半导体器件物理进展第二章(1) 半导体的导电理论Theory of Electrical Conduction inSemiconductor本章主要介绍描述半导体中带电粒子（即载流子）运动规律的几个方程，包括载流子的电荷与外加电场、电势分布之间的相互关系。

电子和空穴也不再作为单个粒子来处理，而是以晶体中宏观的载流子分布或者载流子浓度来处理。

从分析方法上来看，也不再使用量子力学的处理方法，而是采用求解麦克斯韦方程组以及应用电荷守恒原理、浓度梯度导致的扩散过程等方法来进行分析。

本章主要内容：电子在电场作用下的漂移载流子的迁移率漂移电流扩散电流漂移－扩散方程电流输运方程准费米能级§1 电子在电场作用下的漂移1. 晶格热振动与声子的概念至此，我们讨论半导体材料中的载流子（包括导带电子和价带空穴）都是处于理想的晶体材料中（即具有完美的周期性势场），而在实际的晶体材料中，往往含有间隙原子、空位和一些特定的杂质，同时晶格原子往往还存在热振动（只要不是处在绝对零度条件下），这种晶格原子热振动的幅度主要与晶体材料所处的温度相关。

利用量子力学和统计力学的方法对晶格原子热振动（特别是对其热振动的能量）所做的详细研究使得我们可以引入声子的概念来处理其与晶体中载流子之间的相互作用。

声子的概念：所谓声子实际上是我们人为假想的一种准粒子，它反映了晶格原子热振动能量在晶体材料中与载流子之间相互传递、交换的过程。

对于各种实际的非完美晶体材料，其中存在着多种非理想因素：既包括上面介绍的间隙原子、空位或杂质原子，也包括晶格原子偏离平衡位置的热振动，它们都会对完美晶格的周期性势场产生一定的畸变，从而对其中载流子（包括导带中的电子和价带中的空穴）的运动产生一定的相互作用。

2. 平均自由时间（弛豫时间）半导体晶体材料中的载流子（包括导带电子和价带空穴）与声子或晶格缺陷之间的相互作用可以看作是一系列服从能量守恒定律和动量守恒定律的碰撞过程。

在通常情况下，晶体材料中载流子的运动过程可以类比于液体中微小颗粒的布朗运动，其运动轨迹可以看成是由一系列的随机速度矢量所组成。

当没有外加电场时，载流子的净位移量为零，而当有外加电场时，则存在载流子在电场作用下的净流动。

特别值得注意的是：载流子随机热运动的速度（室温下一般在107cm/s的数量级）通常要远远大于电场作用下的定向运动速度。

如下图所示，为没有外加电场和有外加电场条件下半导体材料中载流子的运动情况，从图中可见，载流子随机热运动的速度一般确实要大于在电场作用下的定向运动速度。

基于和液体中微小颗粒无规则的布朗运动情况的类比，我们不难得到关于半导体材料中的载流子运动的两条基本假设：（1）半导体材料中的每个载流子在发生连续两次碰撞之间的运动为自由运动，其大量自由运动的平均时间称为平均自由时间（弛豫时间），记为τ；室温下半导体材料中电子的弛豫时间τn一般在十分之一皮秒的数量级，因此电子在连续两次碰撞之间运动的距离为十个纳米左右。

（2）与晶格发生碰撞之后载流子的运动方向完全是随机分布的，即碰撞是各向同性的，因此发生碰撞之后载流子的平均速度可看作是零。

3. 载流子的平均漂移速度首先，我们以半导体导带中的电子为例，来讨论半导体材料中载流子的运动。

假设t=t 0时，导带中恰好有n(t 0)个电子发生了一次碰撞，当t>t 0时，这n(t 0)个电子中仍有n(t)个电子尚未再次发生碰撞，显然有：n(t)<n(t 0)，因此可得：()()dtt n t dn n τ1−=()()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=n t t t n t n τ00exp 积分得到：此式即为自t 0时刻起尚未再次发生碰撞的电子数。

当外加不含时间的电场E 时，则有：qE dt dv m ma F e−===*假设电子的有效质量为各向同性的，则自t 0时刻起尚未发生碰撞的电子速度为：()E t t q m t v t v e0*01)()(−−=对于各向同性的碰撞来说，t 0时刻有：0)(0=t v 因此有：()E t t q m t v e 0*1)(−−=注意：上式表示的是从t 0时刻到t 时刻一直在电场加速下自由运动、而在t 到t+dt 时间内即会再发生一次碰撞的电子（即-dn(t)个电子）最终所能获得的平均漂移速度。

将上式对时间t 积分（从t 0增大到∞），或者对n(t)积分（从n(t 0)减小到0），即可求得载流子（此处为导带电子）在电场作用下的平均漂移速度为：()()()dn E t t q m t n v t n edn −−−=∫00)(*0011()E t t q m t v e0*1)(−−=§2 载流子的迁移率上一节中分析得出的载流子平均漂移速度可以进一步表示为：()E E m q dt t t t t m qE v n e n nt n e dn μτττ−=−=−−−−=∫∞*00*)exp(10()()nt yn n n t n n n t n dy ye t t d t t t t dt t t t t ττττττττ==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−=−−−∫∫∫∞−∞∞00000000)exp(1)exp(1利用n(t)的表达式以及下述的积分变换：其中μn 为电子的迁移率，即：*e n n m q τμ=类似地，空穴的迁移率也可表示为：*hp p m q τμ=通过第一章的分析我们知道，实际半导体材料中载流子的有效质量是各向异性的，通常表现为一个张量，即：⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=∂∂∂=*********22*11111111111zz zy zx yz yy yx xz xy xx j i m m m m m m m m m k k E m h因此载流子的迁移率通常也是一个张量。

