201８届高三理科专题（四)立体几何专题姓名: 班别: 学号：【知识点一：三视图求表面积体积问题】1、(2０17新课标Ｉ卷第7题).某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）. A.10 B.12 C.14Ｄ.162、（２0１7新课标II卷第４题)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为( )A.90πB．63πＣ．42π D.36π3、（２0１７年市一模第6题）如图, 网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图，且该几何体的体积为83, 则该几何体的俯视图可以是４、（2０1６年市一模第11题）(1１)如图,网格纸上小正方形的边长为１，粗线画出的是某个四面体的三视图,则该四面体的表面积为(A)88246++（B)88226++(Ｃ）2226++(D）126224++5、（20１６新课标I卷第6题）如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是（）（A)17π（B）18π（C)20π (D)28π283π6、（2016新课标II 卷第６题) 右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为(A ）20π (B ）24π （C ）28π （D ）32π7、（２016新课标II Ｉ卷第9题)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( ）(A ）（B) （C)9０ (D)818、(2０15新课标II 卷第６题）一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( ) Ａ．81 B.71 Ｃ．61 D.51９. (2０15新课标Ｉ卷第11题）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + ２0π，则ｒ=( ）(A ）1 (B ）２ （Ｃ）4 (D)８【知识点二:内接球与外接球的问题】1、（2017年市一模第10题)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥-P ABC 为鳖臑,PA ⊥平面ABC , 2PA AB ==，4AC =, 三棱锥-P ABC 的四个顶点都在球O 的球面上, 则球O 的表面积为( ）18365+54185+(A)8π (B ）12π (Ｃ)20π (D)24π２. (2０1５新课标II 卷第9题）已知A ，B 是球Ｏ的球面上两点，∠A ＯB ＝90,C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( ） A.36π B.64π C.144π D.2５6π3、（２017新课标III 卷第8题）8.已知圆柱的高为１,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）. A.πﻩﻩﻩB ．3π4Ｃ．π2ﻩ D ．π44、（２０1６年市一模第9题）一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面,所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为( ）（A ）20π (Ｂ)3 (C ）5π ﻩ (D）65、(2０16新课标I ＩI 卷第10题)在封闭的直三棱柱ＡBC -Ａ1B １Ｃ1内有一个体积为V 的球,若A ＢＢC ，AB=6,BC=8,AA 1=3,则V 的最大值是（ ) (Ａ)４π (B ）(C ）6π （D ） 【知识点三：点线面的位置关系】1、(2016新课标Ｉ卷第１１题）平面a 过正方体ＡB ＣD －A １B １C １Ｄ1的顶点A ,a ／/平面CB １D 1，平面ABC Ｄ=m ，平面AB Ａ1B 1=ｎ，则m,n 所成角的正弦值为（ ) (Ａ)(B) （C) （D)2、(２016新课标ＩI 卷第14题)α、β是两个平面,m 、n 是两条直线,有下列四个命题: (１)如果ｍ⊥n ,ｍ⊥α,ｎ∥β,那么α⊥β. (2)如果ｍ⊥α,n ∥α,那么m ⊥n . (3)如果α∥β，ｍα，那么m ∥β.（4）如果m ∥n ，α∥β,那么m 与α所成的角和ｎ与β所成的角相等. 其中正确的命题有 .