专项突破 新高考·新题型专练一、多项选择题:在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 1.已知集合M ={0,1,2},N ={x ||x - 1|≤1},则 ( ) A.M =N B.N ⊆M C.M ∩N =M D.(∁R M )∪N =R 2.已知i 为虚数单位,则下列结论正确的是 ( )A .复数z =1+2i 1-i的虚部为32B .复数z =2+5i -i的共轭复数z -= - 5 - 2iC .复数z =12 − 12i 在复平面内对应的点位于第二象限 D .若复数z 满足1z ∈R ,则z ∈R3.采购经理指数(简称PMI )是国际上通行的宏观经济监测指标体系之一,对国家经济活动的监测和预测具有重要作用.制造业PMI 在50%以上,通常反映制造业总体扩张,低于50%,通常反映制造业总体衰退.如图1 - 1是2018年10月到2019年10月我国制造业PMI 的统计图,下列说法正确的是( )图1 - 1A.大部分月份制造业总体衰退B.2019年3月制造业总体扩张最大C.2018年11月到2019年10月中有3个月的PMI 比上月增长D.2019年10月的PMI 为49.3%,比上月下降0.5个百分点 4.已知函数f (x )={x 2,x ≤0,-x 2,x >0,则下列结论中正确的是( )A.f ( - 2)=4B.若f (m )=9,则m =±3C.f (x )是偶函数D.f (x )在R 上单调递减5.已知(ax 2+√x )n (a >0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,且展开式中各项系数之和为1 024,则下列说法正确的是( )A.展开式中奇数项的二项式系数之和为256B.展开式中第6项的系数最大C.展开式中存在常数项D.展开式中含x 15项的系数为456.已知向量a =(1,2),b =(m ,1)(m <0),且满足b ·(a +b )=3,则 ( )A.|b |=√2B.(2a +b )∥(a +2b )C.向量2a - b 与a - 2b 的夹角为π4 D.向量a 在b 方向上的投影为√557.已知函数f (x )=sin (2x - π6),下列结论正确的是 ( )A.f (x )的最小正周期是πB.f (x )=12是x =π2的充分不必要条件C.函数f (x )在区间(π3,5π6)上单调递增D.函数y =|f (x )|的图象向左平移π12个单位长度后所得图象的对称轴方程为x =k4π(k ∈Z ) 8.同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1,2,3,4的正四面体一次,记事件A ={第一个四面体向下的一面出现偶数},事件B ={第二个四面体向下的一面出现奇数},事件C ={两个四面体向下的一面同时出现奇数,或者同时出现偶数}.则下列说法正确的是 ( )A.P (A )=P (B )=P (C )B.P (AB )=P (AC )=P (BC )C.P (ABC )=18 D.P (A )P (B )P (C )=189.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,且x >0时,f (x )=(x - 2)e x ,则下列结论正确的是 ( ) A .f (x )>0的解集为( - 2,0)∪(2,+∞) B .当x <0时,f (x )=(x +2)e - x C .f (x )有且只有两个零点D .∀x 1,x 2∈[1,2],|f (x 1) - f (x 2)|≤e10.设圆A :x 2+y 2 - 2x - 3=0,则下列说法正确的是 ( ) A.圆A 的半径为2B.圆A 截y 轴所得的弦长为2√3C.圆A 上的点到直线3x - 4y +12=0的最小距离为1D.圆A 与圆B :x 2+y 2 - 8x - 8y +23=0相离11.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,C 为钝角,且c - b =2b cos A ,则下列结论中正确的是( )A.a 2=b (b +c )B.A =2BC.0<cos A <12D.0<sin B <1212.