4-2．5μF 电容的端电压如图示。

（1）绘出电流波形图。

（2）确定2μs t =和10μs t =时电容的储能。

解：（1）由电压波形图写出电容端电压的表达式：10 0μs 1μs10 1μs 3μs ()1040 3μs 4μs 0 4μs t t t u t t t t≤≤⎧⎪≤≤⎪=⎨-+≤≤⎪⎪≤⎩式中时间t 的单位为微秒；电压的单位为毫伏。

电容伏安关系的微分形式：50 0μs 1μs 0 1μs 3μs()()50 3μs 4μs 0 4μs t t du t i t C t dt t<<⎧⎪<<⎪==⎨-<<⎪⎪<⎩上式中时间的单位为微秒；电压的单位为毫伏；电容的单位为微法拉；电流的单位为毫安。

电容电流的波形如右图所示。

（2）电容的储能21()()2w t Cu t =，即电容储能与电容端电压的平方成正比。

当2μs t =时，电容端电压为10毫伏，故：()()22631010μs 11()5101010 2.510J 22t w t Cu ---===⨯⨯⨯⨯=⨯当10μs t =时，电容的端电压为0，故当10μs t =时电容的储能为0。

4-3．定值电流4A 从t=0开始对2F 电容充电，问：（1）10秒后电容的储能是多少100秒后电容的储能是多少设电容初始电压为0。

解：电容端电压：()()()00110422t tC C u t u i d d t C τττ+++=+==⎰⎰；()1021020V C u =⨯=； ()1002100200V C u =⨯=()()211010400J 2C w Cu ==； ()()2110010040000J 2C w Cu ==4-6．通过3mH 电感的电流波形如图示。

（1）试求电感端电压()L u t ，并绘出波形图；（2）试求电感功率()L p t ，并绘出波形图；（3）试求电感储能()L w t ，并绘出波形图。

解：（1）由电流波形图写出电流表达式：10 3 0μs 3μs ()1040 3μs 4μs 0 4μs t t i t t t t ≤≤⎧⎪=-+≤≤⎨⎪≤⎩s)μs)μ-μs)-式中时间t 的单位用微秒；电流的单位为毫安。

依据电感伏安关系的微分形式：10 0μs 3μs ()30 3μs 4μs 0 4μs L t di u t L t dt t<<⎧⎪==-<<⎨⎪<⎩式中时间的单位为微秒；电压的单位为伏特。

电感电压的波形如右上图示。

（2）电感功率：30 0μs 3μs ()()()0.3 1.2 3μs 4μs 0 4μs L t t p t u t i t t t t ≤≤⎧⎪==-≤≤⎨⎪≤⎩式中时间的单位为微秒；功率的单位为瓦特。

功率的波形如右图所示。

（3）电感电流：10 3 0μs 3μs ()1040 3μs 4μs 0 4μs t t i t t t t ≤≤⎧⎪=-+≤≤⎨⎪≤⎩式中时间t 的单位用微秒；电流的单位为毫安。

电感储能：222250 3 0μs 3μs 13()()()24001200150 3μs 4μs 220 4μs L t t w t Li t i t t t t t⎧≤≤⎪===-+≤≤⎨⎪≤⎩式中时间t 的单位用微秒；电流的单位用毫安；电感的单位用毫亨；能量的单位用纳焦耳（910-焦耳）。

能量的波形如右图所示。

4-14．电路如左图所示。

换路前电路处于稳态。

0t =时电路换路，求换路后瞬间()0u +、()0i +。

解：换路前，电路处于稳态，故：()00LL di u Ldt -==，电路简化为中图所示电路。

依据分流公式有： ()20052A 2030i -=-⨯=-+ 换路后电路简化为右图所示电路，依据换路定理：()()200052A 2030i i +-==-⨯=-+；()()010020V u i ++=-⨯=4-15．电路如左图所示。

换路前电路处于稳态。

0t =时电路换路。

求换路后瞬间()10u +、()20u +、()20i +。

设()200u -=。

解：换路前，电路处于稳态，故：()1010V u -=。

依据换路定理：()()110010V u u +-==，()()22000u u +-==，()()()1220010V 001A 1010u u i +++--===ΩΩ()t ()0-()0+10Ω2μF()t4-19．电路如图所示，设开关K 在时间0t =时断开，断开前电路已经处于稳态，试求：0t >时，流过3欧姆电阻的电流。

解：开关K 断开前电路已处于稳态，故0t -=时刻，电容电流为零，电容端电压等于3欧姆电阻的端电压：10V(0)36V 2+3C u -=Ω⨯=ΩΩ开关K 断开后，电路简化为右图。

由图列写微分方程：0, 0C C Ri u t -=>非关联参考方向下，电容的伏安关系：CC du i Cdt=-，代入上式，整理后得： 10, 0C C du u t dt RC+=> 特征方程和特征根：10s RC +=，1s RC=-。