（填写所有正确命题的编号)⊥92π323πa ⋂a⋂22313⊂【知识点四：★★设置线面角与面面角的定义作为条件障碍，考察立体几何】1、(2０17新课标II 卷第1９题)如图所示，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,12AB BC AD ==,o 90BAD ABC ∠=∠=,E 是PD 的中点． (1)证明:直线//CE 平面PAB ;(2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成锐角为45,求二面角M AB D --的余弦值．2、（2016年广州市一模19）（本小题满分12分）如图,四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，ACBD O =,1A O ⊥底面ABCD ,21==AA AB .(Ⅰ）证明：平面1ACO ⊥平面11BB D D ; (Ⅱ）若60BAD ∠=，求二面角1B OB--EM DCBAP３、（阅读）(20１６新课标I 卷第１８题)(本小题满分为１2分）如图，在以A ,B ，Ｃ,D ,Ｅ，F 为顶点的五面体中，面A ＢEF 为正方形,A Ｆ＝２ＦD ，，且二面角D -ＡF -E 与二面角Ｃ－BE -Ｆ都是.（Ｉ）证明：平面ABEF ＥFDC ; (II ）求二面角E-ＢＣ-Ａ的余弦值.2、【答案】试题分析:（I)证明平面，结合平面,可得平面平面．(II)建立空间坐标系，利用向量求解．试题解析：（I ）由已知可得,，所以平面.又平面,故平面平面．（II)过作,垂足为,由(I)知平面．以为坐标原点，的方向为轴正方向,为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系．由（I)知为二面角的平面角,故,则,,可得,,,．由已知,，所以平面.又平面平面,故,.由,可得平面,所以为二面角的平面角,．从而可得．所以，,,.设是平面的法向量，则，即，所以可取．设是平面的法向量,则，同理可取．则. 故二面角E BC A 的余弦值为. 90AFD ∠=60⊥ΑF ⊥ΕFDC F A ⊂ΑΒΕF ΑΒΕF ⊥ΕFDC ΑF DF ⊥ΑF FE ⊥ΑF ⊥ΕFDC F A ⊂ΑΒΕF ΑΒΕF ⊥ΕFDC D DG ΕF ⊥G DG ⊥ΑΒΕF G GF x GF G xyz -DFE ∠D AF E --60DFE ∠=2DF =3DG =()1,4,0A ()3,4,0B -()3,0,0E -()0,0,3D //AB EF //AB EFDC ABCDEFDC DC =//AB CD //CD EF //BE AF BE ⊥EFDC C ΕF ∠C BE F --60C ΕF ∠=()2,0,3C -()1,0,3ΕC =()0,4,0ΕΒ=()3,4,3ΑC =--()4,0,0ΑΒ=-(),,x y z =n ΒC Ε00ΕC ΕΒ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 3040x z y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩()3,0,3=-n m ΑΒCD 0ΑC ΑΒ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ()0,3,4=m 219cos ,19⋅==-n m n m n m 21919-A EDC B A【知识点五：★★★重点考察面面垂直、线面垂直、面面角（含折叠问题）】 1、 (２０1７新课标I 卷第18题)(本小题满分12分）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ,且90BAP CDP ∠=∠=（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；(2)若PA PD AB DC ===，90APD ∠=，求二面角A PB C --的余弦值.2、(２01７年市一模第19题)（本小题满分１2分）如图1，在直角梯形ABCD 中，AD //BC ,AB ⊥BC ,BD ⊥DC ， 点E 是BC 边的 中点, 将△ABD 沿BD 折起,使平面ABD ⊥平面BCD ，连接AE ,AC ,DE , 得到如 图2所示的几何体.(Ⅰ） 求证：AB ⊥平面ADC ;(Ⅱ) 若1AD =，二面角C AB D --的平面角的正切值为6，求二面角B AD E -- 的余弦值．图1 图2DCBAP【知识点六:线面平行、线面角、线线角】 1、(2016新课标II Ｉ卷第１９题)(本小题满分12分）如图,四棱锥P-ABC Ｄ中,P Ａ⊥底面AB ＣD ，AD ∥BC,AB=AD ＝ＡC=3，PA ＝BC=4,M 为线段AD 上一点，AM=2ＭD ,Ｎ为PC 的中点. （I ）证明MN ∥平面P AB;(I Ｉ)求直线A Ｎ与平面PMN 所成角的正弦值．