1．利用奇偶函数图象的对称性，我们可以作出函 数的大致图象，然后观察图象得出结论．
2．已知奇偶函数在某个区间上的解析式，我们利 用对称性可求出这个区间的对称区间上的解析式．要注 意“求谁设谁”．
3．解含“f”的不等式，应具备两个方面： 一是能转化为 f(x1)＜f(x2)或 f(x1)＞f(x2)的形式； 二是 f(x)的单调性已知．特别是 f(x)为偶函数时， 应把不等式 f(x1)＜f(x2)转化为 f(|x1|)＜f(|x2|)的形 式，利用 x∈[0，＋∞)的单调性求解．
又 f(－2)＝－1， ∴f(2)＝3．
拓展提升：函数 f(x)，x∈R，若对于任意实数 a，b 都有 f(a ＋b)＝f(a)＋f(b)．求证：f(x)为奇函数．
奇偶函数的图象及应用 已知函数 f(x)＝x2＋1 1在区间[0，＋∞)上的图象
如图 2－2－4 所示，请据此在该坐标系中补全函数 f(x)在定 义域内的图象，请说明你的作图依据．
图 2－2－4
【思路探究】 先证明 f(x)是偶函数，依据其图象关于 y 轴对称作图． 解：∵f(x)＝x2＋1 1，∴f(x)的定义域为 R．
设奇函数 f(x)的定义域为[－5,5]．若当 x∈[0，5]时，f(x) 的图象如图 2－2－5 所示，则不等式 f(x)ห้องสมุดไป่ตู้0 的解集是 ________．
图 2－2－5
解：注意到奇函数的图象关于原点成中心对称，用对称的思 想方法画全函数 f(x)在[－5，5]上的图象(如图)，数形结 合，得 f(x)＜0 的解集为{x|－2＜x＜0 或 2＜x≤5}．
【答案】 (－2，0)∪(2，5]
利用函数的奇偶性求解析式
已知 f(x)是 R 上的奇函数，且当 x＞0 时，f(x)＝x3＋x
＋1，求 f(x)的解析式．
解：∵f(x)为 R 上的奇函数，∴f(0)＝0． 令 x＜0，则－x＞0，∴f(－x)＝(－x)3－x＋1＝－x3－x＋1．
又∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．
从而－f(x)＝－x3－x＋1，即 f(x)＝x3＋x－1.
∴x＜0 时，f(x)＝x3＋x－1．
∴f(x)＝x03，＋x－1，
x＜0 x＝0
．
x3＋x＋1， x＞0
1．本题在求 x＜0 时，f(x)的解析式，用了化归的思想， 即把待求 x＜0 的范围向已知范围 x＞0 转化．
2．如果奇函数 f(x)在原点处有定义，则 f(0)＝0．
又 f(x)是奇函数， ∴f(－2)＝－f(2)＝－1． 【答案】 －1
4．已知 f(x)＝ax3－bx＋1(a，b∈R)，若 f(－2)＝－1， 则 f(2)的值＝___3______．
解：易见 f(2)＝8a－2b＋1，………① f(－2)＝－8a＋2b＋1，……②
由①＋②得，f(2)＋f(－2)＝2，
(3)f(x)＝x－2＋x2x＋，xx，＜x0＞0 ．
(3)①当 x＜0 时，－x＞0， 且 f(－x)＝－(－x)2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)； ②当 x＞0 时，－x＜0， 且 f(－x)＝(－x)2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)． 综上所述，对任意 x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， 总有 f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数．
x＞0 x＜0
．
已知 f(x)是 R 上的偶函数，在区间(0，＋∞)上是增函数， 若有 f(－2a＋3)＞f(2a－1)成立，求实数 a 的取值范围． 解：因偶函数 f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，
故其图象关于 y 轴对称，且在区间(－∞，0)上是减函数． 又 f(－2a＋3)＞f(2a－1)成立， 根据 f(x)图象性质可知：|－2a＋3|＞|2a－1|． 两边平方得：(－2a＋3)2＜(2a－1)2， 整理得：8＞8a，解 a＜1， 所以实数 a 的取值范围为(－∞，1)．
变式：已知 f(x)是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，且当 x ＞0 时，f(x)＝x3＋x＋1，求 f(x)的解析式．
解：①当 x＜0 时，－x＞0，
∴f(－x)＝(－x)3－x＋1＝－x3－x＋1．
又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
∴f(x)＝－x3－x＋1.
∴f(x)＝x－3＋x3x－＋x1＋，1，
请关注：奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函 数在关于原点对称的区间上单调性相反，在利用 f(x1)与 f(x2) 的大小关系推出 x1 与 x2 的关系时，必须要注意 x1 与 x2 是否 属于同一个单调区间，若不属于同一个单调区间，需要利用 奇偶性进行必要的转化，我们在解题中一定不要忽略这一点．
又对任意 x∈R，都有 f(－x)＝(－x1)2＋1＝x2＋1 1＝f(x)，
∴f(x)为偶函数． 则 f(x)的图象关于 y 轴对称，其图象如图所示：
1．利用函数的奇偶性作用，其依据是奇函数图象关于原 点对称，偶函数图象关于 y 轴对称，画图象时，一般先找出 一些关键点的对称点，然后连点成线．
2．由于奇函数、偶函数图象的对称性，我们可以由此得 到作函数图象的简便方法，如作出函数 y＝|x|的图象．因为 该函数为偶函数，故只需作出 x≥0 时的图象，对 x≤0 时的 图象，关于 y 轴对称即可．
1．函数 y＝f(x)在区间[2a－3，a]上具有奇偶性，则 a＝ ________.
解：由题意知，区间[2a－3，a]关于原点对称， ∴2a－3＝－a，且 2a－3＜－a，解之得 a＝1．
【答案】 1
3．已知函数 y＝f(x)是 R 上的奇函数，且当 x＞0 时，f(x) ＝1，则 f(－2)的值为________． 解：∵当 x＞0 时，f(x)＝1，∴f(2)＝1，
判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x－1x；
解：(1)f(x)的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称． 又 f(－x)＝(－x)－－1x＝－(x－1x)＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数．
(2)f(x)＝|x＋2|＋|x－2|；
(2)易知 f(x)的定义域为 R，它关于原点对称， 且 f(－x)＝|－x＋2|＋|－x－2|＝|x＋2|＋|x－2|＝f(x)， ∴f(x)是偶函数；