专题1：整数的基本性质一、选择题1．（希望杯竞赛题）三人中每两个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别是47，61，60，那么这三个人中最大年龄与最小年龄的差是（）A．28 B．27 C．26 D．252．（第17届五羊杯竞赛题）设n为正整数，12=．已知m的约数个数是n的约数个数的2倍，m n则符合这种情形的最小的n是（）位数．A．1 B．2 C．3 D．不少于43．（2005年河南省竞赛题）探索规律：31=3，个位数字是3；32=9，个位数字是9；33=27，个位数字是7；34=81，个位数字是1；35=243，个位数字是3；36=729，个位数字是9，…，那么32005的个位数字是（）A．3 B．9 C．7 D．14．（黄冈市竞赛题）若p为质数，35p+为（）．p+仍为质数，则57A．质数B．可为质数也可为合数C．合数D．既不是质数也不是合数5．（江苏第19届初中数学竞赛题）甲、乙、丙、丁4人打靶，每人打4枪，每人各自中靶的环数之积都是72（中耙环数最高为10），且4人中靶的总环数恰为4个连续整数，那么，其中打中过4环的人数为（）．A．0 B．1 C．2 D．36．（第18届五羊杯竞赛题）2006和3007的最大公约数是（）．A．1 B．7 C．11 D．137．（英国中学数学竞赛题）在音乐中，三十二分音符的时值是四分音符时值一半的一半的一半．1个全音符的时值相当于4个四分音符，则1个全音符相当于（）个三十二分音符．A．8 B．16 C．32 D．64 E．128 8．（1997年学习报竞赛题）有1997盏亮着的电灯，各由一个拉线开关控制着，现按其顺序编号为1，2，…，1997，然后将编号为2的倍数的灯线拉一下；再将编号为3的倍数的灯线拉一下；最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，三次拉完后亮着的灯的盏数为（）A．1464 B．533 C．999 D．9989．（2006年全国初中数学竞赛题）在高速公路上，汽车从3 km处开始，每隔4 km经过一个限速标志牌；并且从l0 km处开始，每隔9 km经过一个速度监控仪．刚好在19 km处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（）．A．36 B．37 C．55 D．9010．（2001年重庆市竞赛题）从1到120的自然数中，能被3整除或被5整除的数共有（）个．A ．64B ．48C ．56D ．4611．（英国中学数学竞赛题）吉尔最近搬进了新居，房号是一个三位数．这个数与三个位数上的数字之和是429．请问房号三个位数上的数字的乘积是（ ）．A ．20B ．28C ．30D ．36E ．4812．（英国中学数学竞赛题）英文单词“thirty （30）”由6个字母组成，6305=÷．同样，单词“forty（40）”由5个字母组成，5408=÷．下列（ ）个单词所表示的数字不是它所含字母数目的倍数．A ．six （6）B ．twelve （12）C ．eighteen （18）D ．seventy （70）E ．ninety （90） 13．（第15届希望杯培训题）已知x ，y 为整数，以下有四个条件：①x 为偶数；②y 为偶数；③x y +为偶数；④x y -为偶数．其中，能使乘积xy 为偶数的条件有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．414．（2004年全国初中数学联赛题）已知p ，q 均为质数，且满足25359p q +=．则以3p +，1p q -+，24p q +-为边长的三角形是（ ）． A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形15．（第17届希望杯竞赛题）三角形三边的长a ，b ，c 都是整数，且[],,60a b c =，(),4a b =，(),3b c =（注：[],,a b c 表示a ，b ，c 的最小公倍数，(),a b 表示a ，b 的最大公约数）．则a b c ++的最小值是（ ）．A ．30B ．31C ．32D ．3316．（2005年河北初中数学竞赛题）在小于1000的正整数中，能被5整除或能被7整除，但是不能被35整除的数的个数为（ ）．A ．285B ．313C ．341D ．36917．