图图11图图图虹口区2018学年度第一学期教学质量监控测试1.计算153lim ________.54n nn nn +→+∞-=+2. 不等式的解集为_________.21xx >-3．设全集则_______．{}{}3,2,1,0,1,2log (1),U R A B x y x ==--==-若，()U A B = ð4. 设常数若函数的反函数的图像经过点，则_______.,a R ∈()()3log f x x a =+()2,1a =5. 若一个球的表面积为 则它的体积为________.4,π6. 函数的值域为________. 8()f x x x=+[)(2,8)x ∈7．二项式的展开式的常数项为________．62x ⎫+⎪⎭8. 双曲线的焦点到其渐近线的距离为_________.22143x y -=9. 若复数=（为虚数单位），则的模的最大值为_________.z sin 1cos i iθθ-i z 10.已知7个实数依次构成等比数列，若从这7个数中任取2个，则它1,2,4,,,,a b c d -们的和为正数的概率为__________.11.如图，已知半圆的直径 是O 4,AB =OAC ∆等边三角形，若点是边（包含端点）上的P AC ,A C 动点，点在弧上，且满足则Q A BC ,OQ OP ⊥OP BQ ⋅u u r u u u r的最小值为__________.12.若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围y k x =2log (2)21x y x +=--k 为________.二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得 5分，否则一律零分.13.已知则“”是“”的,x R ∈1233x -<1x <（）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分又非必要条件图图17图图图14．关于三个不同平面与直线，下列命题中的假命题是 ,,αβγl ()（A ）若则内一定存在直线平行于,αβ⊥αβ（B ）若不垂直，则内一定不存在直线垂直于 αβ与αβ（C ）若 则,,l αγβγαβ⊥⊥⋂=，l γ⊥（D ）若则内所有直线垂直于,αβ⊥αβ15．已知函数 若函数恰有21,1,()1,(),11,1,1,x f x a x x g x x x x -≤-⎧⎪=-+=-<<⎨⎪≥⎩()()y f x g x =-两个零点，则实数的取值范围为a （ ）（A ） （B ）(0,)+∞(,0)(0,1)-∞⋃（C ）（D ）1(,)(1,)2-∞-⋃+∞(,0)(0,2)-∞⋃16．已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线E 2:2(0)C y p x p =>F C 的焦点，点在抛物线上.在中，若，则的最大值为P C EFP ∆sin sin EFP FEP μ∠=⋅∠μ（）（A（B（C（D三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.17．(本题满分14分) 本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.在如图所示的圆锥中，底面直径与母线长均为4，点是底面直径所对弧的中点，点是母线C AB D PA 的中点.（1）求该圆锥的侧面积与体积；（2）求异面直线与所成角的大小.AB CD 18．（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分．已知函数是定义在R 上的奇函数.16()1(0,1)x f x a a a a+=->≠+图图19图图图(1)求实数的值及函数的值域；a ()f x (2)若不等式 上恒成立，求实数的取值范围.()[]331,2xt f x x ⋅≥-∈在t 19．(本题满分14分) 本题共2小题，每小题7分.某城市的棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经过调研、规划确定，棚改规划用地区域近似为圆面，该圆的内接四边形区域是原棚户区建筑用地，测量可知边界ABCD 2()3(),1().AB AD k m BC k m CD k m ====，(1) 求的长及原棚户区建筑用地的面积；AC ABCD （2）因地理条件限制，边界不能变更，而,AD DC 边界可以调整，为了增加棚户区建筑用地的面,AB BC 积，请在弧 上设计一点使得棚户区改造后的A ABC ,P 新建筑用地（四边形）的面积最大，并求出这APCD 个面积最大值.20．（本题满分16分）本题共3小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分.设椭圆点为其右焦点， 过点的直线与椭圆相交于点22:1,2x y Γ+=F F Γ,.P Q (1)当点在椭圆上运动时，求线段的中点的轨迹方程；P ΓFP M (2)如图1，点R 的坐标为（2，0），若点S 是点关于轴的对称点，求证：点P x ,,Q S R 共线；(3)如图2，点T 是直线上的任意一点，设直线的斜率分别为:2l x =,,PT FT QT ,PT k 求证：成等差数列；,,FT QT k k ,,PT FT QT k k k图图20图图1图图图20图图2图21.(本题满分18分) 本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.对于个实数构成的集合,记.