设f ' (x )是函数f (x )的导函数,若f ' (x )>0,且∀x 1,x 2∈R (x 1≠x 2),f (x 1)+f (x 2)<2f (x 1+x 22),则下列各项中正确的是 ( )A.f (2)<f (e )<f (π)B.f ' (π)<f ' (e )<f ' (2)C.f ' (2)<f (3) - f (2)<f ' (3)D.f ' (3)<f (3) - f (2)<f ' (2)13.已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列,{b n }是公差不为0的等差数列,且a 2=b 2,a 8=b 8,则( )A.a 5=b 5B.a 5<b 5C.a 4<b 4D.a 6>b 6 14.[2020山东省统考]如图1 - 2,正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1的棱长为1,E ,F ,G 分别为BC ,CC 1,BB 1的中点,则( )图1 - 2A .直线D 1D 与直线AF 垂直B .直线A 1G 与平面AEF 平行C .平面AEF 截正方体所得的截面面积为98 D .点C 与点G 到平面AEF 的距离相等15.已知矩形ABCD ,AB =1,BC =√3,将△ADC 沿对角线AC 进行翻折,得到三棱锥D - ABC ,则在翻折的过程中,下列结论正确的是 ( )A.三棱锥D - ABC 的体积的最大值为13B.三棱锥D - ABC 的外接球的体积不变C.三棱锥D - ABC 的体积最大时,二面角D - AC - B 的大小是60°D.异面直线AB 与CD 所成角的最大值为90°16.已知椭圆x 23+y 26=1上有A ,B ,C 三点,其中B (1,2),C ( - 1, - 2),tan ∠BAC =92,则下列说法正确的是( )A.直线BC 的方程为2x - y =0B.k AC =12或4C.点A 的坐标为( - 19,229) D.点A 到直线BC 的距离为4√5917.在数列{a n }中,a 1=1,a 2=2,a 3=3,a n +3+( - 1)n a n +1=1(n ∈N *),数列{a n }的前n 项和为S n ,则下列结论正确的是( )A.数列{a n }为等差数列B.a 18=10C.a 17=3 D .S 31=14618.过抛物线y 2=3x 的焦点f 的直线与抛物线交于A (x 1,y 1)(y 1>0),B (x 2,y 2)两点,点A ,B 在抛物线准线上的射影分别为A 1,B 1,直线AO 交准线于点M (O 为坐标原点),则下列说法正确的是( )A.OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0B.∠A 1F B 1=90°C.直线MB ∥x 轴D.|AF |·|BF |的最小值是94二、双空题.19.已知函数g (x )=2sin [ω(x +π12)](ω>0)的图象是由函数f (x )的图象先向左平移π6个单位长度,再将所得图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)得到的.若f (x )的最小正周期为π,则f (x )= ;若函数f (x )在区间[0,π6]上单调递增,在区间[π6,π3]上单调递减,则实数ω的值为 .20.如图1 - 3,在平面四边形ABCD 中,E ,F 分别为边CD ,AD 上的点,△DEf 为等边三角形,CE =Ef ,且∠ABC =π3,AE =√13,AF =3,则AC = ,△ABC 面积的最大值为 .图1 - 321.[2020长春市第一次质量监测]已知数列{a n }的前n 项和为S n ,满足a 1= - 12,且a n +a n +1=2n 2+2n (n ∈N *),则S 2n = , a n = .22.[2019北京市顺义区第二次统考]已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点和双曲线x 2 - y 23=1的右焦点F 2重合,则抛物线的方程为 ;P 为抛物线和双曲线的一个公共点,则点P 与双曲线左焦点F 1之间的距离为 .23.