离散数学(屈婉玲版)第四章部分答案4.1 （1）设S={1，2}，R 是S 上的二元关系，且xRy 。
如果R=Is ，则（A ）；如果R 是数的小于等于关系，则（B ），如果R=Es ，则（C ）。
（2）设有序对<x+2,4>与有序对<5,2x+y>相等，则 x=(D),y=(E).供选择的答案A 、B 、C ：① x,y 可任意选择1或2；② x=1,y=1；③ x=1,y=1 或 2；x=y=2；④ x=2,y=2；⑤ x=y=1或 x=y=2；⑥ x=1,y=2；⑦x=2,y=1。
D 、E ：⑧ 3；⑨ 2；⑩-2。
答案：A: ⑤B: ③C: ①D: ⑧E: ⑩4.2设S=<1,2,3,4>,R 为S 上的关系，其关系矩阵是⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0001100000011001 则（1）R 的关系表达式是（A ）。
（2）domR=(B),ranR=(C).（3）R ︒R 中有（D ）个有序对。
（4）R ˉ1的关系图中有（E ）个环。
供选择的答案A :①{<1,1>,<1,2>,<1,4>,<4,1>,<4,3>}；②{<1,1>,<1,4>,<2,1>,<4,1>,<3,4>}；B、C：③{1，2，3，4}；④{1，2，4}；⑤{1，4}⑥{1，3，4}。
D、E⑦1；⑧3；⑨6；⑩7。
答案：A:②B:③C:⑤D:⑩E:⑦4.3设R是由方程x+3y=12定义的正整数集Z+上的关系，即{＜x,y＞︳x,y∈Z+∧x+3y=12},则（1）R中有A个有序对。
（2）dom=B。
(3)R↑{2,3,4,6}=D。
(4){3}在R下的像是D。
（5）R。
R的集合表达式是E。
供选择的答案A:①2;②3;③4.B、C、D、E:④{＜3，3＞}；⑤{＜3，3＞，＜6，2＞}；⑥{0，3，6，9，12}；⑦{3，6，9}；⑧{3}；⑨Ф；⑩3。
答案：A：②。
分别是：＜3，3＞＜6，2＞＜9，1＞B：⑦。
C：⑤。
D：⑧。
E: ④。
4.4 设S={1,2,3},图4-13给出了S上的5个关系，则它们]只具有以下性质：R1是A, R2是B, R3是C, R4是D, R5是E。
供选择的答案A,B,C,D,E:①自反的，对称的，传递的；②反自反的，反对称的；③反自反的，反对称的，传递的；④自反的；⑤反对称的，传递的；⑥什么性质也没有；⑦对称的；⑧反对称的；⑨反自反的，对称的；⑩自反的，对称的，反对称的，传递的A:④B:⑧C：⑨ D:⑤E:⑩4．5 设Z+={x|x∈Z∧x>0},∏1, ∏2, ∏3是Z﹢的3个划分。
∏1={{x}|x∈Z﹢},∏2={S1,S2},S为素数集，S2=Z-S1,∏3={Z+},则（1）3个划分中分块最多的是A,最少的是B.(2)划分∏1对应的是Z+上的C, ∏2对应的是Z+上的D, ∏3对应的是Z+上的E供选择的答案A,B:①∏1;②∏2;③∏3.C,D,E:④整除关系；⑤全域关系；⑥包含关系；⑦小于等于关系；⑧恒等关系；⑨含有两个等价类的等价关系；⑩以上关系都不是。
答案A ①B ③C ⑧D ⑨E ⑤4.6 设S={1，2，…,10},≤是S 上的整除关系,则<S,≤>的哈斯图是(A),其中最大元是(B),最小元是(C),最小上界是(D),最大下界是(E).供选择的答案A: ① 一棵树; ② 一条链; ③ 以上都不对.B 、C 、D 、E: ④ ∅；⑤ 1；⑥ 10；⑦ 6，7，8，9，10；⑧ 6；⑨ 0；⑩ 不存在。
答案：A: ③(树中无环,所以答案不是①)B: ⑩C: ⑤D: ⑩E: ⑤4.7设f :N →N,N 为自然数集，且()1,2x f x x x ⎧⎪=⎨⎪⎩若为奇数，，若为偶数， 则f （0）=A ，{}(){}()(){}()0,1,2,1,2,0,2,4,6,fB fC fD fE ===⋯=. 供选择的答案A 、B 、C 、D 、E ：①无意义；②1；③{1}；④0；⑤{0}；⑥12；∴⑦N ； ⑧{1，3，5，…}；⑨{12，1}；⑩ {2，4，6，…}. 解：f （0）=02=0，∴A=④； {}()0f ={0}，∴B=⑤；{}()1,2f ={1}，∴C=③；()1,2f ①无意义；{}()0,2,4,6,f ⋯=N ，∴E=⑦.4.8 设R 、Z 、N 分别表示实数、整数和自然数集，下面定义函数f1、f2、f3、f4。
试确定它们的性质。
f1: R →R ，f(x)=2x,f2: Z →N ，f(x)=|x|.f3: N →N ，f(x)=(x)mod3,x 除以3的余数，f4: N →N ×N ，f(n)=<n,n+1>。
则f1是A ，f2是B ，f3是C ，f4是D ，f4（{5}）=E 。
