当
H1∧H2∧…∧HnC，
5. 称C是一组前提H1，H2，…，Hn 的有效结论。
6.*判断有效结论的过程就是论证过程，基本方法是
真值表法、直接证法、间接证法。
2
二、真值表法
由定义1-8.1可以看出，要证明C是一组前提H1，H2，…，Hn 的有效结 论，只需证明H1∧H2∧…∧Hn→C为重言式。而证明一个公式为重言 式，可以用真值表、等值演算、主析(合)取范式或已知的蕴含式等方 法进行。用等价演算和主析(合)取范式证明重言式的方法前面已经讨 论过了，我们已经非常熟悉了。这里仅对真值表法作简单说明。 （1）真值表法
公式都可以用与之等价的公式置换。(等价式表） 合取引入规则：任意两个命题公式A,B可以推出A∧B 常用的蕴含式和等价式见P43表1-8.3 表1-8.4
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直接证法（直接推理）
例题１：用直接推理法证明
(Ｐ∨Ｑ)∧(Ｐ→Ｒ)∧ (Ｑ→Ｓ) Ｓ∨Ｒ 证法1: (1)Ｐ∨Ｑ P -(P规则，引入前提)
(2) Ｐ→Q T(1) E -(对(1)式T规则,根据E16蕴含等值式) (3)Ｑ→Ｓ P -(P规则，引入前提) (4) Ｐ→Ｓ T(2),(3) I-(对(2),(3)式Ｔ规则，根据I13 假言三
1
一、有效推理
1.假设一些命题为Ｔ，并使用一些公认的规则，得
到另外的命题，形成结论，这种过程就是论证。
Байду номын сангаас
2. 定义1-8.1 设A和C是2个命题公式，当且仅当A→C
为一重言式，即AC，则称C为A的有效结论。或
C可由A逻辑的推出。A叫做C的前提。
3.上述定义可以推广到n个前提的情况：
4. 设H1，H2，…，Hn,C是n+1个命题公式,当且仅
设P1，P2，…，Pn出现于前提H1，H2，…，Hm 和结论C的 全部命题变元，假定对P1，P2，…，Pn作了全部的真值指 派，这样就能对应地确定H1，H2，…，Hn 和C的所有真值，
列出这个真值表，即可看出 H1∧H2∧…∧HmC 是
否成立
即找出H1，H2，…，Hm 均为１的行，对于每一个这样的行，若 C也为１,则上式成立。或C为０， H1，H2，…，Hm 中起码有一 个为０
即证明：(P→Q)∧(Q→R)∧¬R¬P
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二、真值表法
作公式P→Q，Q→R，¬R，¬ＨP的1真值表Ｈ2
Ｈ3
C
P Q R P→Q Q→R ¬R ¬P
000
1
1
1
1
001
1
1
0
1
010
1
0
1
1
011
1
1
0
1
100
0
1
1
0
101
0
1
0
0
110
1
0
1
0
111
1
1
0
0
从表中可以看出:P→Q，Q→R，¬R都为1的行(赋值000的行)，¬P也为1。
的真值均为Ｆ，则称公式H1，H2，…，Hm是
不相容的。
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间接证法（间接推理）
将不相容的概念应用于命题公式的证明(归谬法)
设有一组前提H1，H2，…，Hn ，要推出结论C，
即要证 H1∧H2∧…∧Hn C ，
令 SH1∧H2∧…∧Hn 则上式可以简记为 SC 由永真蕴含的定义有 1S→C¬S∨C 两边否定 0S∧¬C H1∧H2∧…∧Hn∧¬C 即要证明C是前提H1，H2，…，Hn的有效结论，只 须证明 H1∧H2∧…∧Hn∧¬C0
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二、真值表法
例：分析事实：“如果我有时间，那么我就去上街；如
果我上街，那么我就去书店买书；但我没有去书店买书， 所以我没有时间。”。试指出这个推理前提和结论，并证 明结论是前提的有效结论。
解：令 Ｐ：我有时间。 Ｑ：我去上街。 Ｒ：我去书店买书。
根据题意，前提为：Ｐ→Ｑ，Ｑ→Ｒ，¬Ｒ 结论为：¬Ｐ 以下证明¬Ｐ是一组前提Ｐ→Ｑ,Ｑ→Ｒ,¬Ｒ的有效结论。
(或¬P为0的行(赋值100，101，110，111的行) P→Q，Q→R，¬R至少有 一个为0）
所以 (P→Q)∧(Q→R)∧¬R¬P
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三、命题逻辑的推理理论
当推理中包含的命题变元较多时，真值表 法或等值演算法，主析取范式法等方法的 演算量太大。给推理带来了困难。为此引 入命题逻辑的推理理论。命题逻辑的推理 是一个描述推理过程的命题公式序列，其 中的每个命题公式或者是已知前提，或者 是由某些前提应用推理规则得到的结论(中 间结论或推理中的结论)。它有两种方法： 直接证法（直接推理）和间接证法（间接 推理）。
T⑴⑵ I P
假言推理(I11)
⑸R
T⑶⑷ I
假言推理(I11)
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间接证法（间接推理）
定义1-8.2 假设公式H1，H2，…，Hm中的 命题变元P1，P2，…，Pn，对于P1，P2，…， Pn的一些真值指派，如果能使
H1∧H2∧…∧Hm的真值为Ｔ，则称公式H1，
H2，…，Hm是相容的。如果对于P1，P2，…， Pn的每一组真值指派，使H1∧H2∧…∧Hm
证法2: (1)Ｐ→Ｒ
P
(2)Ｐ∨Ｑ→R∨Ｑ T(1) I
(3) Ｑ→Ｓ
P
(4)Ｑ∨R →S∨R T(3) I
(5)Ｐ∨Ｑ→S∨R T(2)(4) I
(6)Ｐ∨Ｑ
P
(7)Ｓ∨Ｒ
T(5),(6) I
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直接证法（直接推理）
• 用直接推理法证明(P→Q)∧(Q→R)∧PR
证明： ⑴ P→Q
P
⑵P
P
⑶Q ⑷ Q→R
段论)
(5) S→P T(4) E -(对(４)式T规则,根据E16蕴含等值式) (6)Ｐ→Ｒ P -(P规则，引入前提) (7) S→R T(5),(6) I (对(5),(6)式Ｔ规则，根据I13 假言三段
论)
(8)Ｓ∨Ｒ T(7) E -(对(7)式T规则,根据E16蕴含等值式)
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直接证法（直接推理）
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直接证法（直接推理）
⑴ 直接证法（直接推理） 基本思想是：由一组前提出发，利用一些公认的规则，根 据已知的等价式或蕴含式，推演得到有效结论。 公认的推理规则有4条：
P规则：前提在推导过程中的任何时候都可以引入使用。 T规则：推导中，如果一个或多个公式蕴含着公式S，则 公式S可以引入到以后的推理之中。 置换规则：在推导过程的任何步骤上，命题公式中的子
在数学和其它自然科学中，经常要考虑从某些前 提A1、A2、……An出发，能推导出什么结论。 数理逻辑的主要任务是用逻辑的方法研究数学中 的推理。所谓推理是指从前提出发，应用推理规 则推出结论的思维过程。任何一个推理都由前提 和结论两部分组成。前提就是推理所根据的已知 命题，结论则是从前提出发通过推理而得到的新 命题。 要研究推理，首先应该明确什么样的推理是有效 的或正确的