设函数f (x )(x ∈R )的导函数为f ' (x ),f (0)=2 020,且f ' (x )=f (x ) - 2,则f (x )= ,f (x )+4 034>2f ' (x )的解集是 .24.如图1 - 4,在棱长均为3的正四棱锥P - ABCD 中,E ,F ,G ,H 分别是PA ,PB ,PC ,PD 上异于端点的点,且平面EF GH 与平面ABCD 平行,S 为AC 和BD 的交点,当四棱锥S - EFGH 的体积最大时,PEPA = ,此时四棱锥S - EFGH 外接球的表面积为 .图1 - 4答案及解析1.CD由|x - 1|≤1得0≤x≤2,即N=[0,2],又M={0,1,2},所以M∩N=M,M⊆N,(∁R M)∪N=R,故选CD.2.ABD对于A,z=1+2i1-i =(1+2i)(1+i)(1-i)(1+i)= - 12+32i,其虚部为32,故A正确;对于B,z=2+5i-i=(2+5i)i= - 5+2i,故z= - 5 - 2i,故B正确;对于C,z=12 − 12i在复平面内对应的点的坐标为(12,-12),位于第四象限,故C不正确;对于D,设z=a+b i(a,b∈R),则1z =1a+bi=a-bia2+b2,又1z∈R,则b=0,所以z=a∈R,故D正确.故选ABD.3.ABD根据折线图可知,大部分月份制造业总体衰退,A正确;2019年3月制造业总体扩张最大,B正确;2018年11月到2019年10月中有4个月的PMI比上月增长,C错误;2019年10月的PMI为49.3%,比上月下降0.5个百分点,D正确.故选ABD.4.AD由于- 2<0,所以f ( - 2)=( - 2)2=4,故A选项正确;由f (m)=9>0知m≤0,且m2=9,因此m= - 3,故B选项错误;由f (x)的图象(图略)可知f (x)是奇函数,且在R上单调递减,故C选项错误,D选项正确.故选AD.5.BCD因为(ax2+√)n(a>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,所以C n4=C n6,解得n=10.因为展开式中各项系数之和为1 024,所以令x=1,得(a+1)10=1 024,解得a=1.故给定的二项式为(x2+√)10,其展开式中奇数项的二项式系数之和为12×210=512,故A不正确.由n=10可知二项式系数最大的项是展开式的第6项,而(x2+√x)10的展开式的系数与对应的二项式系数相等,故B 正确.展开式的通项公式为T k +1=C 10k (x 2)10 - k ·(√)k =C 10k x 20 -5k 2(k =0,1,2,…,10),令20 - 5k2=0,解得k =8,即常数项为第9项,故C 正确.令20 - 5k2=15,得k =2,故展开式中含x 15项的系数为C 102=45,故D 正确.故选BCD .6.AC 将a =(1,2),b =(m ,1)代入b ·(a +b )=3,得(m ,1)·(1+m ,3)=3,即m 2+m =0,解得m = - 1或m =0(舍去),所以b =( - 1,1),所以|b |=√(-1)2+12=√2,故A 正确;因为2a +b =(1,5),a +2b =( - 1,4),1×4 - ( - 1)×5=9≠0,所以2a +b 与a +2b 不平行,故B 错误;设向量2a - b 与a - 2b 的夹角为θ,易知2a -b =(3,3),a - 2b =(3,0),所以cos θ=(2a -b)·(a -2b)|2a -b||a -2b|=√22,所以θ=π4,故C 正确;向量a 在b 方向上的投影为a ·b |b |=√=√22,故D 错误.