习题66-1．直角三角形ABC 的A 点上，有电荷C 108.191-⨯=q ，B 点上有电荷C 108.492-⨯-=q ，试求C 点的电场强度(设0.04m BC =，0.03m AC =)。

解：1q 在C 点产生的场强：11204ACq E i rπε=，2q 在C 点产生的场强：22204BCq E j r =， ∴C 点的电场强度：4412 2.710 1.810E E E i j =+=⨯+⨯；C 点的合场强：4123.2410VE E E m=+=⨯，方向如图： 1.8arctan 33.73342'2.7α===。

6-2．用细的塑料棒弯成半径为cm 50的圆环，两端间空隙为cm 2，电量为C 1012.39-⨯的正电荷均匀分布在棒上，求圆心处电场强度的大小和方向。

解：∵棒长为2 3.12l r d m π=-=，∴电荷线密度：911.010qC m lλ--==⨯⋅可利用补偿法，若有一均匀带电闭合线圈，则圆心处的合场强为0，有一段空隙，则圆心处场强等于闭合线圈产生电场再减去m d 02.0=长的带电棒在该点产生的场强，即所求问题转化为求缺口处带负电荷的塑料棒在O 点产生的场强。

解法1：利用微元积分：21cos 4O x Rd dE R λθθπε=⋅，∴2000cos 2sin 2444O d E d R R Rααλλλθθααπεπεπε-==⋅≈⋅=⎰10.72V m -=⋅； 解法2：直接利用点电荷场强公式：由于d r <<，该小段可看成点电荷：112.010q d C λ-'==⨯，则圆心处场强：1191220 2.0109.0100.724(0.5)O q E V m R πε--'⨯==⨯⨯=⋅。

方向由圆心指向缝隙处。

ix6-3．将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为λ，四分之一圆弧AB 的半径为R ，试求圆心O 点的场强。

解：以O 为坐标原点建立xOy 坐标，如图所示。

①对于半无限长导线A ∞在O 点的场强：有：00(cos cos )42(sin sin )42Ax A y E R E R λπππελπππε=-=-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩②对于半无限长导线B ∞在O 点的场强：有：00(sin sin )42(cos cos )42B x B y E R E R λπππελπππε=-=-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩③对于AB 圆弧在O 点的场强：有：20002000cos (sin sin )442sin (cos cos )442AB x AB y E d R R E d R R ππλλπθθππεπελλπθθππεπε==-=⎧⎪⎪⎨⎪⎪=--⎩⎰⎰ ∴总场强：04O x E R λπε=，04O y E R λπε=，得：0()4O E i j Rλπε=+。

或写成场强：0E ==，方向45。

6-4．一个半径为R 的均匀带电半圆形环，均匀地带有电荷，电荷的线密度为λ，求环心处O 点的场强E 。

解：电荷元dq 产生的场为：204d qd E R πε=；根据对称性有：0y d E =⎰，则：20sin sin 4x R d E dE d E R πλθθθπε===⎰⎰⎰02Rλπε=， 方向沿x 轴正向。

即：02E i Rλπε=。

λxyE6-5．一半径为R 的半球面，均匀地带有电荷，电荷面密度为σ，求球心O 处的电场强度。

解：如图，把球面分割成许多球面环带，环带宽为d l Rd θ=，所带电荷：2dq r d l πσ=。

利用例11-3结论，有：332222220024()4(x dq r xdld E x r x r σππεπε⋅==++∴322202cos sin 4[(sin )(cos )]R R Rd dE R R σπθθθπεθθ⋅⋅⋅=+，化简计算得：201sin 2224E d πσσθθεε==⎰，∴04E i σε=。

6-6．图示一厚度为d 的“无限大”均匀带电平板，电荷体密度为ρ。

求板内、外的场强分布，并画出场强随坐标x 变化的图线，即x E -图线(设原点在带电平板的中央平面上，Ox 轴垂直于平板)。

解：在平板内作一个被平板的中间面垂直平分的闭合圆柱面1S 为高斯面， 当2dx ≤时，由12S E dS E S ⋅=⋅∆⎰和2q x S ρ=∆∑，有：0x E ρε=； 当2dx >时，由22S E dS E S ⋅=⋅∆⎰和2q d S ρ=∆∑，有：02dE ρε=。

图像见右。

6-7．在点电荷q 的电场中，取一半径为R 的圆形平面(如图所示)， 平面到q 的距离为d ，试计算通过该平面的E 的通量.解：通过圆平面的电通量与通过与A 为圆心、AB 为半径、圆的平面 为周界的球冠面的电通量相同。

【先推导球冠的面积：如图，令球面的半径为r ，有22R d r +=，球冠面一条微元同心圆带面积为：2sin dS r rd πθθ=⋅ ∴球冠面的面积：200cos 2sin 2cos d rS r rd r θθπθθπθ==⋅=⎰22(1)dr rπ=-】xOθ∵球面面积为：24S r π=球面，通过闭合球面的电通量为：0qεΦ=闭合球面，由：S S Φ=Φ球冠球面球面球冠，∴001(1)(122d q q r εεΦ=-⋅=球冠。