（“希望杯”竞赛题）当x 取1到10之间的质数时，四个式子：22x +，24x +，26x +和28x +的值中，共有质数（ ）个．A ．6B ．9C ．12D ．1618．（2004年山东省初中数学竞赛题）已知n 是奇数，m 是偶数，方程组20041128y n x y m+=⎧⎨+=⎩有整数解0x ，0y ，则（ ）． A ．0x ，0y 均为偶数B ．0x ，0y 均为奇数C ．0x 是偶数，0y 是奇数D ．0x 是奇数，0y 是偶数19．（第16届希望杯竞赛题）若a ，b 均为正整数，且()m ab a b =+，则（ ）．A ．m 一定是奇数B ．m 一定是偶数C ．只有当a ，b 均为偶数时，m 是偶数D ．只有当a ，b 中一个为偶数，另一个为奇数时，m 是偶数20．（英国中学数学竞赛题）鲍勃和杰瑞是两个建筑工人，他俩以相同的价格买来了砖．鲍勃以每10块砖£6价格出售，杰瑞以每12块砖£7价格出售．假设他俩售出砖的数目相同，请问要等售出（ ）块砖后，鲍勃会比杰瑞多赚£4．A ．42B ．60C ．72D ．120E ．24021．（第14届五羊杯竞赛题）2002的不大于100的正约数有（ ）．A ．10个B ．9个C ．8个D ．11个22．（第16届江苏省初中数学竞赛题）已知a ，b ，c 三个数中有两个奇数、一个偶数，n 是整数，如果()()()12233S a n b n c n =++++++，那么（ ）．A ．S 是偶数B ．S 是奇数C ．S 的奇偶性与n 的奇偶性相同D ．S 的奇偶性不能确定 23．（第16届江苏省初中数学竞赛题）已知n 是整数，现有两个代数式：①23n +，②41n -．其中能表示“任意奇数”的（ ）．A ．只有①B ．只有②C ．有①和②D ．—个也没有24．（五羊杯竞赛题）在下面图形中，共有（ ）个可以一笔画成（不重复也不遗漏；下笔后笔不能离开纸）．A ．0B ．1C ．2D ．325．（第17届五羊杯竞赛题）以下关于质数和合数的4种说法中，准确的说法共有（ ）种．①两个质数的和必为合数；②两个合数的和必为合数；③一个质数与一个合数的和必为合数；④一个质数与一个合数的和必为非合数．A ．3B ．2C ．1D ．026．（第17届五羊杯竞赛题）已知x 和y 都是两位的自然数，x 和y 的最大公约数是2．最小公倍数是100，则22x y +=（ ）．A ．2516B ．10004C ．2516或10004D ．无法计算27．（第14届希望杯竞赛题〗对任意的三个整数，则（ ）．A ．它们的和是偶数的可能性小B ．它们的和是奇数的可能性小C ．其中必有两个数的和是奇数D ．其中必有两个数的和是偶数28．（2001年全国初中数学竞赛题）如果a ，b ，c 是三个任意整数，那么2a b +，2b c +，2c a +（ ） A ．都不是整数 B ．至少有两个整数 C ．至少有一个整数 D ．都是整数29．（第18届五羊杯竞赛题）设整数n 满足01000n <<，11n a =⨯，a 也是整数，而且n 的各位数字和恰好也是a ，那么这样的n （ ）．A ．至少有3个B ．恰有2个C ．刚好有1个D ．不存在30．（2003年全国初中数学竞赛题）某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵（排数3≥），且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空当处，那么，满足上述要求排法的方案有（ ）．A ．1种B ．2种C ．4种D ．0种二、填空题31．（2002年四川省竞赛题）立方体的每一个面都写着一个自然数．并且相对两个面所写两个数之和相等，10，12，15是相邻三面上的数，若10的对面写的是质数a ，12的对面写的是质数b ，15的对面写的是质数c ，则222a b c ab bc ca ++---的值等于__________．32．（希望杯竞赛题）若a ，b ，c 是1998的三个不同的质因数，且a b c <<，则()a b c +=__________．33．（第17届五羊杯竞赛题）9个连续的正奇数中，最多有__________个质数．34．（2000年甘肃省小学数学冬令营竞赛题）已知6a b x ⨯+=，其中a ，b 均为小于1000的质数，x 是偶数，那么x 的最大值是__________．35．