2017-2018学年全国高中数学联赛（吉林赛区）预赛试题第Ⅰ卷（共30分）一、选择题：本大题共6个小题,每小题5分,共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}2log 2A x Z x =∈≤的真子集个数为（ ） A ．7 B ．8 C ．15 D ．162.三棱锥P ABC -的底面ABC ∆是边长为3的正三角形，3,4,5PA PB PC ===，则三棱锥P ABC -的体积为（ ）A ．3B ． 3.已知函数()f x 满足：()114f =，()()()()()4,f x f y f x y f x y x y R =++-∈，则()2019f =（ ） A ．12 B ．12- C ．14 D ．14- 4.已知()sin 2cos xf x x=+，则对x R ∀∈，下列说法中错误的是（ ）A ．()1sin 3f x x ≥ B ．()f x x ≤ C ．()f x ≤D ．()()0f x f x ππ++-=5.已知()()22112xx f x x+=+⋅在[)(]2018,00,2018-⋃上的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（ ）A ．3B ．2C ．1D ．06.设0,0,0x y z >>>，满足,x y xy x y z xyz +=++=，则z 的取值范围是（ ）A ．(B ．(C ．40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．41,3⎛⎤ ⎥⎝⎦第Ⅱ卷（共120分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上） 7.函数23log 21x y x +⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭的定义域为 ．8.已知圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线()2y kx k R =-∈上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值等于 ．9.如图，在直角三角形ABC 中，,22ACB AC BC π∠===，点P 是斜边AB 上一点，且2BP PA =，则CP CA CP CB ⋅+⋅= ．10.已知点P 在直线210x y +-=上，点Q 在直线230x y ++=上，PQ 的中点为()00,M x y ，且002y x >+，则y x 的取值范围是 ． 11.若实数,a b 满足条件20101a b b a a +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则22a b a b ++的最大值等于 ．12.在数列{}n a 中，若221n n a a p --=(*2,,n n N p ≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列是对“等方差数列”的判断： ①数列(){}1n-是等方差数列；② 若{}n a 是等方差数列，则{}2n a 是等差数列；③ 若{}n a 是等方差数列，则{}kn a (*,k N k ∈为常数）也是等方差数列； ④ 若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列. 其中正确命题序号为 ．(将所有正确的命题序号填在横线上）三、解答题 （本大题共4小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 13.已知函数()74cos sin 6f x x x a π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭的最大值为2. （1）求a 的值及()f x 的最小正周期； （2）求()f x 的单调递减区间.14.数列{}n a 为等差数列，且满足512380a a =>，数列{}n b 满足()*12n n n n b a a a n N ++=⋅⋅∈，{}n b 的前n 项和记为n S ，问：n 为何值时，n S 取得最大值，说明理由.15.已知抛物线2y ax =过点()1,1P -，过点1,02Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭作斜率大于0的直线l 交抛物线于,M N 两点（点M 在,Q N 之间），过点M 作x 轴的平行线，交OP 于A ，交ON 于B ，PM A ∆与OAB ∆的面积分别记为12,S S ，比较1S 与23S 的大小，说明理由.16.设,,0x y z ≥，且至多有一个为0，求(),,f x y z =最小值.试卷答案一、选择题 1-6: CCBABD 二、填空题7. ()()1,24,5⋃ 8.43 9. 4 10.11,25⎛⎫-- ⎪⎝⎭11.7512. ①②③④ 三、解答题13. 解：（1）()74cos sin 6f x x x a π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭14cos cos 2x x x a ⎛⎫=⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭2cos 2cos 11x x x a =--+-+2cos21x x a =--+2sin 216x a π⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭，因此，当sin 216x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()f x 取得最大值211a a -+=+，又因为()f x 的最大值为2，所以12a +=，即1a =.()f x 的最小正周期为22T ππ==. （2）由（1）得()2sin 26f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭令22,2,622x k k k Z πππππ⎡⎤+∈-++∈⎢⎥⎣⎦， 得,,36x k k k Z ππππ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦，因此，()f x 的单调减区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.14.解：∵512380a a => ∴()55387a a d =+. 解得55605a d =->. ∴0d <，1765a d =-. 故{}n a 是首项为正数的递减数列.由100n n a a +≥⎧⎨≤⎩，即()761057605d n d d nd ⎧-+-≥⎪⎪⎨⎪-+≤⎪⎩，解得11151655n ≤≤.即16170,0a a ><， ∴1231617180a a a a a a >>>>>>>>，∴1231417180b b b b b b >>>>>>>>，而151516170b a a a =<，161617180b a a a =>， ∴14131S S S >>>，1415S S >，1516S S <，161718S S S >>>.又()1614151616171518S S b b a a a a -=+=+161716176930555a a d d da a ⎛⎫=-+=> ⎪⎝⎭.所以n S 中16S 最大，即16n =时，n S 取得最大值. 15.解：抛物线2y ax =过点()1,1P -，得1a =， 所以抛物线的方程为2y x =.设直线l 的方程为12y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ (其中0k >)，由212y k x y x ⎧⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，得2220x kx k --=. 设()()1122,,,M x y N x y ，则12x x <，()11,A y y -，1212,2kx x k x x +==-，又ON 的方程为22y y x x =，故1212,y x B y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以11MA y x =--，1212y x AB y y =+，有12121212112222y x y x y y x y AB MA y x y y ++-=++= 1212122111122222k x x k x k x x k x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅++⋅++⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭= ()()22212122112222kk x x k k x x k y ⎛⎫+++++ ⎪⎝⎭=()222211222220k kk k k k k y ⎛⎫⎛⎫+-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭== 可得AB AM =.由题意知1102Q x x -=<<，故21114y x =<，1131144y ->-=.又因为()11112S AM y =⋅-，2112S AB y =⋅，所以123S S >.16.解：不妨设x y z ≥≥. 情形1：当32256y x z ≥时，因为()()32222222222562560z y x z x yz x y z y y z y -+-=≥++； ()()32222222222562560z x y z y zx y z x x z x x -+-=≥++； 222222222562560z xy xy z x y x y x y +-=≥+++.所以(),,x y f x y z y x ≥=++2212x y xy +=+，当且仅当(:2:1x y =+时，且0z =时，(),,f x y z 取到12；情形2：当32256y x z <时，又22x z x y ≤，所以32256y x y <，从而22256y x <.故(),,f x y z =00>+1612=>。

综上，()min ,,12f x y z =.。