6-8．半径为1R 和2R （21R R <）的两无限长同轴圆柱面，单位长度分别带有电量λ和λ-，试求：（1）1R r <；（2）21R r R <<；（3）2R r >处各点的场强。

解：利用高斯定律：1i SS E dS q ε⋅=∑⎰⎰内。

（1）1r R <时，高斯面内不包括电荷，所以：10E =； （2）12R r R <<时，利用高斯定律及对称性，有：202l r l E λπε=，则：202E rλπε=； （3）2r R >时，利用高斯定律及对称性，有：320rlE π=，则：30E =；即：11202ˆ20E r R E r R r R r E r R E λπε⎧=<⎪⎪=<<⎨⎪⎪==>⎩。

6-9．电荷量Q 均匀分布在半径为R 的球体内，试求：离球心r 处（r R <）P 点的电势。

解：利用高斯定律：1SS E dS q ε⋅=∑⎰⎰内可求电场的分布。

（1）r R <时，32304Q r r E R πε=⋅内；有：34Q r E R πε=内； （2）r R >时，204Q r E πε=外；有：204Q E r πε=外；离球心r 处（r R <）的电势：Rr rRU E d r E d r ∞=⋅+⋅⎰⎰外内，即：320044Rr rR Q r Q U d r d r R r πεπε∞=⋅+⋅⎰⎰2300388Q Q r R R πεπε=-。

6-10．图示为一个均匀带电的球壳，其电荷体密度为ρ，球壳内表面半径为1R ，外表面半径为2R ．设无穷远处为电势零点，求空腔内任一点的电势。

解：当1r R <时，因高斯面内不包围电荷，有：10E =， 当12R r R <<时，有：203132031323)(4)(34r R r r R r E ερπεπρ-=-=，当2r R >时，有：20313220313233)(4)(34rR R r R R E ερπεπρ-=-=， 以无穷远处为电势零点，有：21223R R R U E d r E d r ∞=⋅+⋅⎰⎰⎰⎰∞-+-=2R dr r R R dr rR r R R 203132203133)(3)(21ερερ)(221220R R -=ερ。

6-11．电荷以相同的面密度σ 分布在半径为110r cm =和220r cm =的两个同心球面上，设无限远处电势为零，球心处的电势为V 3000=U 。

（1）求电荷面密度σ；（2）若要使球心处的电势也为零，外球面上电荷面密度σ'为多少？（212120m N C 1085.8---⋅⨯=ε） 解：（1）当1r r <时，因高斯面内不包围电荷，有：10E =，当12r r r <<时，利用高斯定理可求得：21220r E r σε=， 当2r r >时，可求得：2212320()r r E rσε+=， ∴212023r r r U E d r E d r ∞=⋅+⋅⎰⎰2122221122200()r r r r r r d r d r r r σσεε∞+=+⎰⎰)(210r r +=εσ那么：2931221001085.810303001085.8m C r r U ---⨯=⨯⨯⨯=+=εσ （2）设外球面上放电后电荷密度'σ，则有：0120'(')/0U r r σσε=+=，∴12'2r r σσσ=-=- 则应放掉电荷为：2'22234()42q r r πσσσπ∆=-=⋅124 3.148.85103000.2-=⨯⨯⨯⨯⨯96.6710C -=⨯。

6-12．如图所示，半径为R 的均匀带电球面，带有电荷q ，沿某一半径方向上有一均匀带电细线，电荷线密度为λ，长度为l ，细线左端离球心距离为0r 。

设球和线上的电荷分布不受相互作用影响，试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能（设无穷远处的电势为零）。

解：（1）以O 点为坐标原点，有一均匀带电细线的方向为x 轴， 均匀带电球面在球面外的场强分布为：204q E rπε=（r R >）。

取细线上的微元：dq dl dr λλ==，有：d F E d q =， ∴0020000ˆ44()r lr qql r F dr x r r l λλπεπε+==+⎰（ˆr 为r 方向上的单位矢量） （2）∵均匀带电球面在球面外的电势分布为：04q U rπε=（r R >，∞为电势零点）。

对细线上的微元d q d r λ=，所具有的电势能为：04q dW d r rλπε=⋅，∴0000ln44r lr r lq d rq W rr λλπεπε++==⎰。

6-13．如图所示，一个半径为R 的均匀带电圆板，其电荷面密度为σ(＞0)今有一质量为m ，电荷为q -的粒子(q ＞0)沿圆板轴线(x 轴)方向向圆板运动，已知在距圆心O （也是x 轴原点）为b 的位置上时，粒子的速度为0v ，求粒子击中圆板时的速度(设圆板带电的均匀性始终不变)。

解：均匀带电圆板在其垂直于面的轴线上0x 处产生的电势为：00)2U x σε=，那么，(2ObO b U U U R b σε=-=+，由能量守恒定律，222000111()(2222Ob q m v m v qU mv R b σε=--=++， 有：)(22020b R b R m q v v +-++=εσ6-14．一半径为10.0米的孤立导体球，已知其电势为V 100(以无穷远为零电势)，计算球表面的面电荷密度。