()n n N *∈{}12,,,n E e e e = 12E n S e e e =+++图图17图图图已知由个正整数构成的集合满足:对于任n {}12,,,n A a a a = 12(,3)n a a a n <<<≥ 意不大于的正整数均存在集合的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于 A S ,m A .m （1）试求的值；12,a a （2）求证：“成等差数列”的充要条件是“”；12,,,n a a a 1(1)2A S n n =+（3）若 求证：的最小值为11；并求取最小值时，的最大值.2018A S =，n n n a 虹口区2018学年度第一学期期终教学质量监控测试 高三数学 参考答案和评分标准 2018年12月一、填空题（本大题满分54分）本大题共12题，第1-6题，每空填对得4分;第7-12题，每空填对得5分. 请直接将结果填写在答题纸相应题号的空格内.1．5 2． 3.4．8 5． 6. ()1,2{}1,243π)9⎡⎣7. 60 8．9.10．11．2 12.47(]{},01-∞⋃二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）13. A 14. D 15. B 16. C 三、解答题（本大题共5题，满分76分）17．(本题满分14分) 本题共2个小题，第1小题6分，第2小题8分.解：（1）由已知，得圆锥的底面半径为，高为， …… 2分2OA =OP =故该圆锥的侧面积为. …… 4分248SOA PA πππ=⋅⋅=⨯⨯=该圆锥的体积. …… 6分21()3V OA OP π=⋅⋅⋅= （2）以直线分别为轴,建立空间直,,OC OBOP ,,x y z角坐标系，则相关点的坐标为，(0,2,0)A -(0,2,0),B 于是(2,0,0),(0,0,(0,C P D - (10)分(0,4,0),(2,AB CD ==--故cos ,AB CD AB CD AB CD⋅<>===⋅因此异面直线与所成角的大小为…… 14分ABCD 18．（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分．解：（1）由是R 上的奇函数，知()f x (0)0,f =610, 3.a a a-==+解得此时故对于任意的31(),31x x f x -=+3131,()()0,3131x x x x x R f x f x ----∈+-=+=++有即是R 上的奇函数；因此实数的值为3. …… 4()f x a 分令则解得即函数的值域为…31(),31x x f x y -==+130,1x yy+=>-11,y -<<()f x ()1,1.-6分（2）解法1：由（1）知于是不等式 可化为31(),31x x f x -=+()33xt f x ⋅≥- …… 8分2(3)(2)3(3)0.x xt t -+⋅+-≤令则不等式在上[][]33,9(1,2)x u x =∈∈因，2(2)(3)0u t u t -+⋅+-≤[]3,9u ∈恒成立.设 则在上恒成立，…… 10分2()(2)(3),g u u t u t =-+⋅+-()0g u ≤[]3,9u ∈等价于即(3)0.(9)0g g ≤⎧⎨≤⎩0(3)93(2)(3)015.15(9)819(2)(3)022t g t t t g t t t ≥⎧=-++-≤⎧⎪⇔⇔≥⎨⎨=-++-≤≥⎩⎪⎩因此，实数的取值范围为 …… 14分t 15,.2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2）解法2：由（1）知当时，于是不等式31(),31x x f x -=+[]1,2x ∈()0.f x >可化为 …… 10()33xt f x ⋅≥-()233(33)(31)(31)44(31).313131x x x x x x x x t f x --+--≥===-----分令则由函数上递增[][]312,8(1,2)x v x -=∈∈因，[]4()2,8v v vϕ=-在知，故由恒成立知，实数的取值范围为 …… 14max 15()(8).2v ϕϕ==max ()t v ϕ≥t 15,.2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭图图19图图图分19．(本题满分14分) 本题共2小题，每小题7分. 解：（1）设则由余弦定理，得,AC x =2222222321cos ,cos .223221x x B D +-+-==⋅⋅⋅⋅由四边形是圆内接四边形，得ABCD 180,B D ∠+∠=︒ 故从而cos cos 0,B D +=……3分2222222232107,223221x x x AC +-+-+=⇔==⋅⋅⋅⋅即从而 ……1cos =60=120.2B B D =⇒∠︒∠︒，5分故 11=+23sin 6021sin12022ABC ADC ABCD S S S ∆∆=⋅⋅⋅︒+⋅⋅⋅︒=四边形答：的长为(km ）,原棚户区建筑用地的面积为.……AC ABCD 2)k m 7分（2）解法1：由条件及“同弧所对的圆周角相等”得.60P B ∠=∠=︒要使棚户区改造后的新建筑用地的面积更大，必须使的面积最大，即点APCD APC ∆到的距离最大，从而点在弦的垂直平分线上，即P AC P AC .PA PC =……10分于是为等边三角形， (12)APC ∆2()AC =分因此，棚户区改造后的新建筑用地APCD ADC S ∆+==即当为等边三角形时，新建筑用地 ……14APC ∆APCD 2).k m 分（2）解法2：由条件及“同弧所对的圆周角相等”得.60P B∠=∠=︒ 设 ……1,(,0),sin .2APC PA u PC v u v S uv P ∆==>=⋅∠=则9分在中，由余弦定理，有APC ∆222227=2cos),APC AC u v uv P u v uv uv∆=+-⋅∠=+-≥==故当且仅当. (12)APCS∆≤u v==分因此，棚户区改造后的新建筑用地APCDADCS∆+==即当为等边三角形时，新建筑用地 (14)APC∆APCD2).k m分20．