（2000年吉林省小学数学夏令营竞赛题）A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 七盏灯各自装有一个拉线开关．开始B ，D ，F 亮着，一个小朋友按从A 到G ，再从A 到G ，再A 到G 的顺序依次拉开关，一共拉了2000次，这时亮着的灯是__________．36．（第18届五羊杯竞赛题）设a 1=12×8，a 2=102×98，a 3=1002×998，a 4=10002×9998，…，又设S =a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 20，那么S 的各位数字和为________．37．（第16届江苏省初中数学竞赛题）已知a 是质数，b 是奇数，且22001a b +=，则a b +=__________．38．（江苏第17届初中数学竞赛题）已知四个正整数的积等于2002，而它们的和小于40，那么这四个数是__________．39．（第17届希望杯竞赛题）2m+2006+2m （m 是正整数）的末位字数是________．40．（第18届五羊杯竞赛题）如果n 为正偶数，并且()21n -整除n 2006-1，那么n 的最大值为________．41．（第15届希望杯竞赛题）已知p ，q ，1pq +都是质数，且40p q ->，那么满足上述条件的最小质数p =__________，q =__________．42．（上海市竞赛题）写出10个连续自然数，它们个个都是合数，这10个数是__________．43．（第18届五羊杯竞赛题）A 是整数，0A >，且2006A -是一个完全立方数，则A 的最小值是__________．44．（第4届中国趣味数学决赛题）下面的算式中，每个汉字代表一个数字（0~9），不同汉字代表不同数字，则美+妙+数+学+花+园=________．45．（第7届“小数生数学杯”数学竞赛题）某书店所卖的贺年片，单价全部是以“角”为单位的整数．小杨用30元钱在这家书店一次购买同一种贺年片若干张．一周之后，这家店的贺年片全部降价，小杨上次买的那种贺年片每张降价1元．如果小杨现在还花30元钱．就可以比降价前多买8张．则降价前，这种贺年片每张__________元，小杨买了这种贺年片__________张．46．（2005年浙江省小学数学活动课夏令营）用数字0，1，2，3，4，5，6组成的没有重复数字的三位数中，偶数有__________个．47．（第15届俄罗斯数学节日竞赛题）万尼亚想了一个三位质数，各位数字都不相同．如果个位数字等于前两个数字的和，那么这个数是__________．48．（2005年全国初中数学联赛题）设n 为自然数，如果2005能写成n 个正的奇合数之和，就称n 为“好数”，则这种好数有__________个．49．（江苏省第21届初中数学竞赛题）若p 和q 为质数，且5391p q +=，则p =__________，q =__________．50．（2002年浙江省小学数学夏令营）将()1232002n +++⋅⋅⋅++表示为()1n n >个连续自然数的和，共有__________种不同的表示方法．51．（第15届希望杯竞赛题）若正整数x ，y 满足200415x y =，则x y +的最小值是__________．52．（希望杯竞赛题）将2001表示为若干个（多于1个）连续正奇数的和，考虑所有不同的表示方法，将每种表示方法中的最大的奇数取出来归于一组，则这一组中最大的数是__________．53．（希望杯竞赛题）3个质数a ，b ，c 的乘积等于这3个质数的和的5倍，则a 2+b 2+c 2=________．54．（五羊杯竞赛题）n 不是质数，n 可以分解为2个或多于2个质因数的积，每个质因数都大于10，n 最小值等于__________． 55．（哈尔滨市第13届“未来杯”竞赛题）一个六位数ABABAB 乘以4080的结果恰是6个连续自然数的积，则这6个连续自然数的和是__________．56．（希望杯竞赛题）已知三个质数m ，n ，p 的乘积等于这三个质数的和的5倍，则222m n p ++的值为__________．57．（第17届五羊杯竞赛题）在1~2005的所有正整数中，共有________个整数x ，使33x +1和x 3被5除的余数相同．58．（2004年全国初中数学联赛题）设m 是不能表示为三个互不相等的合数之和的最大整数，则m =__________．59．