供选择的答案A 、B 、C 、D ：①、满射不单射；②、单射不满射；③、双射；④、不单射也不满射；⑤、以上性质都不对。
E ：⑥、6；⑦、5；⑧、<5,6>;⑨、{<5,6>};⑩、以上答案都不对。
解：f1是②、单射不满射；f2是①、满射不单射；f3是④、不单射也不满射；f4是②、单射不满射；f4（{5}）=⑨、{<5,6>}。
4.9 设f :R →R ，f(x)= x ² ， x ≥3,-2 , x<3;g:R →R ，g(x)=x+2,则 f 〇g(x)=A,g 〇f(x)=B, g 〇f: R →R 是 C,f-1是 D,g-1是E.供选答案::A\B:① (x+2)² , x ≥3, ② x ²+2 ， x ≥3,-2 , x<3; -2 , x<3; (x+2)² , x≥1, x²+2 ， x≥3, ③④-2 , x<1; 0 , x<3; C: ⑤单射不满射；⑥满射不单射；⑦不单射也不满射；⑧双射。
D、E：⑨不是反函数; ⑩是反函数。
解：A=③ B=④ C=⑦ D=⑨ E=⑩4.10 （1）设S={a,b,c},则集合T={a,b}的特征函数是（A），属于§（S上S）的函数是（B）。
（2）在S上定义等价关系R=Is∪{< a,b >,< b, a>},那么该等价关系对应的划分中有(C)个划分.作自然映射g:S→S/R,那么g的表达式是(D).g(b)=(E).供选择的答案A、B、D：① {<a,a>,<b,b>,<c,c>};② {<a,b>} ; ③{<a,1>,<b,1>,<c,0>};④ {<a,{a}>,<b,{b}>,<c,{c}>};⑤ {<a,{a,b}>,<b,{a,b}>,<c,{c}>}.C:⑥ 1;⑦ 2;⑧ 3.E:⑨ {a,b};⑩ {b}.答案：A:③B: ①C: ⑦D: ⑤E: ⑨4.11 设S={1，2，……，6}，下面各式定义的R都是在S上的关系，分别列出R的元素。
R = { <x , y>|x, y ∈s ∧ x | y}.解：由题意可知R是整除关系，所以答案如下：R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<1,6>,<2,2>,<2,4>,<2,6>,<3,3>,<3,6> ,<4,4>,<5,5>,<6,6>}.( 2 ) R = {< x , y > | x , y ∈ S ∧ x是y的倍数}.解: 由题意可知：R={<1,1>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3,3>,<4,1>,<4,2>,<4,4>,<5,1>,<5,5>,<6,1> ,<6,2>,<6,3>,<6,6>} .( 3 ) R = {< x, y> | x , y ∈S ∧ ( x - y )²= ∈ S }.解: 由题意可知：R={<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,3>,<2,4>,<3,1>,<3,2>,<3,4>,<3,5>,<4,2>,<4,3> ,<4,5>,<4,6>,<5,3>,<5,4>,<5,6>,<6,4>,<6,5>}.( 4 ) R = {< x , y > | x , y ∈S ∧ x / y是素数 }解：由题意可知：R={<1,1>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3,3>,<4,2>,<4,4>,<5,1>,<5,5>,<6,1>,<6,2>,<6,3>,<6,6>}.4.13 S={a，b，c，d}，R1、R2为S上的关系，R1={<a，a>，<a，b>，<b，d>}R2={<a，d>，<b，c>，<b，d>，<c，b>}求R1。
R2、R2。
R1、R12和R23.解:设R1的关系矩阵为M1，R2的关系矩阵为M2，则此题答案正确，只是写法不对，应改为：其余类似},{...2112><=•∴=•d c R R M M Θ4．14R 的关系图如图4-14所示，试给出r （R ）、s （R ）、t （R ）的关系图。
A B C D E 图4-14解：r （R ）：s（R）： a b c d et（R）： a b c d e4.16画出下列集合关于整除关系的哈斯图。
（1）{1，2，3，4，6，8，12，24}。
（2）{1，2， (9)并指出它的极小元、最小元、极大元、最大元。
解：（1）8124623极小元、最小元：1极大元、最大元：24（2）84625 97 31极小元、最小元：1极大元：5，6，7，8，9最大元：无4.19设 f , g , h∈N , 且有0 n为偶数f (n)=n+1 ， g(n)=2n ，h(n)=1 n为奇数求 fof , gof ,fog , hog , goh , 和 fogoh 。