（本题满分16分）本题共3小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分.图图20图图1图图图20图图2图解：（1）易知设则由为线段的中点，得(1,0),F11(,),(,),M x y P x y M FP……2分11111212.022xx x xy y yy+⎧=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩于是，由点在椭圆上，得，11(,)P x y22:12xyΓ+=22(21)(2)12xy-+=即点的轨迹方程为. ……5分M22(21)82x y-+=证：（2）当过点的直线与x轴重合时，点P与S重合，点分别为椭圆在x轴的F,Q S两个顶点，显然点共线.,,Q S R当过点的直线与x轴不重合时，设其方程为F11221,(,),(,),x m y P x y Q x y=+且则由得，显然11(,),S x y-221,1,2x m yxy=+⎧⎪⎨+=⎪⎩22(2)210m y my++-=0.∆>所以 12122221,,22my y y y m m +=-=-++于是 22221111(2,)(1,),(2,)(1,),RQ x y my y RS x y my y =-=-=--=--故 (8)22112211,,2121RQ RS y y y y k k x my x my --====----分所以即，21121221122()0,11(1)(1)RQ RS y y my y y y k k my my my my -+-=+==----RQ RS k k =因此点共线. (10),,Q S R 分证：（3）由是直线上的点，可设其坐标为T :2l x =(2,).t 当过点的直线与x 轴重合时，有从而F (P Q 故 (12)+2,,21PT QT FT tk k t k t ====-2.PT QT FS k k k +=分当过点的直线与x 轴不重合时，其方程为有F 11221,(,),(,),x m y P x y Q x y =+且 11221122,,,212121PT QT FT y t y t y t y t tk k k t x my x my ----======-----由(2)知 于是12122221,,22my y y y m m +=-=-++121221121221212121222222222()(1)()(1)2(1)()211(1)(1)()122(1)24(1)222222(1)122PT QT FTy t y t y t my y t my my y t m y y tk k my my my my m y y m y y m m t m tt m m m t k m m m m m ----+---++++=+==-----+++-+++++====+-++++即2,PT QT FS k k k +=综合上述，得成等差数列. ……16分,,PT FT QT k k k 21. (本题满分18分) 本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.解：（1）由条件，知又均为正整数，故 (2)A 1S ,1.A ≤∈必有12n a a a <<< 1=1.a分由条件，知故由的定义及均为正整数，于是A 2S ,≤A S 12n a a a <<< 2,A ∈必有2=2.a ……4分证：（2）必要性 由“成等差数列”及得123,,,,n a a a a 12=1,=2a a =(1,2,,).i a i i n = 此时，满足题设条件；从而{}1,2,3,,1,A n n =- ……7分12112(1).2A n S a a a n n n =+++=+++=+ 充分性 由条件知，且它们均为正整数，可得12n a a a <<< (1,2,,)i a i i n ≥= ，故 当且仅当时，上式等号成立.112(1)2A S n n n ≥+++=+ (1,2,,)i a i i n == 于是当时,从而成等差数列. 1(1)2A S n n =+=(1,2,,)i a i i n = ，123,,,,n a a a a 因此 “成等差数列”的充要条件是“”. ……10分123,,,,n a a a a 1(1)2A S n n =+证：(3)由于元集合的非空子集的个数为故当此时n A 21,n-10n =时,10211023,-=A 的非空子集的元素之和最多表示出1023个不同的正整数不符合要求. ……12,m 分而用11个元素的集合的非空子集的{}1,2,4,8,1632641282565121024M =，，，，，，元素之和可以表示2047个正整数：1,232046,2047.,,,因此当时，的最小值为11. ……14分2018A S =n 当，取最小值11时，设由题设得2018A S =n 101210,S a a a =+++ 10112018,S a +=并且10111.S a +≥ 事实上，若则由故10111,S a +<101111112019201821,2S a a a =+<-⇒>11,a N *∈111010.a ≥此时从而时，其无法用的非空子集的元素之和表示，与题意矛盾！101008,S ≤1009m =A于是由与可得 10112018,S a +=10111,S a +≥101111112019201821,2S a a a =+≥-⇒≤故由得 ……16分11,a N *∈111009.a ≤当时，用的非空子集的元素11=1009a {}1,2,4,8,163264128256,498,1009A =，，，，之和可以表示出1,2,3，…，2017,2018中的每一个数.因此，当时，的最小值为11，的最大值为1009. ……18分2018A S =n n a。