2、(2０17新课标II 卷第10题）已知直三棱柱111C C AB -A B 中,C 120∠AB =,2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为()A ．32 Ｂ.155 C.105D.33【知识点一：三视图求表面积体积问题答案】1.解析由三视图可画出立体图,该立体图平面内只有两个相同的梯形的面()24226S =+⨯÷=梯，6212S =⨯=全梯． 故选B ．2、B3、Ｄ4、Ａ5、【答案】A 由三视图知,该几何体的直观图如图所示:是一个球被切掉左上角的,即该几何体是个球，设球的半径为,则，解得,所以它的表面积是的球面面积和三个扇形面积之和,即,故选A. 6、【答案】C 试题分析：由题意可知，圆柱的侧面积为，圆锥的侧面积为,圆柱的底面面积为，故该几何体的表面积为，故选C ．7、B 试题分析:由三视图知该几何体是一个斜四棱柱,所以该几何体的表面积为,故选B ．８、【答案】Ｄ【解析】由三视图得,在正方体1111ABCD A B C D -中，截去四面体111A A B D -,1878R 37428ππR 833V =⨯=R 2=7822734π2π217π84⨯⨯+⨯⨯=12π2416πS =⋅⋅=2π248πS =⋅⋅=23π24πS =⋅=12328πS S S S =++=236233233554185S =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+如图所示，，设正方体棱长为a ,则11133111326A AB D V a a -=⨯=,故剩余几何体体积为3331566a a a -=,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为51,故选Ｄ．9、B 【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r,圆柱的高为２r ，其表面积为22142222r r r r r r πππ⨯+⨯++⨯=2254r r π+=16 + 20π,解得r =2，故选B.【知识点二:内接球与外接球的问题答案】1、C2、【答案】C3．解析由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径r =则圆柱体体积23ππ4V r h ==.故选B.4、D5、【答案】B 试题分析:要使球的体积最大,必须使球的半径最大．因为△ABC 内切圆的半径为2,所以由题意易知球与直三棱柱的上、下底面都相切时,球的半径取得最大值，为，此时球的体积为,故选Ｂ. 【知识点三：点线面的位置关系答案】1、【答案】A试题分析：如图，设平面平面＝,平面平面＝，因为平面，所以,则所成的角等于所成的角．过作，交的延长线于点E ,连接,则为.连接，过Ｂ1作，交的延长线于点，则为.连接B Ｄ，则，则所成的角即为所成的角，为,故所成角的正弦值为A.２、【答案】②③④试题分析：对于①,，则的位置关系无法确定,故错误；对于②,因为,所以过直线作平面与平面相交于直线,则,因为V R 32334439()3322R π=π=π11CB D ABCD 'm 11CB D 11ABB A 'n α∥11CB D ','m m n n ∥∥,m n ','m n 1D 11D E B C ∥AD CE CE 'm 1A B 111B F A B ∥1AA 1F 11B F 'n 111,BD CE B F A B ∥∥','m n 1,A B BD 60︒,m n ,,//m n m n αβ⊥⊥,αβ//n αn γαc //n c，故②正确;对于③,由两个平面平行的性质可知正确；对于④,由线面所成角的定义和等角定理可知其正确,故正确的命题有②③④.【知识点四:★★★设置线面角与面面角的定义作为条件障碍，考察立体几何】1．解析（1)令PA 中点为F ，联结EF ,BF ,CE ．因为E ，F 为PD ，PA 中点,所以EF 为PAD △的中位线,所以=1//2EF AD .又因为90BAD ABC ∠=∠=︒，所以BC AD ∥. 又因为12AB BC AD ==,所以=1//2BC AD ，所以=//EF BC ．所以四边形BCEF 为平行四边形,所以CE BF ∥． 又因为BF PAB ⊂面，所以CE ∥平面PAB . (2)以AD 中点O 为原点，如图建立空间直角坐标系．设1AB BC ==，则()000O ，，,()010A -，，，()110B -，，,()100C ，，,()010D ，，, (00P .M 在底面ABCD 上的投影为M ',所以M M BM ''⊥．