故选AC.7.AD 对于A ,由最小正周期T =2πω=2π2=π知A 正确;对于B ,由f (x )=12得2x - π6=2k π+π6(k ∈Z )或2x - π6=2k π+5π6(k ∈Z ),即x =k π+π6(k ∈Z )或x =k π+π2(k ∈Z ),可知f (x )=12是x =π2的必要不充分条件,B 不正确;对于C ,由π3<x <5π6得π2<2x - π6<3π2,因为y =sin x 在(π2,3π2)上单调递减,故C 不正确;对于D ,y =|f (x )|的图象向左平移π12个单位长度得y =|sin [2(x +π12) - π6]|=|sin 2x |的图象,由y =|sin x |的图象的对称轴为直线x =kπ2(k ∈Z )得y =|sin 2x |的图象的对称轴为直线x =kπ4(k ∈Z ),D 正确.故选AD .8.ABD 由古典概型的概率计算公式,得P (A )=P (B )=24=12,P (C )=84×4=12,所以P (A )=P (B )=P (C )=12,A正确;P (A )P (B )P (C )=18,D 正确;而事件A ,B ,C 不可能同时发生,故P (ABC )=0,所以C 不正确;又P (AB )=2×24×4=14,P (AC )=2×24×4=14,P (BC )=2×24×4=14,所以P (AB )=P (AC )=P (BC ),B 正确.故选ABD .9.ABD 当x >0时,f (x )<0的解集为(0,2),f (x )>0的解集为(2,+∞),由f (x )为奇函数可知选项A 正确;当x <0时,f (x )= - f ( - x )= - ( - x - 2)e - x =(x +2)e - x ,选项B 正确;当x >0时,x =2为f (x )的零点,又f (x )是定义在R 上的奇函数,所以f (0)=0,f ( - 2)=0,故f (x )有且只有三个零点,选项C 错误;当x >0时,f ' (x )=(x - 1)e x ,故f (x )在[1,2]上单调递增,所以f (x )min =f (1)= - e ,f (x )max =f (2)=0,所以|f (x 1) - f(x2)|≤f (x)max - f (x)min=e,选项D正确.故选ABD.10.ABC把圆A的方程x2+y2 - 2x - 3=0化成标准方程,为(x - 1)2+y2=4,所以圆A的圆心坐标为(1,0),半径为2,A正确;圆A截y轴所得的弦长为2×√4-1=2√3,B正确;圆心(1,0)到直线3x-4y+12=0的距离为3,故圆A上的点到直线3x- 4y+12=0的最小距离为3 - 2=1,C正确;易知圆B:x2+y2 - 8x - 8y+23=0的圆心为(4,4),半径为3,根据√(4-1)2+42=5可知,圆A与圆B相切,D错误.故选ABC.11.ABD因为c - b=2b cos A,所以由余弦定理得c - b=2b·b2+c2-a22bc,所以c(c - b)=b2+c2 - a2,整理得a2=b(b+c),故A选项正确;因为c- b=2b cos A,所以由正弦定理得sin C- sin B=2sin B cos A,即sin(A+B) - sin B=2sin B cos A,所以sin A cos B - sin B cos A=sin B,即sin(A - B)=sin B,由于C是钝角,所以A- B=B,即A=2B,故B选项正确;由于A=2B,且C>90°,所以0°<A<60°,0°<B<30°,因此12<cosA<1,0<sin B<12,故C选项错误,D选项正确.故选ABD.12.ABD由f ' (x)>0知,f (x)在R上单调递增,则f (2)<f (e)<f (π),故A正确;∀x1,x2∈R(x1≠x2),恒有f (x1)+f (x2)<2f (x1+x22),即f(x1)+f(x2)2<f (x1+x22),所以y=f (x)的图象是向上凸起的,如图D 1 - 1所示,图D 1 - 1由导数的几何意义知,随着x的增加,f (x)的图象越来越平缓,即切线斜率越来越小,所以 f ' (π)<f ' (e)<f ' (2),故B正确;因为k AB=f(3)-f(2)3-2=f (3)–f (2),所以由图易知f ' (3)<k AB<f ' (2),故D正确,C错误.故选ABD.13.BC解法一设{a n}的公比为q(q>0),{b n}的公差为d(d≠0).a5=√a2a8=√b2b8,b5=b2+b82,由基本不等式得√b2b8≤b2+b82,当且仅当b2=b8时等号成立,易知数列{b n}不是常数列,故B正确,A错误.