平面图形的面积 旋转体的体积
◆定积分的元素法
复习曲边梯形的面积计算方法（演示） 复习曲边梯形的面积计算方法（演示） 定积分的元素法分析（演示） 定积分的元素法分析（演示） 定积分的元素法（演示） 定积分的元素法（演示） 一般地：若所量 与变量的变化取间 与变量的变化取间[a 有关， 一般地：若所量U与变量的变化取间 , b]有关，且关于 有关 [a , b]具有可加性，在[a , b]中的任意一个小区间 , x+dx]上 具有可加性， 中的任意一个小区间[x 具有可加性 中的任意一个小区间 上 找出部分量的近似值dU=f(x)dx,得所求量的定积分表达式 得所求量的定积分表达式 找出部分量的近似值 这种方法叫做定积分的元素法。 称 U = ∫ f ( x)dx, 这种方法叫做定积分的元素法。 dU=f(x)dx称
h
2
◆旋转体的体积例题选举
例2 求星形线 体的体积。 体的体积。
x +y =a
2 3
2 3
2 3
(a > 0) 绕 x 轴旋转构成旋转
A1
例3 计算由曲线 y=x2 与 x=y2 所围成的平面图形绕 y 轴旋转 一周而成的立体的体积。 一周而成的立体的体积。 解 如图所示
1
Vy = V1 − V2
x ∈ (0, h) r 直线OP的方程为 直线 的方程为 y = x h 任取 x ∈ (0, h) ，形成区间 [ x, x + dx ]
2
y P(h,r)
o r 体积元素为 dV = π y dx = π x dx h
2
x x+dx
x
1 2 r 所求体积为 V = π x dx = π r h ∫0 h 3
1 2 dA = r (θ ) dθ 2
1 β 2 A = ∫ r (θ ) dθ 2 α
（扇形面积近似替换） 扇形面积近似替换）
由定积分的元素法， 由定积分的元素法，得曲边扇形面积的定积分表达式为
◆极坐标系下的平面图形的面积计算例题
例6 求双纽线 解
ρ = a cos 2θ (a > 0)
2 2
2 −1
−∫
2
0
x dx =
4
}
32 2 + 3 2 15
(
)π
)
◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式 练习：
( 4)
y = x3 ,
y = 1,
y
轴
1 y
绕y轴旋转一周 轴旋转一周
Vy = ∫ π
0
1
( y)
3
3
2
3 dy = π 5
y=x3 1
( 5)
y = x , x = 1, x 轴
绕y轴旋转一周 轴旋转一周
y = 2x ,
2
1
y=x ,
2
y =1
y 2 2 A=∫ ( y − )dy = (1 − ) 0 2 3 2
或
A=∫
2 2
0
( 2x
2
− x ) dx + ∫
2
1 2 2
(1 − x ) dx
2
2 2
一般地： 一般地：如右图中的阴影部分的面积为
A = ∫ f ( y ) − g ( y ) dy c
Vy = π − ∫ π
0
1
( y)
3
2
2 dy = π 5
y y=x3 1
◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式 练习： 2 绕y轴旋转一周 轴旋转一周
Vy = ∫ π
0
2
( y ) dy − ∫ π (
2 2 1
y −1 dy
)
1
2
3 = π 2
例4 求由曲线
y = 4 − x 2 及 y = 0 所围成的图形绕直线 x = 3
返回
例 4 求椭圆面积
返回
平面图形的面积（极坐标） 平面图形的面积（极坐标）
返回
旋转体概念
返回
旋转体实例圆锥
返回
旋转体实例圆柱
返回
旋转体体积推导
返回
体积例题 3
返回
体积例题 2
返回
体积例题 5
返回
= x, y = x
= e, y = e , x = 0
x
( ) A = ∫ ( e − e ) dx = 1
A=∫
1 0
1 x − x dx = 6
x
1
0
轴
A= ∫
1
−3
(
32 3−2x − x dx = 3
2
)
练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。 练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。 （4） ）
x 轴或 y 轴。
x 轴或 y 轴旋转的情形。 轴旋转的情形。
◆旋转体的体积计算公式