（第19届江苏省初中数学竞赛题）黑板上写有从1开始的若干个连续的奇数：1，3，5，7，9，…，擦去其中的一个奇数以后，剩下的所有奇数之和是2004，那么，擦去的奇数是__________．60．（2005年武汉市明心奥数挑战赛题）整数N 恰好具有6个不同的约数（包括1和N 在内）．其中5个约数之积是648．那么整数N 的另一个约数是__________．61．（全国初中数学联赛题）1，2，3，…，98共98个自然数，能够表示成两整数平方差的数的个数是__________．62．（第18届五羊杯竞赛题）如果A ，B ，C 是三个质数，而且14A B B C -=-=，那么A ，B ，C 组成的数组（A ，B ，C ）共有__________组．63．（第14届希望杯竞赛题）正整数m 和n 有大于1的最大公约数，且满足3371m n +=，则mn =__________．64．（2002年吉林省小学数学竞赛题）甲、乙、丙三位同学一起去买书，他们买书的本数都是两位数字，且甲买的书最多，丙买的书最少，又知这些书的总和是偶数，它们的积是3960，那么乙最多买__________本．65．（第14届希望杯竞赛题）a 和2182a a +-都是正整数，则a =__________． 66．（2004年“陈省身杯”数学邀请赛题）已知两个自然数，每一个数除以它们的最大公约数所得的商之和等于18，而这两个数的最小公倍数是975，则这两个数分别是__________，__________．67．（哈尔滨市第16届“未来杯”竞赛题）小兰家的电话号码是个七位数，它恰好是一个100以内最大的质数与另外几个连续质数的乘积，这个积的后四位数恰好是前三位数的10倍，则小兰家的电话号码是__________．68．（哈尔滨市第16届“未来杯”竞赛题）中央大街右边的门牌号1，3，5，…，25中任意一个数与左边的门牌号2，4，6，…，26中任意一个数相乘，在得到的许多不同的积中，能被6整除的个数，正好与王老师的年龄相同，则王老师今年__________岁．69．（第14届五羊杯竞赛题）自然数1n ≥，满足：2002n ⨯是完全立方数，2002n ÷是完全平方数．这样的n 中的最小者是__________．70．（2003年全国初中数学联赛题）已知正整数a ，b 之差为120，它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍．那么a ，b 中较大的数是__________．三、解答题71．（第17届希望杯竞赛题）（1）求证：奇数的平方被8除余1；（2）请你进一步证明：2006不能表示为10个奇数的平方之和．72．（第21届江苏省初中数学竞赛题）已知k ，a ，b 为正整数，k 被a 2，b 2整除所得的商分别为m ，m+116．（1）若a ，b 互质，求证：22a b -与a 2，b 2都互质；（2）当a ，b 互质时，求k 的值；（3）若a ，b 的最大公约数为5，求k 的值．73．（首届华杯赛试题）一个六位数3434ab 能同时被8和9整除，已知a +b =c ，求c 的最小值．74．（北京市竞赛题）41名运动员所穿运动衣号码是1，2，3，…，40，41这41个自然数，问：（1）能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？（2）能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数？若能办到．请举一例；若不能办到，请说明理由．75．（首届华杯赛试题）数学老师做了一个密码给同学们破解，密码是PQRQQS ，相同字母代表相同的数字，不同字母代表不同的数字．已知这6个数字之和等于31，且：P 是任何整数的约数（因子）；Q 是合数；R 被任何一个数去除，答案都会一样；S 是质数．这个密码是什么？76．（第13届日本奥数决赛题）平太给大介出了一道计算题（A ，B 各代表两位数中各位上的数字，相同的字母代表相同的数字）：AB BA ⨯=．大介：“得数是2872．”平太：“不对．”大介：“个位的数字对吗？”平太：“对．”大介：“其他数位的数字有对的吗？”平太：“这是保密的．但你调换一下四位数2872中4个数字的位置，就能得出正确答案．” 请求出正确答案．77．（首届华杯赛试题）已知p 是质数，且2006p -也是质数．若()2006p -乘()2006p +的积等于自然数k ．求k 的最大值．78．