高等数学(一)微积分一元函数微分学( 第三章、第四章)一元函数积分学（第五章）第一章函数及其图形第二章极限和连续多元函数微积分（第六章）高数一串讲教材所讲主要内容如下：全书内容可粗分为以下三大部分：第一部分 函数极限与连续（包括级数） 第二部分 导数及其应用（包括多元函数）第三部分 积分计算及其应用 （包括二重积分和方程）第一部分 函数极限与连续一、关于函数概念及特性的常见考试题型： 1、求函数的自然定义域。

2、判断函数的有界性、周期性、单调性、奇偶性。

3、求反函数。

4、求复合函数的表达式。

二、 极限与连续 常见考试题型：1、求函数或数列的极限。

2、考察分段函数在分段点处极限是否存在， 函数是否连续。

3、函数的连续与间断。

4、求函数的渐进线。

5、级数的性质及等比级数。

6、零点定理。

每年必有的考点第三部分导数微分及其应用常见考试题型：1、导数的几何意义；2、讨论分段函数分段点的连续性与可导性。

3、求函数的导数：复合函数求导，隐含数求导，参数方程求导；4、讨论函数的单调性和凹凸性，求曲线的拐点；5、求闭区间上连续函数的最值；6、实际问题求最值。

每年必有的考点第四部分积分计算及应用考试常见题型1、不定积分的概念与计算；2、定积分的计算；3、定积分计算平面图形的面积；4、定积分计算旋转体的体积；5、无穷限反常积分6、二重积分7、微分方程最近几年考题中，积分计算的题目较多，而且也有一定的难度。

第一部分函数极限与连续一、关于函数概念及特性的常见考试题型：1、求函数的自然定义域。

2、判断函数的有界性、周期性、单调性、奇偶性。

3、求反函数。

4、求复合函数的表达式。

例1..函数___________. 2007.7知识点：定义域约定函数的定义域是使函数的解析表达式有意义的一切实数所构成的数集。

解 要使根式函数有意义必须满足23log log 0x ≥，要使23log log 0x ≥成立， 只有3log 1x ≥，即3x ≥.注：我们所求定义域的函数一般都是初等函数，而初等函数：由基本初等函数，经过有限次的＋－×÷运算及有限次的复合得到的函数称为初等函数。

这就需要我们把基本初等函数的定义域、值域等搞清楚。

基本初等函数的性质与图形如下表所示(T 表周期)：(,)(0,)R R +=-∞+∞=+∞例2 求函数()ln(1),0.f x x x =-≤的值域 2007.4解：由0.x ≤可知11x -≥，所以ln(1)0x -≥，故()ln(1),0.f x x x =-≤的值域为[0,)+∞例3 . 1.下列函数中在所给的区间上是有界函数的为（ ）A ．f (x )=11+x [0，1] B ．f (x )=11+x （-1，0） C ．f (x )=e x (-∞，+∞) D ．f (x )=ln x (0，+∞)知识点：函数的有界性注：函数的有界性是指值域的有界性。

解：A 1111+1212+1x x x ≤≤≤≤⇒≤≤当0时，，故f (x )=11+x 在[0，1]上为有界函数。

B ． -11lim=+1x x →∞故f (x )=11+x 在（-1，0）上为无界函数。

CD 结合函数图像判断。

例4、设函数()f x 是定义在(,)a a -上的任意函数，证明： （1）、()()(),(,)g x f x f x x a a =+-∈-是偶函数（2）、()()(),(,)g x f x f x x a a =--∈-是奇函数知识点：奇偶性若对于任何x ，恒有()()f x f x -=-成立，则称()f x 是奇函数。

若对于任何x ，恒有()()f x f x -=成立，则称()f x 是偶函数．奇函数的图形关于原点对称，偶函数的图形关于y 轴对称 分析：因为()g x 是定义在对称区间上，根据定义，只需证明：（1）()()g x g x -= （2）()()g x g x -=-只证（1）：()()(())()()()g f f f f x x x x x g x =+-=+=---- 偶函数。