1、旋转轴为 x 轴（演示） 、 演示） 由x=a , x= b ，y=0, y=f (x) （a< b, f (x)>0)所围成的曲边 所围成的曲边 梯形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积为 y=f (x)
Vx = ∫ π y dx = ∫ π [ f ( x) ] dx
b 2 b 2 a a
2、旋转轴为 y 轴（演示） 、 演示） 梯形绕 y 轴旋转一周而成的旋转体的体积为
a
b
所围成的曲边 由y= c , y= d , x=0, x=g (y) （ c< d, g (y)>0)所围成的曲边 d x=g (y)
Vy = ∫ π x dy = ∫ π [ g ( y ) ] dy
d 2 d 2 c c
c
◆旋转体的体积计算公式
的直线， 例 1 连接坐标原点 O 及点 P( h , r) 的直线，直线 x=h及 x轴围 及 轴围 成一个直角三角形， 成一个直角三角形，将它绕 x轴旋转构成一个底半径为 r，高 轴旋转构成一个底半径为 ， 的圆锥体， 为 h的圆锥体，计算圆锥体的体积。 的圆锥体 计算圆锥体的体积。 解 如图所示
a b
为所求量U的元素。 为所求量 的元素。 的元素 应用定积分的元素法解决问题时， 应用定积分的元素法解决问题时，关键在于确定积分元素 f(x)dx 和积分区间 ,b]。 和积分区间[a 。
◆直角坐标系下的平面图形的面积（演示） 直角坐标系下的平面图形的面积（演示）
1、 由x=a ， x= b ,y=0 及 y= f (x) 所围成的平面图形的面积为 、
c
d
(c < d )
◆平面图形的面积例题选举
例1 计算由 y
2
=x
及
y=x
2
所围成的图形的面积。 所围成的图形的面积。
= x3 − 6 x 和 y = x 2 所围成的图形的面积。 所围成的图形的面积。 2 所围成的图形的面积。 例3 计算由 y = 2 x 和 y = x − 4 所围成的图形的面积。
2 2
法二： 法二：以 x 作积分变量
2 3 4 2 A = 2 ∫ 2 4 ( x − 1) dx + ∫3 4 ( 2 − x ) dx = 1 3 2
求由下列给定曲线所围成的图形面积。 例 5 求由下列给定曲线所围成的图形面积。 星形线
x = a cos3 t 3 y = a sin t
A=∫
3
−1
2 x + 3 − x 2 ) dx (
8 = 3
（5） ）
y=x ,
2
1 0
y = x,
2 1
y = 2x
2
A = ∫ ( 2 x − x ) dx +
7 = 6
∫ ( 2x − x ) dx
练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。 练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。 （6） ）
d
练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。 练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。 （7） ）
2 2
y2 = 4 (2 − x )
1
− 2 2
2
y 2 = 4 ( x − 1)
法一：以 y 作积分变量 法一：
A = 2∫
2
0
y y (2 − ) − (1 + ) dy = 4 2 3 4 4
= ∫ π x dy − ∫ π x2 dy
3 = ∫ π ydy − ∫ π y dy = π 0 0 10
1 4
0 1
2 1
1
2
0
V1
V2
返回
◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式 练习：
(1)
y = x3 , x = 1,
y=0
y=x3
绕x轴旋转一周 轴旋转一周
1 Vx = π x dx = π 0 7
◆极坐标系下的平面图形的面积（演示） 极坐标系下的平面图形的面积（演示）
如果平面曲线由极坐标给出，如右图： 如果平面曲线由极坐标给出，如右图： 由
r = r (θ )
θ = α , θ = β , r = r (θ )
β
α
所围成的图形称为曲边扇形。 所围成的图形称为曲边扇形。 其中部分量可由阴影部分（扇形）面积近似计算， 其中部分量可由阴影部分（扇形）面积近似计算，即：
例 9 求由下列给定曲线所围成的图形公共部分的面积。 求由下列给定曲线所围成的图形公共部分的面积。
解
1 π 2 A = + 2 × ∫π (1 + cos θ ) dθ 2 2 2
π
=
π
5π = ... = −2 4