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2018年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
本试卷共23题，共150分，共4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确
1．A ． 2A B = A {}3,5
34，则(2⋅a a A 5概率为 A ．0.6
B ．0.5
C ．0.4
D ．0.3
6．双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>
A ．
y = B ．y = C ．y x = D ．y =
7．在ABC △中，cos 2
C 1BC =，5AC =，则AB =
A
．B
C
D
．8199100
+
-图，则在空白框中应填入
A B C D 9A 10A 1160︒，
A 12(50)f +
+A B ．0 二、填空题：本题共4小题，每小题13在点(1,0)处的切线方程为14满足约束条件x ⎧⎪15．已知51
tan 45
πα⎛⎫-= ⎪⎝
⎭
，则tan α=__________．
16．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30︒，若SAB
△的面积为8，则该圆锥的体积为__________．
三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题
为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23为选考题。
考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值． 18．（12分）
下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图． 2,
,17）建立模
2,,7）
19．PA =到平
面20．两点，
||8AB =．
（1）求l 的方程；
（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． 21．（12分）
已知函数321()(1)3
f x x a x x =-++．
（1）若3a =，求()f x 的单调区间；
（2）证明：()f x 只有一个零点．
（二）选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按
所做的第一题计分。
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,
4sin ,x θy θ=⎧⎨=⎩
（θ为参数），直线l 的参数方
程为23．绝密17．A 8．B
9．C
10．C
11．D
12．C
二、填空题 13．y =2x –2 14．9
15．32
6．8π
三、解答题 17．解：
（1）设{a n}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．
由a1=–7得d=2．
所以{a n}的通项公式为a n=2n–9．
（2）由（1）得S n=n2–8n=（n–4）2–16．
所以当n=4时，S n取得最小值，最小值为–16．
18
y=–30.4+13.5×
2018年的环境基础设施投资额的预测值为
y=99+17.5×
）利用模型②得到的预测值更可靠．
）从折线图可以看出，2000年至
线y
20102016
资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．
（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．
以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．
19．解：
（1）因为AP =CP =AC =4，O 为AC 的中点，所以
OP ⊥AC ，且OP =2
3．
连结OB ．因为AB =BC =2
2AC ，所以△ABC 为等腰
直角三角形，且
OB ⊥AC ，OB =1
2AC =2．
由222OP OB PB +=知，OP ⊥OB ．
由OP ⊥OB ，OP ⊥AC 知PO ⊥平面ABC ．
（2）作CH ⊥OM ，垂足为H ．又由（1）可得OP ⊥CH ，所以CH ⊥平面POM ． 故CH 的长为点C 到平面POM 的距离． 由题设可知OC =1
2AC =2，CM =2
3BC =423
，∠ACB =45°． 所以OM =
25
3
，CH =
sin OC MC ACB OM ⋅⋅∠=455
．
所以点C 到平面POM 的距离为455
．
20．解：
（1）由题意得F （1，0），l 的方程为y =k （x –1）（k >0）． 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． 由2
(1)4y k x y x
=-⎧⎨
=⎩得2222(24)0k x k x k -++=．
2
16160k ∆=+=，故2122
24
k x x k ++=
． 所以
2122
44
(1)(1)k AB AF BF x x k +=+=+++=
． 由题设知2244
8k k
+=，解得
k =–1（舍去），k =1．
因此l 的方程为y =x –1．
（2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+．
设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则
0022
000
5(1)(1)16.2
y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，
解得0032x y =⎧⎨=⎩，或00116.x y =⎧⎨=-⎩， 因此所求圆的方程为
22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．
21
g
（x 【注】因为211()(1)(13)33f x x x x a -=++--，22131(024
x x x ++=++>，所以
1
(13)03
f a +=
>，2(23)(1)0f a x x -+=-++<． 综上，f （x ）只有一个零点． 22．解：
（1）曲线C 的直角坐标方程为22
1416x y +=．
当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-， 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．
（2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程
22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=．①
，2t ，则1t +2=-． 23[2,)+∞．。