2.3.3 Simulink仿真结果
根据上述原理，用Matlab中的Simulink组件进行仿真。
根据状态空间表达式，搭建系统模型如下图所示：
我们分别对只有输入1作用下和只有输入2作用下的系统使用Simulink进行仿真，让其与Matlab图像进行对比
图2-3 Simulink模型图
（1）仅有 作用时，系统的输出如下图所示
ans =
-5.7735 +22.3859i
-5.7735 -22.3859i
-0.9765 + 8.0332i
-0.9765 - 8.0332i
由此可以知道，经计算得出A阵的所有特征根均在复平面的左半平面，因此得出该系统是稳定的。
给系统加起阶跃信号：
A=[0 0 1 0;0 0 0 1; -400 300 -9 6;150 -200 3 -4.5];
弹簧-质量-阻尼系统是最常见的机械振动系统。机械系统如图2.1所示，
图2-1弹簧-质量-阻尼系统机械结构简图
其中 、 表示小车的质量， 表示缓冲器的粘滞摩擦系数， 表示弹簧的弹性系数， 表示小车所受的外力，是系统的输入即 , 表示小车的位移，是系统的输出，即 ，i=1,2。设缓冲器的摩擦力与活塞的速度成正比，其中 ， ， ， ， ， 。
在Matlab中输入相应系统的状态空间表达式矩阵来求取系统的特征值：
A=[0 0 1 0;0 0 0 1; -400 300 -9 6;150 -200 3 -4.5];
B=[0 0;0 0;1 0;0 0.5];
C=[1 0 0 0;0 1 0 0];
D=[0 0;0 0];
eig(A)
运行程序，得到：
2.4.1
极点问题首先解决是否能通过状态反馈来实现给定的极点配置，即在什么条件下才有可能按照规定的要求来配置极点。其次是，这样的反馈阵 如何确定的问题。
图2-7 状态反馈示意图
（1）采用状态反馈配置系统极点条件：
系统 采用状态反馈，任意配置其闭环系统极点的充要条件为：系统 完全能控。若系统不是完全能控的，就必须按能控性分解，只能任意配置可控的极点。
B=[0 0;0 0;1 0;0 0.5];
C=[1 0 0 0;0 1 0 0];
D=[0 0;0 0];[num,denຫໍສະໝຸດ =ss2tf(A,B,C,D,2)
运行程序，得到：
num =
0 -0.0000 -0.0000 3.0000 150.0000
0 -0.0000 0.5000 4.5000 200.0000
线性定常系统稳定的充分必要条件是：闭环系统特征方程的所有特征根为负实数或具有负实部的共轭复数，即所有特征根位于复平面的左半平面。只要有一个闭环特征根分布在右半平面上，系统就是不稳定的；如果没有右半平面的根，但有纯虚根，则系统是临界稳定的；在工程上，处于不稳定和临界稳定的线性定常系统是不能采用的[1]。
运行程序，得到：
num =
0 -0.0000 1.0000 4.5000 200.0000
0 -0.0000 -0.0000 3.0000 150.0000
den =
1.0e+004 *
0.0001 0.0014 0.0623 0.1800 3.5000
在输入2单独作用的情况下：
A=[0 0 1 0;0 0 0 1; -400 300 -9 6;150 -200 3 -4.5];
在古典控制系统中，我们判断系统的稳定性经常用劳斯-赫尔维茨代数判据、时域分析法、根轨迹法、频域分析法等方法，但那只针对低阶系统。实际的工业生产中，经常会遇见一些特别复杂的系统。这时古典控制理论中的方法就有点捉襟见肘了。
1892年俄国学者李雅普诺夫提出的稳定性理论是确定系统稳定性的更一般性理论，它采用了状态向量描述，不仅适用于单变量、线性、定常的系统，而且适用于多变量，非线性、时变的系统。李雅普诺夫理论在建立一系列关于稳定性概念的基础上，提出了判断系统稳定性的两种方法：一种方法是利用线性系统微分方程的解来判断系统稳定性，称为李雅普诺夫第一法或间接法；另一种方法是首先利用经验和技巧来构造李雅普诺夫函数，进而利用李雅普诺夫函数来判断系统稳定性，称为李雅普诺夫第二法或直接法。
（2）极点配置的方法：
若原系统 可控，则采用状态反馈阵 ，有 可控。
设原系统的特征方程为 。
其中 ，则有：
，
配置后的闭环特征方程为：
；
假设闭环系统希望的极点为 ，得到：
。
为使系统达到希望性能，对比式（1）和式（2）中系数，使之相等，即可求得状态反馈阵 。采用状态反馈配置系统极点不改变系统可控性，它不能影响系统中不可控部分模块。
2 弹簧-质量-阻尼模型
数学模型是定量地描述系统的动态特性，揭示系统的结构、参数与动态特性之间关系的数学表达式。其中，微分方程是基本的数学模型，不论是机械的、液压的、电气的或热力学的系统等都可以用微分方程来描述。微分方程的解就是系统在输入作用下的输出响应。所以，建立数学模型是研究系统、预测其动态响应的前提 。通常情况下，列写机械振动系统的微分方程都是应用力学中的牛顿定律、质量守恒定律等。