微分方程的通解： 1, 0t RCC u Aet -=>依据换路定理：(0)(0)6V C C u u +-==，有：10(0)(0)6V t RCC C t u AeA u +-+-=====故：()11366(V), 0t t RCC u t eet --==>电容电流：132(A), 0t CC du i C e t dt-=-=>4-20．电路如图示， 设0t =时开关K 由a 掷向b 实现换路，换路前电路已经处于稳态，试求0t >时电感端电压。

解：开关K 换路前电路已处于稳态，故0t -=时刻，电感端电压为零，电感电流为：10V 1(0)A 303i -==Ω 换路后电路等效为右图。

设电阻端电压等于电感端电压（电阻端电压与电流为非关联参考方向），由图列写微分方程：0, 0L R u u t -=>Ω10Vu403Ω3Ω3ΩCu将电感伏安关系L diu Ldt=以及电阻伏安关系R u Ri =-代入上式，整理后得： 0, 0di Ri t dt L+=> 特征方程和特征根：0R s L +=，Rs L=-。

微分方程的通解： , 0Rt Li Aet -=>依据换路定理：1(0)(0)A 3i i +-==，有： ()()0100A 3R t Lt i AeA i +-+-=====故：()1(A), 03Rt L i t e t -=>电感端电压：1, 03Rt L L di R u L e t dt L-==-⨯>将403R =Ω，1H L =代入上式，有： 40340(V), 09t L u e t -=->4-23．（修改）题图4-23所示电路中，开关K 在t=0时闭合，闭合前开关处于断开状态为时已久，试求t ≥0的u L 和i L 。

解：t>0，有：4L R u u +=。

其中：()()2.5 2.510R L RL L u i i i u '=+=+， 代入后有：()2.5104L L L u i u ++=，整理得：1.25 2.54L L u i +=。

将0.2L L L di diu L dt dt==代入前式整理后有：1016, 0LL di i t dt+=> （1） 非齐次通解：()L Lh Lp i t i i =+。

其中齐次通解为：/10t t Lh i AeAe τ--==；设非齐次特解为：0Lp i I =，代回（1）式有：0 1.6I =，非齐次通解：()101.6tL i t Ae -=+。

由换路定理确定待定常数A ：()()1000 1.6 1.600tL L t i Ae A i +-+-==+=+==由此有：1.6A =-故通解为：()()101.61, 0t L i t e t -=->考虑到换路前后电感电流无跃变，上式的时间定义域可前推至零点：()()101.61, 0t L i t e t -=-≥题图4-23H4V i电感端电压：100.23.2, 0t LL di u e t dt-==> 考虑0t -=，()00L u -=，有：103.2, 00, 0t L e t u t --⎧>=⎨=⎩4-24．（修改）电路如图所示，已知开关在0t =时闭合，闭合前电容无储能，求：0t ≥时，电容电压和电流。

解：将电路等效为右图，取各电压电流参考方向如图示，当t>0时，有：6C Ri u +=，在关联参考方向下，电容的伏安关系：Cdu i Cdt=代入后有： 6CC du RCu dt+= 非齐次通解：()C Ch Cp u t u u =+。

时间常数：36151020100.3RC s τ-==⨯⨯⨯=，齐次通解为：/10/3t t Ch u Ae Ae τ--==设非齐次特解为：Cp u K =，代回非齐次微分方程，有：6K =非齐次通解：()106t C u t Ae -=+由换路定理确定待定常数A ：()()103006600t C C t u Ae A u +-+-==+=+==由此有：6A =-故通解为：()10366, 0t C u t e t -=-⋅>考虑到换路前后电容电压无跃变，上式的时间定义域可前推至零点，故：()()10361V, 0t C u t e t -=-≥电容电流()6104103201066410, 0t t Cdu i Ce e t dt----'==⨯⨯-⋅=⨯⋅> 考虑t<0，开关没有闭合，有：0i =，上式可写为：t Ωt103400μA, 00, 0t e t i t -⎧⋅>=⎨<⎩4-26．电路如图所示，已知换路前电路处于稳态。

求：换路后i(0+)和i(∞)。

（a ）()()()6130020222L L i i i A ++-===⋅=；()632i A ∞== （b ）()()()0606600222s C C u u u i +-+---====；()63222i A ∞==+（c ）()()006i i A +-==；()0i ∞= （d ）()0623c u V -==，()633044i A +-==；()61222i A ∞==++4-27．求图示各电路的时间常数。

（a ） 将电压源置0，有：()121212//R R R R C C R R τ=⋅=+；（b ） 将电压源置0，有：()2//22L LR R R Rτ==+；题图4-26（a ）i题图4-26（b ） 题图4-26（c ）2L题图4-26（d ）题图4-27（a ）题图4-27（b ）题图4-27（c ）题图4-27（d ）（c ） 将电流源置0，有：()12R R C τ=+⋅； （d ） 将电压源置0，有：()12R C C τ=⋅+。