因为45MBM '∠=,所以MBM '△为等腰直角三角形. 因为POC △为直角三角形,OC OP =,所以60PCO ∠=． 设MM a '=，CM '=，1OM '=.所以100M ⎛⎫'- ⎪ ⎪⎝⎭，，. BM a a '===⇒=所以11OM '==.所以100M ⎛⎫'- ⎪ ⎪⎝⎭，,10M ⎛ ⎝⎭,11AM ⎛=- ⎝⎭，(100)AB =，，. 设平面ABM 的法向量11(0)y z =，，m．110y +=，所以(02)=，m , ()020AD =，，，()100AB =，，．设平面ABD 的法向量为()200z =，，n ， (001)=，，n .所以cos ,⋅==⋅m n m n m n 所以二面角M AB D --． ,,m m c m n α⊥⊥⊥所以所以２、（Ⅰ）证明:因为1A O ⊥BD ⊂平面ABCD ，所以1A O BD ⊥因为ABCD 是菱形,所以CO BD ⊥因为1AO CO O =,所以BD ⊥平面1A CO .因为BD ⊂平面11BB D D ,所以平面11BB D D ⊥平面1A CO .…………………………………………………４分 (Ⅱ）解法一：因为1A O ⊥平面ABCD ,CO BD ⊥，以O 为原点,OB ，OC ,1OA 方向为x ,y ，z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系.………………………5分 因为12AB AA ==，60BAD ∠=, 所以1OB OD ==，OA OC ==11OA ==.………………6分则()1,0,0B ，()C ,()0,A ,()10,0,1A ，所以()11BB AA ==1,设平面1OBB 的法向量为n 因为()1,0,0OB =,(11,OB =所以0,0.x x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩令1=y ，得(0,1,=n ．…………………………………………………………９分 同理可求得平面1OCB 的法向量为()1,0,1=-m .………………………………10分所以cos ,4<>==n m .…………………………………………………11分 因为二面角1B OB C --的平面角为钝角,所以二面角1B OB C --的余弦值为4-．……………………………………12分解法二:由(Ⅰ)知平面1连接11A C 与11B D 交于点O 连接1CO ,1OO ,因为11AA CC =,11//AA CC 所以11CAAC 因为O ，1O 分别是AC ,11A 所以11OA O C 为平行四边形.且111O C OA ==. 因为平面1ACO 平面11BB D D 1OO =,过点C 作1CH OO ⊥于H ,则CH ⊥平面11BB D D ．过点H 作1HK OB ⊥于K ，连接CK ，则1CK OB ⊥.所以CKH ∠是二面角1B OB C --的平面角的补角．……………………………６分 在1Rt OCO ∆中，11122O C OC CH OO ⨯===.………………………………７分在1OCB ∆中,因为1A O ⊥11A B ,所以1OB == 因为11A B CD =,11//A B CD ， 所以11B C A D ===．因为22211B C OC OB +=,所以1OCB ∆为直角三角形.……………………………8分所以11CB OC CK OB ===⨯…………………………………………9分所以KH =.…………………………………………………10分所以cos 4KH CKH CK∠==．……………………………………………………11分所以二面角1B OB C --的余弦值为4-.……………………………………12分【知识点五:★★★重点考察面面垂直、线面垂直、面面角（含折叠问题）答案】1、 解析(１)证明：因为90BAP CDP ∠=∠=，所以PA AB ⊥，PD CD ⊥． 又因为AB CD ∥,所以PD AB ⊥,又因为PD PA P =，PD 、PA ⊂平面PAD 所以AB ⊥平面PAD ,又AB ⊂平面PAB ,所以平面PAB ⊥平面PAD （２）取AD 中点O ,BC 中点E ,联结PO ，OE ，因为AB CD ∥，所以四边形ABCD 为平行四边形,所以OE AB ∥. 由（１）知,AB ⊥平面PAD ，所以OE ⊥平面PAD , 又PO 、AD ⊂平面PAD ，所以OE PO ⊥，OE AD ⊥.