例5、求函数44log 2log y =+. 07.10 知识点：反函数求反函数的步骤是：先从函数()y f x =中解出1()x f y -=，再置换x 与y ，就得反 函数1()y f x -=。

解：由44411log 2log log 22y x =+=+ ，可得412()log 2y x -=，所以214y x -=，上式中x 与y 的记号互换，即得反函数为214x y -=例6．1. 设f (x )=x 3-x ，x x 2sin )(=ϕ，则f [)4(π-ϕ]=( )A.-2B.22-C.0D.22. 已知f (x +1)=x 2，则f (x )=________.2009.10 知识点 ：复合函数 解：1. []3()fx x x ϕ=sin 2-sin23()()()0444f πππϕ⎡⎤-=--=⎢⎥⎣⎦sin 2-sin2答案：C2. 令1,x u += 则1x u =-，故由2(1)f x x +=可得2()(1)f u u =-，即2()(1)f x x =-.二、 极限与连续 常见考试题型：1、求函数或数列的极限。

2、考察分段函数在分段点处极限是否存在， 函数是否连续。

3、函数的连续与间断。

4、求函数的渐进线。

5、级数的性质及等比级数。

6、零点定理。

典型例题求极限方法总结：利用极限四则运算、 连续函数、重要极限、无穷小代换、洛比达法则等例7．求22235lim 31x x x x →-++．知识点： 若函数()y f x =在点0x 处连续，00lim ()()x x f x f x →=解 因为7161lim 3lim )13(lim 222≠=+=+=+→→→x x x x x ．故 22222lim(235)2357lim 131lim(31)7x x x x x x x x x →→→-+-+===++例8、221lim 32x x x →∞++解 ： ∞=++=++=++∞→∞→∞→2222222312lim 2312lim 2312limx x x xx x x x x x x x知识点：一般地，设000,0,,a b m n N ≠≠∈，则101101lim n n n m m x m a x a x a b x b x b --→∞⎧++⋅⋅⋅+⎪=⎨++⋅⋅⋅+⎪⎩00,0,,a b ∞,,.m n m n m n =><当当当 例9 =-++∞→23563lim2n n n n ___________. 2007.7 解：3n n n→∞→∞=-例10 （1）、121cos 0lim(1)xx x -→+ 2008.1 (2) lim 1nn n n →∞⎛⎫⎪+⎝⎭2009.1知识点：重要极限：1∞01(1)lim(1),1lim(1),()0,lim(1())xu x t x x t e u x u x e xt e →∞→+=+=→+=，10,lim(1)na n n na a e →+=解: (1) 2211221cos 1cos 0lim(1)lim[(1)]x xx xx x x x --→→+=+因为 2120lim[(1)]x x x e →+=，22200limlim 21cos 2x x x x xx →→==-。

(2) 求 lim 1nn n n →∞⎛⎫⎪+⎝⎭2009.1 解：(1)(1)1111lim lim lim 1lim 11111nnnnn n n n n n n n n n n n -+-+→∞→∞→∞→∞+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(1)(1)11lim 11n n n n e n -+-+-→∞⎡⎤⎛⎫=-=⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦例11. 2000tan sin 1cos (1)lim(2)lim(3)lim(4)lim sin(2007.10)2x x x n x kxxn xxx nπ→→→→∞-知识点：重要极限 0()00sin sin sin ()lim1,lim1,lim1()n nx u x a n a xu x x u x a →→→===解：0000tan sin 1sin 1(1)limlim lim 111cos limcos x x x x x x x x x x x x→→→→===⨯=(2)00,u kx x u =→→令，等价于000sin sin limlim lim 1sin x x u kx kx k k k kx kx uu →→→=⋅=⋅=⨯=222200022sin sin 2(3)1c lim lim lim 2()2os 2x x x x x x x x x →→→==- 20sin 2211lim 22x x x →⎛⎫ ⎪== ⎪⎪⎝⎭(4) sin 2lim(sin)lim2222n n n n nnπππππ→∞→∞=⋅=例12．求极限（1）20ln(1)lim1cos x x x→+- （2）()2x 01sin 3lim(1cos 2)ln(1)x e xx x →--+知识点：利用等价无穷小代换求函数极限。

