课 题: 定积分的几何应用 目的要求：掌握定积分的微分元素法掌握利用定积分求平面图形面积的方法掌握利用定积分求体积的方法掌握利用定积分求弧长的方法 教学重点：利用定积分求面积和体积的方法 教学难点：利用定积分求面积和体积的方法 教学课时：4教学方法：讲练结合 教学内容与步骤：定积分解题的条件：(1) 所求量（设为 F ）与一个给定区间 [a,b]有关，且在该区间上具有可加性. 就是说，F 是确定于 [a,b]上的整体量，当把 [a,b]分成许多小区间时，整体量等于各部分量之和，即1ni i F F ==∑ .(2) 所求量 F 在区间 [a,b]上的分布是不均匀的，也就是说， F 的值与区间 [a,b]的长不成正比.（否则的话， F 使用初等方法即可求得，而勿需用积分方法了） 用定积分概念解决实际问题的四个步骤： 第一步：将所求量 F 分为部分量之和，即: 1Δnii F F ==∑;第二步：求出每个部分量的近似值，Δi F ≈()Δ(1,2,,);i i f x i n ξ=L第三步：写出整体量 F 的近似值，1Δn ii F F ==∑≈1()Δniii f x ξ=∑；第四步：取max{Δ}0i x λ=→时的1()Δniii f x ξ=∑极限，则得1lim ()Δ()d nb i i ai F f x f x x λξ→===∑⎰.观察上述四步我们发现，第二步最关键，因为最后的被积表达式的形式就是在这一步被确定的，这只要把近似式()Δi i f x ξ中的变量记号改变一下即可（ i ξ换为x ；i x ∆换为 dx ）. 而第三、第四两步可以合并成一步：在区间 [a,b]上无限累加，即在 [a,b]上积分. 至于第一步，它只是指明所求量具有可加性，这是 F 能用定积分计算的前提，于是，上述四步简化后形成实用的微元法. 定积分应用的微元法：(一) 在区间 [a,b]上任取一个微小区间 [],d x x x +，然后写出在这个小区间上的部分量ΔF 的近似值，记为d ()d F f x x =(称为 F 的微元); （二） 将微元dF 在[a,b]上积分（无限累加），即得: ()d .b aF f x x =⎰微元法中微元的两点说明：(1) ()d f x x 作为ΔF 的近似值表达式，应该足够准确，确切的说，就是要求其差是关于Δx 的高阶无穷小. 即 Δ()d (Δ)F f x x o x -=.这样我们就知道了，称作微元的量 ()d f x x ，实际上是所求量的微分 dF;(2) 具体怎样求微元呢? 这是问题的关键，这要分析问题的实际意义及数量关系，一般按着在局部 [],d x x x + 上，以“常代变”、“匀代不匀”、“直代曲”的思路（局部线性化），写出局部上所求量的近似值，即为微元 d ()d F f x x = . 用定积分求平面图形的面积 1. 直角坐标系下的面积计算用微元法不难将下列图形面积表示为定积分.（1） 曲线()(()0),y f x f x =≥,x a x b ==及 OX 轴所围图形，如下页左图，面积微元d ()d A f x x =，面积()d b aA f x x =⎰.（2） 由上、下两条曲线(),()(()())y f x y g x f x g x ==≥及,x a x b ==所围成的图形，如下页右图，面积微元d [()()]d ,A f x g x x =-，面积[()()]d b aA f x g x x =-⎰.（3）由左右两条曲线(),()x y x y ψϕ==及,y c y d ==所围成图形（图见下左）面积微元（注意，这时就应取横条矩形 dA ，即取 y 为积分变量）d [()()]d A y y y ϕψ=-，面积[()()]d d cA y y y ϕψ=-⎰.例 求两条抛物线22,y x y x ==所围成的图形的面积 .解（1）画出图形简图（如右上图）并求出曲线交点以确定积分区间：解方程组22,,y x y x ⎧=⎨=⎩得交点（0，0）及（1，1）.(2) 选择积分变量，写出面积微元，本题取竖条或横条作 dA 均可，习惯上取竖条，即取 x 为积分变量，x 变化范围为[0，1]，于是2d )d ,A x x =(3)将A 表示成定积分，并计算:13123200211)d 33 3.A x x x x ⎛⎫==-=⎪⎝⎭⎰ 练习 求22y x =及4y x =-所围成图形面积. 解 作图（如下图）求出交点坐标为(2,2),(8,4)A B -. 观察图得知，宜取 y 为积分变量， y 变化范围为[–2，4]（考虑一下，若取 x 为积分变量，即竖条切割，有什么不方便之处），于是得 :21d [(4)]d ,2A y y y =+-A ＝4422322111[(4)]d 418.226y y y y y y --⎛⎫+-=+-=⎪⎝⎭⎰极坐标下的面积计算曲边扇形：是指由曲线()r r θ=及两条射线,θαθβ==所围成的图形（如右下图）.