又因为PA PD =,所以PO AD ⊥，所以PO 、OE 、AD 两两垂直， 所以以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -设2PA =,所以()00D ，,)20B ，,(00P，()20C ，，所以(0PD =-，，(22PB =，，()00BC =-，设()x y z =n ,,为平面PBC 的法向量,由00n PB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,得20y +=-=⎪⎩.令1y =，则z ,0x=，可得平面PBC 的一个法向量(01=n ,.因为90APD ∠=︒，所以PD PA ⊥，又知AB ⊥平面PAD ,PD ⊂平面PAD , 所以PD AB ⊥,又PA AB A =，所以PD ⊥平面PAB , 即PD 是平面PAB 的一个法向量,(0PD =-,,所以cos PD PD PD ⋅===⋅n n n,. 由图知二面角A PB C --为钝角，所以它的余弦值为2、 解:（Ⅰ) 因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD 平面BCD BD =,又BD ⊥DC ,所以DC ⊥平面ABD . …………………………………1分因为AB ⊂平面ABD ,所以DC ⊥AB . …………………………………2分又因为折叠前后均有AD ⊥AB ,DC ∩AD D =, …………………………………3分所以AB ⊥平面ADC ． ……………………………………………4分（Ⅱ) 由(Ⅰ)知AB ⊥平面ADC ,所以二面角C AB D --的平面角为∠CAD ． ……5分又DC ⊥平面ABD ，AD ⊂平面ABD ,所以DC ⊥AD .依题意6tan ==∠ADCDCAD ． ……………………………………………………6分因为1AD =，所以6=CD .设()0AB x x =>,则12+=x BD .依题意△ABD ～△BDC ,所以AB CDAD BD=,即1612+=x x ．………………7分解得x =故3AB BD BC ===. ………………８分法１:如图所示，建立空间直角坐标系D xyz -，则)0,0,0(D ,)0,0,3(B ,)0,6,0(C ,,22E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,33A ⎛ ⎝⎭, 所以3DE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,3DA ⎛=⎝⎭. 由（Ⅰ）知平面BAD 的法向量)0,1,0(=.……………………………………………9分 设平面ADE 的法向量),,(z y x =由0,0,m DE m DA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得0,0.x y x z +=+=G F E DCBA 令6=x，得y z ==所以)3,3,6(--=. ………………………………………………10分所以21,cos -=>=<m n . ………………………………………………11分由图可知二面角B AD E --的平面角为锐角, 所以二面角B AD E --的余弦值为12. ……………………………………………12分法2 :因为DC ⊥平面ABD ， 过点E 作EF ／/DC 交BD 于F , 则EF ⊥平面ABD . 因为AD ⊂平面ABD ,所以EF ⊥AD . …… ……………………………………… 9分 过点F 作FG ⊥AD 于G ，连接GE ,所以AD ⊥平面EFG ,因此AD ⊥GE .所以二面角B AD E --的平面角为EGF ∠. ………………………………………１0分由平面几何知识求得2621==CD EF ，2221==AB FG ，所以EG ==所以ｃoｓ∠EGF=21=EG FG . ………………………………………………11分 所以二面角B AD E --的余弦值为12. ………………………………………………1２分【知识点六：线面平行、线面角、线线角答案】１、【答案】解：(I ）由已知得． 取的中点，连接,由为中点知，． 又,故，四边形为平行四边形,于是.因为平面，平面，所以平面．232==AD AM BP T TN AT ,N PC BC TN //221==BC TN BC AD //=TN AM ∥AMNT MN AT ⊂AT PAB ⊄MN PAB //MN PAB（ＩI)取的中点，连结.由得,从而,且. 以为坐标原点,的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意知,,，，， ,，. 设为平面的一个法向量,则即 可取． 于是．2、答案C ，提示，转化成三个基底表示，或者建立空间直角坐标系。