,',,'ααββ为无穷小， 且~',~'ααββ， 则'lim lim 'ααββ= 解：(1)因为221x x ~)ln(+, 2211x x ~cos - 所以 22002ln(1)lim=lim =211cos 2x x x x x x →→+- （2）因为221~x e x -， sin3~3x x ，22121cos 2~(2)2x x x -=，ln(1)~x x +所以 ()2x 01sin 3lim(1cos 2)ln(1)x e xx x →--+22x 0(3)3lim (2)2x x x x →⋅==⋅．注：在使用等价无穷小代换时，应注意只能对乘除法代换，不能对加减法代换，即只对极限中的各个因式进行代换．记住下列几个常用的等价无穷小以及由此导出其它的等价无穷小1、sin ~,x x 导出 ()0u x →时，sin ()~()u x u x2、tan ~,x x 导出 ()0u x →时，tan ()~()u x u x3、arcsin ~x x ， 导出 ()0u x →时，arcsin ()~()u x u x4、1~x e x -， 导出 ()0u x →时，()1~()u x e u x -5、ln(1)~x x +， 导出 ()0u x →时，()ln 1()~()u x u x +6、21cos ~2x x -， 导出 ()0u x →时，2()1cos ()~2u x u x -例13：(1) x x x x x sin e lim 20-→ 09.7 (2) 2sin lim1x x xx →∞++ 09.4 (3) x 1lim (1)tan2xx π→- 07.4 （4）11lim 1ln x xx x →⎛⎫-⎪-⎝⎭知识点： 洛必达法则：使用洛必达法则必须判断所求的极限是分式型的未定式∞∞、0．其它类型的未定式 ∞-∞，0⋅∞ ，000,,1∞∞ 可转化为分式型的未定式，从而可以用洛必达法则解：(1) 20lim e sin x x x x x →- 0()01sin 22lim cos 2lim00=++=-+=→→xe xe x e xe x x x x x x x（2） 2sin lim1x x xx →∞++∞⎛⎫ ⎪∞⎝⎭1cos 1limlim (1cos )022x x x x xx →∞→∞+==+=(3) x 1lim (1)tan 2x x π→- 0(0)0⋅∞→x 1(1)limcot 2x x π→-= 2x 1x 12122lim lim sin 2csc22x x πππππ→→-===-(4) 11101ln 11ln 1lim lim lim 011ln (1)ln ln x x x xx x x x x x x x x xx→→→-++-∞-∞⎛⎫- ⎪---⎝⎭+ 211ln 1limlim 121ln 111x x x x xx xx →→==+=-+例14．求极限（1）x x x x cos 12e e lim 0--+-→. 2009.10 (2) 0ln cos 0,0,lim ln cos x ax a b bx →≠≠ 2007.1知识点; 等价无穷小和洛比达法则结合解：（1）0e e 2lim 1cos x x x x -→+-- 0()02000e e 2e e lim lim lim (e e )22x x x x x x x x x x x---→→→+--===+= (2) 001(sin )ln cos cos lim lim1ln cos (sin )cos x x a ax ax ax bx b bx bx→→-=- 0()0 0cos sin limcos sin x bx a axax b bx →=220cos lim cos x bx a ax a ax b bx b→== 例15 .设f (x )是连续函数，且f(0)=1，则=⎰→2x limx dt )t (tf x（ ）2007.4 A.0 B.12C.1D.2知识点： 变上限函数求导求极限解： 02x 0x 0()()limlim2xtf t dt xf x x x →→=⎰x 0()(0)1lim 222f x f →==== 例16．设函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<02302sin 2 x k x x x x x在x =0点连续，则k =（ ）2009.4知识点：函数连续 若00lim ()()x x f x f x →=，则称函数()y f x =在点0x 处连续。