但是对于锗、硅以及砷化镓等具有立方对称性的晶体材料来说，我们一般可以采用电导率平均有效质量来进行简化处理，例如对于硅单晶材料，其导带电子的电导率平均有效质量就可以表示为：)21(311*ntnl e m m m +=再利用：0019.0,97.0m m m m nt nl ==可得到：0*26.0m m e=类似地，硅单晶材料中价带空穴的电导率平均有效质量也可以表示为：23232121*1plph pl ph h mm m m m ++=同样再利用：0016.0,5.0m m m m pl ph ==可得到：0*37.0m m h =半导体晶体材料中载流子的迁移率主要取决于载流子与声子以及杂质之间的相互作用。

通过半导体物理中的分析我们可以得出，声子散射所决定的载流子迁移率与温度T 之间的依赖关系可以表示为：23−∝TT μ其中N 为半导体晶体材料中总的掺杂浓度。

一般情况下在半导体晶体材料中总是同时存在着多种不同的散射机制。

当上述两种散射机制共同起作用时，则总的载流子迁移率可以表示为：而杂质散射所决定的载流子迁移率与温度及杂质浓度之间的依赖关系则可以表示为：N T N 23∝μNT μμμ111+=室温下不同半导体材料中，电子和空穴迁移率随掺杂浓度之间的变化关系如下图所示：N-SiP-SiP-GaAsN-Ge P-GeN-GaAsT=300K§3 漂移电流载流子在外加电场作用下定向运动形成的电流称为漂移电流。

根据上一节的分析，当一块半导体材料中导带电子的浓度为n 时，在外加电场E 作用下电子的漂移电流密度J n 为：Enq nqv J n dn n μ=−=类似地，在外加电场E 作用下半导体材料中空穴的漂移电流密度J p 为：Epq pqv J p dp p μ==在外加电场E 作用下半导体材料中总的漂移电流密度J 为：()Enq pq nqv pqv J n p dn dp μμ+=−=上式可进一步表示为：()EE nq pq J n p σμμ=+=其中σ为半导体材料的电导率，即：np nq pq μμσ+=有时也用电阻率ρ(Ω﹒cm)来反映半导体材料的掺杂浓度和导电特性，即：np nq pq μμσρ+==11通常半导体材料的电阻率随着掺杂浓度的不同，可在很大的范围内（例如从10-4到103Ω﹒cm ）发生变化。

下图所示为室温下N型和P型硅材料电阻率随掺杂浓度的变化关系。

T＝300K绝缘体的电阻率通常在108Ω﹒cm以上，而金属导体的电阻率则一般在10-6Ω﹒cm以下。

关于霍尔效应（Hall Effect）的讨论：带电粒子在外加的磁场中运动时会受到一个垂直于运动方向的洛伦兹力的作用，因此在磁场中的载流固体材料上也会出现一个横向电势差，此即所谓的霍尔效应。

这是1897年霍尔（Hall）首先在金属材料上发现的。

在半导体材料中同样也存在类似的霍尔效应。

利用这一特点，我们既可以区别出N型半导体材料和P 型半导体材料，同时还可以测量出半导体材料中多数载流子的浓度及其迁移率。

如下图所示，以N 型半导体材料为例，当在y 方向通以电流J n时，则有：Ln dn n E nq nqv J μ=−=这些运动的电子同时在x 方向上会受到一个洛仑兹力的作用，但是在x 方向上又不可能形成电流，因此在x 方向上一定会建立一个横向电场E T ，且满足：()B v q qE dn T ×−=由此可以得到：()()()L n n dn T E B J B qnB v ×−=×−=×−=Εμ1如果半导体样品材料的宽度为W ，则样品两侧的霍尔电压V H 即为：W V TH Ε=如果半导体样品材料的厚度为h ，则沿y 方向流过的电流I 即为：Wh J I n=由此我们可以定义这块N 型半导体材料的霍尔系数R Hn 为：IBhV R H Hn =利用前面推导的关系式，我们可以进一步得到霍尔系数R Hn 的表达式为：nq B J E R n T Hn1−==对于N 型半导体材料，其电导率为：由此可以得到：nn nq μσ=n Hn n R σμ−=可见通过电导率和霍尔系数的测量，可以提取出N 型半导体材料中电子的迁移率μn ，并进而求得其中多数载流子电子的浓度n 。

类似地，对于P 型半导体材料，则有：pq B J E R p T Hp 1==p p pq μσ=p Hp p R σμ=可见通过电导率和霍尔系数的测量，同样可以提取出P 型半导体材料中空穴的迁移率μp 以及空穴的浓度p 。

总结－－霍尔效应的意义：（1）可以方便地用于判别非本征半导体材料的导电类型；（2）与电导率测量相结合，可直接测量出半导体材料中多数载流子的浓度及其迁移率；（3）也是证实半导体材料中空穴以带正电的载流子方式存在的最令人信服的方法之一。

§4 扩散电流半导体材料中的载流子由于存在浓度梯度而导致由高浓度区域向低浓度区域定向运动，由此形成的电流称为扩散电流。