（第五届加拿大数学竞赛题）求证：如果p 与2p +都是大于3的质数，那么6是1p +的因数．79．（北京市竞赛题）1与0交替排列，组成下面形式的一串数101，10101，1010101，101010101，…，请你回答：在这串数中有多少个质数？并证明你的结论．80．（首届华杯赛试题）观察下列数列，求出第90个数除以3的余数：10，13，23，36，59，95，154，…．81．（安徽省竞赛题）甲、乙、丙3人分糖，每人都得整数块，乙比丙多得13块，甲所得是乙的2倍．已知糖的总块数是一个小于50的质数，且它的各位数字之和为11．试求每人得糖的块数．82．（1998年香港小学生数学竞赛题）A ，B ，C ，D 四个数之和为59，问：2222A B C D +++，3333.A B C D +++，4444A B C D +++，5555A B C D +++这四个数中共有几个奇数？83．（首届华杯赛试题）一个六位数3434ab 能同时被8和9整除．已知a b c +=，求c 的最小值．84．（1997年五羊杯竞赛题）已知p ，2p +，6p +，8p +，14p +都是质数，则这样的质数p 共有多少个？85．（2006年国际城市竞赛题）已知正整数m ，n n =，求n 的最大值．86．（首届华杯赛试题）已知x ，y ，z 是3个小于100的正整数，且x y z >>，x y -，x z -及y z -均是质数，求x z -的最大值．87．（第3届华杯赛复赛题）能同时被6，7，8，9整除的五位数有多少个？88．（第1届华杯赛决赛题）一个数是5个2，3个3，2个5，1个7的连乘积，这个数有许多约数是两位数，则这些两位的约数中，最大的是几？89．（2006年国际城市竞赛题）小琳用计算器求三个正整数a ，b ，c 的表达式a b c+的值．她依次按了a ，＋，b ，÷，c ，＝，得到数值11．而当她依次按b ，＋，a ，÷，c ，＝时，惊讶地发现得到的数值是14．这时她才明白计算器是先做除法再做加法的，于是她依次按（，a ，＋，b ，），÷，c ，＝，得到了正确的结果．这个正确结果是什么？90．（湖北省荆州市竞赛题）已知正整数p ，q 都是质数，且7p q +与11pq +也都是质数，试求q p p q +的值．91．（希望杯竞赛题）某书店积存了画片若干张，每张按5角出售，无人买，现决定按成本价出售，一下子全部售出，共卖了31元9角3分，问：共积压了多少张画片？92．（荆州市竞赛题）用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地．选用边长为x cm规格的地砖，恰用n块；若选用边长为y cm规格的地砖，则要比前一种刚好多用124块．已知：x，y，n都是正整数，且()x y=．试问这块地有多少平方米？,193．（希望杯竞赛题）（1）请你写出不超过30的自然数中的质数之和．（2）请回答，千位数是1的四位偶自然数共有多少个？（3）—个四位偶自然数的千位数字是1，当它分别被四个不同的质数去除时，余数也都是1，试求出满足这些条件的所有自然数，其中最大的一个是多少？94．（2005年全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题）小鸣用48元按零售价买了若干本练习本．如果按批发价购买，每本便宜2元，恰好多买4本．问：零售价为每本多少元？95．（1998年美国小学数学奥林匹克）30！表示从1～30的所有自然数的连乘积，即⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯．如果这个积被分解成质数相乘的形式，求它所包含的因数5的个数．123428293096．（2001年华罗庚金杯复赛题）能否找到自然数a和b，使22=+．a b200297．（第15届全俄中学生数学竞赛题）在1，2，3，…，1989中的每个数前添上“＋”或“－”号，求使其代数和为最小的非负数．98．（第17届希望杯竞赛题）（1）证明：奇数的平方被8除余1；（2）请进一步证明：2006不能表示为10个奇数的平方之和．99．（江苏省第21届初中数学竞赛题）k，a，b为正整数，k被2a，2b整除所得的商分别为m，116m+．（1）若a，b互质，证明22-与2a，2b都互质；a b（2）当a，b互质时，求k的值；（3）若a，b的最大公约数为5，求k的值．100．（首届华杯赛试题）已知在三位数中，数字之和是6的倍数的三位数共有p个，求p的值．。