==； ....................................6分（2）由（1）得，22log 121n n b a n =+=+，所以()2n T n n =+，所以()11111222k T k k k k ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 11111111111...2324112nk kT n n n n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑. 31114212n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭因为11012n n +>++所以1134nk kT =<∑ ....................................12分 18.解：（1）证明：因为DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ．∴DE ⊥AC ．又底面ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，又BD ∩DE=D ，∴AC ⊥平面BDE ，又AC ⊂平面ACE ，∴平面ACE ⊥平面BDE ． ....................................5分（2）以D 为坐标原点，DA 、DC 、DE 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示，因为BE 与平面ABCD 所成的角为45°， 即∠EBD=45°，∴DE=BD=2AD=32，CF=2∴A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），E（0，0，32），F（0，3，2），∴ =（﹣3，0，2）， =（0，3，22-），设平面BEF的一个法向量为 =（x，y，z），则，即3203220x zy z⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，令z=32，则 =（2，4，32）．又AC⊥平面BDE，∴=（﹣3，3，0）为平面BDE的一个法向量．∴cos＜＞=3832⋅19．∴二面角F﹣BE﹣D 19．....................................12分19.解：（1）依题意，得22⨯列联表在线学习时长120≤分120>分合计∵2245(1515510)4415.51256.6352025252080K ⨯-⨯===<⨯⨯⨯∴没有99%的把握认为“高三学生的这次摸底成绩与其在线学习时长有关”； ....................................6分 （2）从上述22⨯列联表中可以看出：这次数学成绩超过120分的学生中每天在线学习时长超过1小时的频率为150.625=， 则()~10,0.6X B ， ∴()100,66E X =⨯=，()()100.610.6 2.4D X =⨯⨯-=. ....................................12分20.解（1）由已知可得：2222221c ab a a bc ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得：21a b =⎧⎨=⎩； 所以椭圆C 的方程为：2214x y +=． ....................................4分（2）因为椭圆C 的方程为：2214x y +=，所以()2,0A -，()0,1B -．设()(),0,0M m n m n >>，则2214m n +=，即2244m n +=．则直线BM 的方程为：11n y x m +=-，令0y =，得1C mx n =+； 同理：直线AM 的方程为：()22n y x m =++，令0x =，得22D ny m =+． 所以()()()2221121212212221ABCDm n m n S AC BD n m m n ++=⋅⋅=⋅+⋅+=⋅++++22144448144882222222m n mn m n mn m n mn m n mn m n ++++++++=⋅=⋅=++++++． 即四边形ABCD 的面积为定值2． ....................................12分 21. 解： （1）()2x f x e x =-，()2x f x e x '=-，由题设得()()12,11f e f e '=-=-，所以曲线()f x 在1x =处的切线方程为()()211y e x e =--+-，即()21y e x =-+； ....................................4分（2）令()()g x f x '=，则()2x g x e '=-，当ln2x <时，()0g x '<，当ln2x >时，()0g x '>，所以函数()()g x f x '=在(),ln 2-∞上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增，()()()min ln 2ln 222ln 20g x g f '===->，所以函数()2x f x e x =-在()0,+∞上单调递增，由于曲线()f x 在1x =处的切线方程为()21y e x =-+，()11f e =-，可猜测函数()f x 的图象恒在切线()21y e x =-+的上方. 先证明当0x >时，()()21f x e x ≥-+.设()()()()210h x f x e x x =--->，则()()()22,2x x h x e x e h x e '''=---=-，当ln2x <时，()0h x ''<，当ln2x >时，()0h x ''>，所以()h x '在()0,ln 2上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增，由()()030,10,0ln 21h e h ''=->=<<，所以()ln 20h '<，所以存在()00,ln 2x ∈，使得()00h x '=，所以当()()00,1,x x ∈+∞时，()0h x '>，当()0,1x x ∈时，()0h x '<，所以()h x 在()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，在()1,+∞上单调递增.因为()()010h h ==，所以()0h x ≥，即()()21f x e x ≥-+，当且仅当1x =时取等号， 所以当0x >时，()221x e x e x -≥-+， ...................................9分变形可得()21x e e x x x+--≥，又由于ln 1x x ≥+，当且仅当1x =时取等号（证明略）， 所以()21ln 1x e e x x x +--≥+，当且仅当1x =时取等号. ....................................12分22.解：（1）曲线C 的普通方程为226x y +=， (2)分因为cos()23πρθ+=，所以cos sin 40ρθθ-=，直线l 的直角坐标方程为40x -=. ....................................5分（2）点P 的坐标为(4,0)，设直线m 的参数方程为4cos sin x t y t θθ=+⎧⎨=⎩（t 为参数，θ为倾斜角）， 联立直线m 与曲线C 的方程得28cos 100t t θ++=.设,A B 对应的参数分别为12,t t ，则121228cos 1064cos 400t t t t θθ+=-⎧⎪=⎨⎪∆=->⎩，所以1212||||||||||8|cos |PA PB t t t t θ+=+=+==，得cos 2θ=±，且满足>0∆， 故直线m 的倾斜角为6π或56π. ....................................10分 23.解：（1）∵1a =，1b =∴()2,1112,112,1x x f x x x x x x ≥⎧⎪=-++=-<<⎨⎪-≤-⎩当1x ≥时，()2f x x ->化为2x >，不等式的解为2x >；当11x -<<时，()2f x x ->化为220x x ->⇒<，不等式的解为10x -<<； 当1x ≤-时，()2f x x ->化为2323x x ->⇒<-，所以不等式的解为1x ≤-； 综上所述，不等式的解集为{2x x 或}0x ≤ ....................................5分（2）∵()|||||()()|||f x x a x b x a x b a b =-++≥--+=+，当且仅当()()0x a x b -+≤时取“=”号又()f x 的值域是[)4,+∞，∵4a b +=，∵0a >，0b >.∴ ∴4116a b a b +=⇒+++=∵()1111112241111a b a b a b b a ++⎛⎫⎛⎫+++⋅+=++≥+≥ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ （当且仅当1111b a a b ++=++，即2a b ==时取“=”号） ∴112113a b +≥++，当且仅当2a b ==时取“=”号. 又1111k a b +≥++恒成立，∴23k ≤∴k 的最大值是23 ....................................10分。