7．若 x − y = 7, x3 − y3 = 56 ，求 x 2 + xy + y 2 的值；
例 4：（1）求函数 y = x2 − 2x +1 + x2 − 4x + 4 的最小值 （2）求函数 y = x2 − 2x +1 − x2 − 4x + 4 的最大值
例 5：作出下列函数图像
（1） y = x ；
（2） y = x −1 ；
（3） y = x −1 + x − 2 ；
（4） y = x −1(x + 2) ； （5） y = x2 − 2x − 3 ； （6） y = x2 − 2 x − 3
４
学海无涯
(5) (9x2 − 3 x + 1 )(3x + 1) = _________________________________；
4 16
4
(6) (a2 − 2)(a4 + 2a2 + 4) 2 = ________________________________；
6．已知： x + y = 6, x2 + 4 y 2 4xy ，求 x3 + y 3 的值。
２
学海无涯 例 6：（1）方程 x 2 − 2x − 3 = m 有 4 个解，求 m 的取值范围；
（2）不等式 x −1 + x − 3 m +1的解为一切实数，求 m 的范围。
x −1 1
练习：不等式组
无解，求 a 的范围。
x−3 a
1.1.2. 乘法公式
一、知识点 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（2）不论 a ， b 为何实数， a2 + b2 − 2a − 4b + 8的值
（
）
（A）总是正数
（B）总是负数
（C）可以是零
（D）可以是正数也可以是负数
例 3 （1）已知 x + y = 3, xy = 2 ，求 x3 + y 3 与 x2 + y 2 的值；
（2）已知： x + y + z = 6, xy + xz + yz = 11, xyz = 6，求 x2 + y 2 + z 2 与 (x −1)(y −1)(z −1) 的值；
（2） (4m +
)2 = 16m2 + 4m + (
）；
)；
（3） (a + 2b − c)2 = a2 + 4b2 + c2 + (
)．
2．选择题：
（1）若 x2 + 1 mx + k 是一个完全平方式，则 k 等于 2
（
）
（A） m2
（B） 1 m2 4
（C） 1 m2 3
（D） 1 m2 16
例 1 计算： (x +1)(x −1)(x2 − x +1)(x2 + x +1) ．
例 2 已知 a + b + c = 4 ， ab + bc + ac = 4 ，求 a2 + b2 + c2 的值．
练习 1．填空：
３
学海无涯
（1） 1 a2 − 1 b2 = (1 b + 1 a) （ 9 4 23
（1）平方差公式
(a + b)(a − b) = a2 − b2 ；
（2）完全平方公式
(a b)2 = a2 2ab + b2 ．
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式
(a + b)(a2 − ab + b2) = a3 + b3 ；
（2）立方差公式
(a − b)(a2 + ab + b2) = a3 − b3 ；
−
1 x
=
3 ，求 x3
−
1 x3
的值；
3．若 3y = x + 2z ，求 x2 − 9 y 2 + 4z 2 + 4xz 的值；
4．设 a(a −1) − (a2 − b) = −2 ，求 a 2 + b2 − ab 的值； 2
5．计算：（1） (x + y)2 (x2 − xy + y 2 ) =________________；
（2） (2 y − z) 2 y(z + 2 y) + z2 = ____________________________；
(3) (x2 - 1)(x2 - 1 x + 1)(x2 + 1 x + 1) = ________________________；
4
24
24
(4) (x − y) (x + y)2 − xy (x + y) (x − y)2 + xy =__________________________；
（3）已知： a = 3 − 2, b = 3 + 2 ，求 a3 + b3 与 a3 − b3 的值；
（4）已知： x2
+ 3x +1 = 0 ，求值：① x2
+Байду номын сангаас
1 x2
；② x 4
+
1 x4
；③
x6 +1 ； x3
练习：
1．已知： a + b = 2 ，求 a3 + 6ab + b3 的值；
2．已知： x
（5） 2x +1 0 ； （6） 2x +1 0 ；
练习：① x 5；
② x 10 ；
③ 3x 12 ； ④ 3x3 + 5x 2 + 1 0 ；
⑤ 3x − 5 +1 0 ； ⑥ 3x − 5 0
１
例 3：解不等式
（1） x −1 + x − 3 4 ；
学海无涯 （2） x −1 + 2x − 4 5
（3）三数和平方公式
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac) ；
（4）两数和立方公式
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 ；
（5）两数差立方公式
(a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 ．
对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 二、例题
3.两个数的差的绝对值的几何意义： a − b 表示在数轴上，数 a 和数 b 之间的距离．
二、例题 例 1：在下列条件下去掉绝对值
（1） x −1 − x − 2 (x 2) ； (2) x −1 − x − 3(1 x 3)； (3) x −1 + x − 3
例 2：解绝对值不等式
（1） x −1 1； （2） 2x −1 2 ； （3） 1 x +1 3 ； （4） 5x + 7 0 ； 2
学海无涯
第一节 数与式的运算
一、知识点
1.1.1． 绝对值及零点分段法
1.绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即
a, a 0, | a |= 0, a = 0,
−a, a 0.
2.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．