因为a2q6=a8=b8=b2+6d=a2+6d,所以d=a2(q6-1)6,所以a4 - b4=a2q2 - a2 - 2d=a2(q2 - 1 - q6-13)=a23(3q2 - q6- 2)=a23(q2 - q6+2q2 - 2)=a23(1 - q2)(q4+q2 - 2)= - a23(1 - q2)2(q2+2)<0,a6 - b6=a2q4 - a2 - 4d=a23(3q4 - 1 -2q6)= - a23(1 - q2)2(2q2+1)<0,所以a4<b4,a6<b6,故C正确,D错误.故选BC.解法二设{a n}的公比为q(q>0),{b n}的公差为d(d≠0).a n=a1q n - 1=a1q·q n,b n=b1+(n- 1)d=b1- d+nd,将其分别理解成关于n的指数函数乘以正数a1q(指数函数的图象为下凹曲线)和一次函数(一次函数的图象为直线),则两函数图象分别在n=2,n=8处相交,故当3≤n≤7时,a n<b n,从而a4<b4,a5<b5,a6<b6.故选BC.14.BC假设D1D⊥AF,易知DD1⊥AE,所以D1D⊥平面AEF,又D1D⊥平面ABCD,所以平面AEF∥平面ABCD,显然不正确,故选项A不正确;连接AD1,D1F,易知EF∥AD1,所以平面AEF即平面AEFD1,又A1G∥D1F,所以A1G∥平面AEFD1,所以选项B正确;平面AEF截正方体所得的截面为梯形AEFD1,EF=√22,AD1=√2,梯形的高为√2√4=3√24,所以其面积为√2+√222×3√24=98,故选项C正确;连接CG交EF于点H,显然H不是CG的中点,所以C,G到平面AEF的距离不相等,故选项D不正确.故选BC.15.BD对于A,三棱锥D- ABC的体积V D- ABC=13S△ABC·h(h为点D到平面ABC的距离),S△ABC=12×1×√3=√32,所以当h最大时,三棱锥D - ABC的体积取得最大值,又当平面ADC⊥平面ABC时,h最大,为√32,此时V D- ABC=13×√32×√32=14,故A错误;对于B,设AC的中点为O,连接OB,OD,则OA=OB=OC=OD,所以O为三棱锥D - ABC的外接球的球心,则外接球的半径为12AC=1,所以外接球的体积为43π,翻折的过程中,三棱锥D - ABC的外接球的体积不变,故B正确;对于C,三棱锥D - ABC的体积最大时,平面ADC⊥平面ABC,所以此时二面角D - AC - B的大小是90°,故C错误;对于D,当△ADC沿对角线AC翻折到点D与点B的距离为√2,即BD=√2时,在△BCD 中,BC2=BD2+CD2,所以CD⊥BD,又CD⊥AD,BD∩AD=D,所以CD⊥平面ABD,所以CD⊥AB,即异面直线AB与CD所成角的最大值为90°,故D正确.故选BD.16.AD设A(x A,y A),直线AB,AC的倾斜角分别为θ1,θ2,不妨记θ1>θ2,由tan∠BAC=92>0,知∠BAC <π2,则数形结合易知当θ1 - θ2=∠BAC 时,才能满足题意,故tan (θ1 - θ2)=92,即kAB-k AC1+kAB ·k AC=92,又k AB ·k AC =y A -2x A-1·y A +2x A+1=y A2-4x A2-1=6-2x A 2-4x A 2-1= - 2,所以k AB - k AC = - 92,结合k AB ·k AC = - 2,解得{k AC =4,k AB =-12或{k AC =12,k AB =-4.而当{k AC =12,k AB =-4时,数形结合易知∠BAC ≠θ1 - θ2,且∠BAC >π2,故舍去.当{k AC =4,k AB =-12时,直线AC 、直线AB 的方程分别为y +2=4(x +1),y - 2= - 12(x - 1),可得A (19,229).由椭圆的对称性可知:当θ1<θ2时,同理可得{k AC =-12,k AB =4,A ( - 19, - 229),故B ,C 错误.易得直线BC 的方程为2x - y =0,故当点A为(19,229)时,点A 到直线BC 的距离为|29-229|√5=4√59,当点A 为( - 19, - 229)时,点A 到直线BC 的距离也为4√59.