A
1 4
B 6 C
5
2
E
D
∴
∵ ∴
AF BE ——∥—— （ 同位角相等，两直线平行。 ）
∠5= ∠6 （已知）
BC EF ——∥—— （ ） 内错角相等，两直线平行。
∵ ∠5+ ∠AFE=180 （已知）
AF BE ∴ ——∥—— （同旁内角互补，两直线平行。）
∵ AB ∥FC,
ED ∥FC （已知）
2
1 4
n
3 5
a b a
n
m
l
4
2 3
b
1
平 条件 行 线 的 两直线平行 性 质 平 行 线 的 判 定 条件
同位角相等 内错角相等 同旁内角互补
结论
同位角相等 内错角相等 同旁内角互补
结论
两直线平行
间夹 的在 距两 离平 。行 线 间 的 垂 线 段 的 长 度 叫 做 两 平 行 线 ,
A
2. 对顶角: (1)两条直线相交所构成的四个角中， 有公共顶点但没有公共边的两个角是对顶角。 如图(2). 1与2, 3与4是对顶角。 (2)一个角的两边分别是另一个角的两边的 反向延长线，这两个角是对顶角。 3. 邻补角的性质: 同角的补角相等。
2 1
(1)
3
1 4 2
(2)
1与3互补，2与3互补 1 2(同角的补角相等)
B
E
例1. 如图 已知：∠1+∠2=180°， 求证：AB∥CD。
证明：由：∠1+∠2=180°(已知)， E ∠1=∠3（对顶角相等）. A B 1 3 ∠2=∠4（对顶角相等) 4 C 根据：等量代换 2 F 得：∠3+∠4=180°. 根据：同旁内角互补，两直线平行 得：AB//CD .
D
例2. 如图，已知：AC∥DE， ∠1=∠2，试证明AB∥CD。
求BOE、BOC的度数。
解. AOB是直线
E O A C F B D
AOE与BOE是互为邻补角 AOE BOE 1800 又 AOE 360 BOE 1800 360 1440 又 DOE 900 AOD AOE DOE 1260 又 BOC与AOD是对顶角 BOC AOD 1260
综合应用:
1、填空： (1)、∵ ∠4 ∠A=____, (已知）
判定
F E
4 2 1 3
5
同位角相等，两直线平行。 ∴ AC∥ED ,(_____________________)
DF (2)、 ∵AB ∥______, (已知）
B
D
性质
C
两直线平行, 内错角相等。 ∴ ∠2= ∠4，(______________________)
1.垂线的定义: 两条直线相交，所构成的四个角中，有一个角 是 90 0 时，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一 条直线的垂线。它们的交点叫垂足。 2. 垂线的性质: (1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 性质(2): 直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线 段最短。简称:垂线段最短。 3.点到直线的距离: 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度， 叫做点到直线的距离。
D O A
设AOB 32 x，则BOC=13x 列方程:32x+13x=900 x 20 BOC 13 2 26
0 0
由垂直先找到 90 0 的 角，再根据角之间 的关系求解。
又 OB OD BOD 900 COD 900 260 640
D
A C
B
．
P
E
F
B
练 一 练
如图中的∠1和∠2是同位角吗? 为什么?
2 1 1 2
∠1和∠2不是同位角，
∠1和∠2是同位角，
∵∠1和∠2无一边共线。 ∵∠1和∠2有一边共线、同向 且不共顶点。
如图：直线a、b被直线 l 截的8个角中
l
1
a
2
同位角： ∠1与∠5 , ∠2与∠6 , ∠3与∠7 , ∠4与∠8.
D 此题需要正确地 应用、对顶角、 邻补角、垂直的
概念和性质。
例2.已知OA OC，OB OD，AOB : BOC 32 :13， 求COD的度数。
C B
解由OA OC知 : AOC 900 . 即AOB BOC 90
0
由AOB : BOC 32 :13，
例1.
∠1与哪个角是内错角？ 答：∠ DAB
∠1与哪个角是同旁内角？答：∠ BAC,∠BAE , ∠2
∠2与哪个角是内错角?