取 θ为积分变量，其变化范围为[,]αβ，在微小区间 [,d ]θθθ+上“以常代变”，即以小扇形面积 dA 作为小曲边扇形面积的近似值，于是得面积微元为21d ()d ,2A r θθ=将dA 在[,]αβ上积分,便得曲边扇形面积为21()d .2A r βαθθ=⎰例22.解 由于图形的对称性，只需求其在第一象限中的面积，再4倍即可，在第一象限 θ的变化范围为 π[0,]4，于是ππ22244014cos 2d sin 2.2A a a a θθθ=⨯==⎰练习 求心形线 1cos r θ=+及圆3cos r θ=所围成的阴影部分面积（如右下图）.解 先求两线交点，以确定 θ的变化范围，解方程组：1cos ,3cos .r r θθ=+⎧⎨=⎩由3cos 1cos θθ=+得 1cos 2θ= ，故π3θ=± ，考虑到图形的对称性，得所求的 面积为：ππ2232π03112(1cos )d (3cos )d 22A θθθθ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰⎰ππ32π031cos 29(12cos )d (1cos 2)d 22θθθθθ+=++++⎰⎰ππ32π0331912sin sin 2sin 22422θθθθθ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭5π.4=用定积分求体积1. 平行截面面积为已知的立体体积设一物体被垂直于某直线的平面所截的面积可求，则该物体可用定积分求其体积. 不妨设上述直线为 x 轴，则在 x 处的截面面积 ()A x 是x 的已知连续函数，求该物体介于 x=a 和 ()x b a b =<之间的体积（如右下图）.为求体积微元，在微小区间 [,d ]x x x +上视 ()A x 不变，即把[,d ]x x x +上的立体薄片近似看作 ()A x 为底， dx 为高的柱片，于是得d ()d ,V A x x =再在x 的变化区间[,]a b 上积分，则得公式 ()d .baV A x x =⎰例 设有底圆半径为 R 的圆柱，被一与圆柱面交成 α角且过底圆直径的平面所截，求截下的楔形体积（如右下图）.解 取坐标系如图，则底圆方程为222,x y R +=在 x 处垂直于 x 轴作立体的截面，得一直角三角形，两条直角边分别为y 及 tan y αα，其面积为221()()tan 2A x R x α=-，从而得楔形体积为222201()tan d tan ()d 2RR R V R x x R x x αα-=-=-⎰⎰2232tan ()tan 33R x R x R αα=-=旋转体体积设旋转体是由连续曲线()y f x =和直线,()x a x b a b ==<，及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转而成（如下图），我们来求它的体积 V.在区间 [,]a b 上点 x 处垂直 x 轴的截面面积为:2()π().A x f x = 在x 的变化区间[,]a b 内积分，得旋转体体积为: 2π()d .baV f x x =⎰类似地，由曲线()x y ϕ=，直线,y c y d ==及 y 轴所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转，所得旋转体体积（如下页左图）为2π()d .d cV y y ϕ=⎰例 求由星形线 222333(0)x y a a +=> 绕x 轴旋转所成旋转体体积（如上右图）. 解 由方程 222333x y a +=解出 2y =22333()a x - ，于是所求体积为 2223330πd 2π()d a aaV y x a x x -==-⎰⎰42242233333322π(33)d π.105aa a x a x x x a =-+-=⎰ 平面曲线的弧长设有曲线()y f x =（假定其导数()f x '连续），我们来计算从 x a =到 x b =的一段弧长的长度 s ，弧长微元为:d s x =在x 的变化区间[,]a b 内积分，就得所求弧长:.aas x x ==⎰⎰若曲线由参数方程 (),()x t y t ϕφ=⎧⎨=⎩()t αβ≤≤给出，这时弧长微元为d .s t ==于是所求弧长为: .s t βα=⎰注意：计算弧长时，由于被积函数都是正的. 因此，为使弧长为正，定积分定限时要求下限小于上限.例 求摆线(sin ),(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩在 02πt ≤≤的一段长(0)a >.解 ()(1cos )x t a t '=-, ()sin y t a t '=,于是 d s t t == 2sind 2ta t =, 由于在[0,2π]上，sin02t≥， 故这一拱摆线长为 : 2π2π02sin d 4cos 8.22t t s a t a a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰练习：作业：教学总结：。