故A ,D 正确,选AD .17.BD 依题意得,当n 是奇数时,a n +3 - a n +1=1,即数列{a n }中的偶数项构成以a 2=2为首项、1为公差的等差数列,所以a 18=2+(9 - 1)×1=10.当n 是偶数时,a n +3+a n +1=1,所以a n +5+a n +3=1,两式相减,得a n +5=a n +1,即数列{a n }中的奇数项从a 3开始,每间隔一项的两项相等,即数列{a n }的奇数项呈周期变化,所以a 17=a 4×3+5=a 5.在a n +3+a n +1=1中,令n =2,得a 5+a 3=1,因为a 3=3,所以a 5= - 2,所以a 17= - 2.在数列{a n }中,a 3+a 5=1,a 7+a 9=1,…,a 27+a 29=1,a 31=a 4×7+3=a 3=3,偶数项构成以a 2=2为首项、1为公差的等差数列,所以S 31=1+7+3+15×2+15×(15-1)2=146.故选BD.18.BCD 由题意可知,抛物线y 2=3x 的焦点F 的坐标为(34,0),准线方程为x = - 34.易知直线AB 的斜率不为0,设直线AB 的方程为x =my +34,代入y 2=3x ,得y 2 - 3my - 94=0,易知Δ>0,所以y 1+y 2=3m ,y 1y 2= - 94,则x 1x 2=(my 1+34)(my 2+34)=916,所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1)·(x 2,y 2)= x 1x 2+ y 1y 2=916 − 94= - 2716≠0,所以A不正确;因为A (y 123,y 1),O (0,0), M ( - 34,y M )三点共线,所以y1y 123=y M -34,所以y 1y M = - 94,又y 1y 2= - 94,所以y M =y 2,所以直线MB ∥x 轴,所以C 正确;易知A 1,B 1的坐标分别为( - 34,y 1),( - 34,y 2),所以FA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·FB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( - 34 − 34,y 1)·( - 34 − 34,y 2)=94+ y 1 y 2=94 − 94=0,所以∠A 1FB 1=90°,所以B 正确;设直线AB 的倾斜角为θ(θ≠0) ,则|AF |=321-cosθ,|BF |=321+cosθ,所以|AF |·|BF |=321-cosθ·321+cosθ=94sin 2θ≥94,当且仅当AB ⊥x 轴时取等号,所以D 正确.故选BCD .19. sin(2x - π6)6因为函数g(x)=2sin[ω(x+π12)](ω>0)的图象是由函数f (x)的图象先向左平移π6个单位长度,再将所得图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)得到的,所以 f(x)=sin[ω(x - π12)].①若f (x)的最小正周期为π,则f (x)=sin(2x - π6).②若函数f (x)在区间[0,π6]上单调递增,在区间[π6,π3]上单调递减,则有f (π6)=sinωπ12=1,且2πω≥π3,结合ω>0,得ω=6.20.2√33√3在△AEF中,易知∠AFE=2π3,又AF=3,AE=√13,由余弦定理得(√13)2=32+EF2-2×3×EF×cos 2π3,可得EF=1.所以CE=DE=DF=EF=1,AD=4,CD=2.又∠ADC=π3,所以在△ACD中,由余弦定理得AC2=42+22- 2×4×2×cos π3=12,得AC=2√3.