2.1 系统的建立
由图2.1，根据牛顿第二定律，分别分析两个小车的受力情况，建立系统的动力学模型如下：
对 有：
对 有：
联立得到：
对 ：
对 ：
令 ， ， ， ， ， ;
，
得出状态空间表达式：
所以，状态空间表达式为：
+
由此可以得出
已知： ， ， ， ， ，
代入数据得：
2.1.1 系统传递函数的计算
在Matlab中，函数ss2tf给出了状态空间模型所描述系统的传递函数，其一般形式是[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu)，其中iu是输入值。
B=[0 0;0 0;1 0;0 0.5];
C=[1 0 0 0;0 1 0 0];
D=[0 0;0 0];
step(A,B,C,D)
结果如下
图2-2 阶跃响应曲线
由图可以看出，在阶跃响应下，系统在一定时间内收敛于某一固定值，因此可以判断系统是稳定的，但同时我们也可以看出，系统的调节时间比较长，如果想要减少调节时间，那么需要重新配置极点，对系统进行改进。下面的章节将对系统进行极点的配置。
B=[0 0;0 0;1 0;0 0.5];
C=[1 0 0 0;0 1 0 0];
D=[0 0;0 0];
Qc=ctrb(A,B)
R1=rank(Qc)
运行程序，得到：
R1 =
4
等于矩阵行数，由此可以判断，系统是完全能控的。
2.2.2 系统能观性分析
设线性定常系统的状态方程为：
式中 A——n×n矩阵
在 共同作用下，系统的输出如下图所示：
图2-6 u1、u2同时作用时响应曲线
图中绿色为输出1的曲线，蓝色为输出2的曲线。经分析：此曲线与Matlab曲线一致，系统稳定，但是超调量较大，调节时间较长。需要进行极点配置，使系统得到更好的性能。
2.4 系统的极点配置
控制系统的性能主要取决于系统极点在根平面上的分布。因此，在系统设计中，通常是根据对系统的品质要求，规定闭环极点应有的分布情况。所谓的极点配置就是，就是通过选择反馈矩阵K,将闭环系统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置，以获得所希望的动态性能。
稳定系统的定义如下：设控制系统处于某一起始的平衡状态，在外力的作用下，它离开了平衡状态，当外作用消失后，如果经过足够长的时间它能够恢复到起始的平衡状态，则称这样的系统为稳定的系统，否则称为不稳定的系统。由稳定性的定义可见，稳定性是系统去掉外力作用后自身的一种恢复能力，所以是系统的一种固有特性。对于线性定常系统，它取决于系统本身的结构和参数，而与初始条件和外界作用无关。
den =
1.0e+004 *
0.0001 0.0014 0.0623 0.1800 3.5000
由此可知：
位移 对外力 的传递函数是：
位移 对外力 的传递函数是：
位移 对外力 的传递函数是：
位移 对外力 的传递函数是：
2.2 系统的能控能观性
在反馈控制理论中只讨论输入量对输出量的控制。而这两个量的关系唯一地由系统的传递函数所确定。一个稳定的系统，一定能控。同时，系统的输出量本身就是我们想要控制的量，对于一个实际的系统来说，输出量当然是可以被观测到的，因此在反馈控制理论中没有必要设立能控和能观这两个概念。
B——n×r矩阵
C——m×n矩阵
D——m×r矩阵
能观的充分必要条件为：能观判别阵 的秩R( )=n，
下面，用Matlab计算能控矩阵的秩，从而对该系统的能控性进行判断：
A=[0 0 1 0;0 0 0 1; -400 300 -9 6;150 -200 3 -4.5];
B=[0 0;0 0;1 0;0 0.5];
2.3.2 利用Matlab分析系统稳定性
随着计算机技术的发展，在现代控制理论中，我们经常采用Matlab判断系统的稳定性。对于线性定常系统，典型的系统输入信号类型有脉冲、阶跃、斜坡、加速度、正弦信号。系统的稳定性是对任何输入信号而言，即若一个系统是稳定的，则其在任何输入信号情况下对应的输出曲线是收敛的。然而，阶跃信号包含了另外几种常见输入信号的特性，所以我们常通过观察系统的单位阶跃响应曲线判断判断系统的稳定性。若系统的单位阶跃响应是收敛的，则系统一般是收敛的；否则，是发散的。
然而在现代控制理论中，能控和能观是两个重要的基本概念。我们把反映系统内部运动状态的状态向量作为被控量，而且它们不一定是实际上可观测到的物理量，至于输出量则是状态向量的线性组合，这就产生了从输入量到状态量的能控性问题和从输出量到状态量的能观测性问题。
在现代控制中，分析和设计一个控制系统，必须研究这个系统的能控性和能观性。状态方程描述了输入 (t)引起状态X（t）的变化过程；输出方程则描述了由状态变化引起的输出Y（t）的变化。能控性和能观性正是分别分析 (t) 对状态X（t）的控制能力以及Y（t）对X（t）的反应能力。