D
A E
答：∠ EAC
1
B
2
C
随堂练习
1、观察右图并填空： ∠4 (1) ∠1 与 是同位角; ∠3 (2) ∠5 与 是同旁内角; (3) ∠1 与 是内错角; ∠2 2、 指出图中的同位角、内错 角、同旁内角 同位角:∠4与∠1 内错角:∠4与∠2 同旁内角:∠3与∠1 m
第五章相交线与平行线 复习
知识结构
两条
邻补角、对顶角
垂线及其性质
对顶角相等
直线
相 交 线
相交 两条
点到直线的距离
直线
被第 三条 直线 判定 性质 同位角、内错角、同旁内角
平 行 线
所截 平行公理 平移
1. 互为邻补角:两条直线相交所构成的四了角中,有公共顶点且 有一条公共边的两个角是邻补角。如图(1) 1与2是邻补角。
C 5 6 8 7 B
（3）∠4和 ∠6是由直线 CD 、 EF 被直线 AB 所截成的 同旁内 角 ； （4）由直线AB、CD被直线EF 所截成的同位角有 ；
∠1 和∠9、 ∠4和 ∠12、∠2和 ∠10、 ∠3 和∠11 （5）∠7和 ∠12是 同旁内 角 ；
在判断两个角时一 定要先知道由哪两 条直线被哪条直线 所截呦！
同位角的位置特征是: (1)在截线的同旁，(2)被截两直线的同方向。
内错角的位置特征是: (1)在截线的两旁，(2)在被截两直线之间。
同旁内角的位置特征是: (1)在截线的同旁，(2)在被截两直线之间。 判定两直线平行的方法有三种: (1)定义法;在同一平面内不相交的两条直线是平行线。 (2)传递法;两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也平行。 (3)三种角判定(3种方法): 同位角相等,两直线平行。
D A O B C
解.设AOC 2 X 0，则AOD=3X 0 根据邻补角的定义可得方程: 2X+3X=180 解得X=36
0 0 0
AOC 2 X 72
在解 答 : BOD的度数为720 决与角的计算有关 的问题时，经常用 到代数方法。
BOD AOC 720
例2.已知直线AB、CD、EF相交于点O，DOE 900，AOE 360
2.直线AB、CD、EF相交与于O,图中 有几对对顶角？ ∠BOD ∠AOC的对顶角是_______ ∠DOE ∠COF的对顶角是________ ∠COB, ∠AOD 。 ∠AOC的邻补角是____ ∠DOF, ∠EOD的邻补角是_______ ∠COE。
例1.直线AB与CD相交于O，AOC : AOD 2 : 3 求BOD的度数。
θ
3
4
O'
β
1. 命题的概念: 判断一件事情的句子，叫做命题。 命题必须是一个完整的句子; 这个句子必须对某件事情做出肯 定或者否定的判断。两者缺一不可。 2. 命题的组成: 每个命是由题设、结论两部分组成。
A
G
F
C
例4. 两块平面镜的夹角应为多少度?
如图，两平面镜а、β的夹角为θ，入射光线AO平行于β入
射到а上，经两次反射后的反射光线 O ' B 平行于а，则角
θ=_____度 60
0
分析 : 依题意有OA // ，O ' B // ，
B
A
а
O 1 2 5
且1 2，3 4， 由OA // 得1 由O ' B // 得4 ，5 2 于是3=4=5= 由于3+4+5=1800 3 600，即 =600
证明： ∵由AC∥DE （已知） A ∴ ∠ACD= ∠2 1 (两直线平行，内错角相等) B ∵ ∠1=∠2（已知） ∴ ∠1=∠ACD(等量代换) ∴AB ∥ CD
(内错角相等，两直线平行)
D 2 E
C
例3.已知 EF⊥AB，CD⊥AB，∠EFB=∠GDC， 求证：∠AGD=∠ACB。
证明： ∵ EF⊥AB，CD⊥AB （已知） ∴ AD∥BC (垂直于同一条直线的两条直线互相平行) ∴ ∠EFB＝ ∠DCB D （两直线平行，同位角相等） E ∵ ∠EFB=∠GDC （已知） B ∴ ∠DCB=∠GDC （等量代换） ∴ DG∥BC （内错角相等,两直线平行） ∴ ∠AGD=∠ACB （两直线平行，同位角相等）
AB ED ∴ ——∥——（ 平行于同直线的两条直线互相平行。 ）
例2. 已知∠DAC= ∠ACB, ∠D+∠DFE=1800,求 证:EF//BC D F
C
证明: ∵ ∠DAC= ∠ACB (已知) ∴ AD// BC (内错角相等,两直线平行) ∵ ∠D+∠DFE=1800(已知) A ∴ AD// EF (同旁内角互补,两直线平行) ∴ EF// BC (平行于同一条直线的两条直线互相平行)
AB DF (3)、∵ ___ ∥___, ∴ ∠B= ∠3.
(已知）
两直线平行, 同位角相等. (___________ ___________)
性质
试一试，你准行！
模仿上题自己编题。（考查平行线的性质或判定）
平行线的判定应用练习：