解法一设∠ACB=θ,则∠BAC=π - π3- θ=2π3- θ,所以在△ABC中,由正弦定理得ABsin∠ACB=BC sin∠BAC =ACsin∠ABC=4,所以AB=4sin θ,BC=4sin(2π3- θ),于是△ABC的面积S△ABC=12AB·BC sin π3=4√3sinθsin(2π3- θ)=4√3sin θ(√32cos θ+12sin θ)=2√3(√32sin 2θ- 12cos 2θ+12)=2√3sin(2θ- π6)+√3,则当2θ -π6=π2,即θ=π3时,S△ABC取得最大值,为3√3.解法二在△ABC中,cos∠ABC=BC2+AB2-AC22BC·AB ,结合基本不等式,得12=BC2+AB2-122BC·AB≥2BC·AB-122BC·AB,化简得BC·AB≤12(当且仅当AB=BC时取等号),所以△ABC的面积S△ABC=12BC·AB·sin∠ABC≤12×12×√32=3√3,即△ABC面积的最大值为3√3.21.2n2n+1( - 1)n+1n(n+1)因为a n+a n+1=2n2+2n=1n− 1n+2,所以S2n=a1+a2+a3+a4+…+a2n - 1+a2n=1 - 13+1 3 − 15+…+12n-1− 12n+1=1 - 12n+1=2n2n+1.因为a n+a n+1=2n2+2n ,所以a n+1=2n2+2n- a n.又a1= - 12=11×2- 1,所以a2=23+12=76=12×3+1,a3=22×4− 76=- 1112=13×4- 1,a4=23×5+1112=2120=14×5+1,…,归纳可得,a n=( - 1)n+1n(n+1).22.y2=8x7易知双曲线x2 - y23=1的右焦点F2的坐标为(2,0),左焦点F1的坐标为( - 2,0),则抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为(2,0),则p2=2,解得p=4,所以抛物线的方程为y2=8x.设点P 的坐标为(x 0,y 0),易知x 0>0,由{y 2=8x,x 2-y 23=1得3x 2 - 8x - 3=0,解得x 0=3,则P (3,2√6)或P (3, - 2√6),则点P 与双曲线左焦点F 1( - 2,0)之间的距离为√[3-(-2)]2+(0±2√6)2=7.23.2+2 018e x ( - ∞,ln 2) 令h (x )=f(x)-2e x ,则h' (x )=f '(x)e x -[f(x)-2]e x (e x )=f '(x)-f(x)+2e x , 又f ' (x )=f (x ) - 2,∴h' (x )=0,故h (x )为常数函数.设h (x )=c ,则f(x)-2e x =c ,∴f (x )=2+c e x .∵f (0)=2 020,∴f (0)=2+c =2020,∴c =2 018,故f (x )=2+2 018e x ,f ' (x )=2 018e x .由f (x )+4 034>2f ' (x ),得4 036+ 2 018e x >2×2 018e x ,故e x <2,故x <ln 2.24.23 25π2 因为平面EFGH 与平面ABCD 平行,易知四边形EFGH 与四边形ABCD 相似,所以四边形EFGH 是正方形.设PE PA =x (0<x <1),则S 正方形EFGHS 正方形ABCD =x 2,易知四棱锥S - EFGH 与四棱锥P - ABCD 的高的比值为1 - x ,设V 四棱锥P - ABCD =V 0,则V 四棱锥S - EFGH =x 2(1 - x )V 0.设f (x )=x 2(1 - x )(0<x <1),则f ' (x )=2x - 3x 2,则当0<x <23时,f ' (x )>0,函数f (x )单调递增,当23<x <1时,f ' (x )<0,函数f (x )单调递减,所以当x =23,即PE PA =23时,f (x )取得最大值,此时V 四棱锥S - EFGH 取得最大值.此时,连接PS ,FH ,EG ,设FH 与EG 交于点M ,易知点M 在PS 上,且EF =2,SM =√22,HM =√2.设四棱锥S - EFGH 的外接球的球心为O ,半径为R ,易知点O 在直线PS 上,连接OH ,易知点O 在四棱锥S - EFGH 的外部,则(R -√22)2+(√2)2=R 2,解得R =5√24,所以四棱锥S - EFGH 的外接球的表面积为4πR 2=25π2.。