高考不等式经典题型研学总结研学背景：作为一名高中生高考是我们必经的阶段，也是人生的重要一步。
我们有必要为此作准备。
由于我们对数学的不等式比较有兴趣，因此确定了这样的研究性学习专题。
研学目的：我们想通过这次的研学，接触更多的高考不等式题型，学习更多有关不等式的知识。
提高我们的数学水平，分析未来高考不等式的命题趋势，为将来的高考打好基础。
研学小组成员：指导老师：杨志明组员：马是哲刘思源俞泽坤吴逸飞李业铿1、高考与不等式纵观近年来的高考试题，有关不等式的试题占的分值相当大，约占总分的12%，已经成为高考必考的热点内容，不仅考查不等式的基本知识，基本技能，而且注重考查学生的运算能力，逻辑思维能力，以及分析问题和解决问题的能力．选择题和填空题主要考查不等式的性质、比较大小和解简单不等式，有时还可能与函数、方程等内容相结合的小综合．解答题主要是解不等式或证明不等式或以其他知识为载体的综合题。
单独考不等式的考题占分不多，但涉及不等式的知识、方法、技巧的问题往往占有较大的比例，其中不等式常常与下列知识相结合考查：①不等式的性质的考查常与指数函数、对数函数、三角函数的性质的考查相结合，一般多以选择题的形式出现，有时也与充要条件、函数单调性等知识结合，且试题难度不大；②解不等式的试题主要在解答中出现，常常是解含参不等式较多，且多与二次函数、指数、对数、可能还会出现导数相结合命题；③证明不等式是理科考查的重点，经常同一次函数、二次函数、数列、解析几何，甚至还可能与平面向量等结合起来考查．2、 命题趋势及典型例题解释（1）不等式的性质考查会与函数性质相结合起来，一般多以选择题出现，填空题出现，也有可能与充要条件、逻辑知识结合起来．例1：设命题甲：x 和y 满足2403x y xy <+<⎧⎨<<⎩，命题乙：x 和y 满足0123x y <<⎧⎨<<⎩ ，那么甲是乙的（）A 充分但不必要条件B 必要但不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件［思路］根据同向不等式的可加性，从乙⇒甲和甲⇒乙两个方面进行推导，再结合充要条件相关概念进行分析。
［破解］易知0123x y <<⎧⇒⎨<<⎩2403x y xy <+<⎧⎨<<⎩即乙⇒甲；但当2301x y <<⎧⎨<<⎩时，显然满足2403x y xy <+<⎧⎨<<⎩不满足0123x y <<⎧⎨<<⎩故甲⇒乙 不成立。
从而甲是乙的必要但不充分条件 。
故选B ［收获］本题将不等式的可加性与充要条件的相关概念进行了有机结合。
做题时不要将充分不必要条件与必要不充分条件混淆起来。
例2：已知0>c .设:P 函数xc y =在R 上单调递减.:Q 不等式1|2|>-+c x x 的解集为R .如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围.［思路］此题虽是一道在老教材之下的高考试题，但揭示了“解不等式”一类高考试题的命题方向.在新教材中，绝对值不等式的解法和二次不等式的解法与集合运算、命题判断都有一定联系，属于对于学生提出的基本要求内容的范畴，本题将这几部分知识内容有机地结合在一起，在考查学生基础知识、基本方法掌握的同时，考查了学生命题转换，分类讨论等能力，在不同的方法下有不同的运算量，较好地体现出了“多考一点想，少考一点算”的命题原则. ［破解］:函数xc y =在R 上单调递减10<<⇔c ，不等式1|2|>-+c x x 的解集为R ⇔函数|2|c x x y -+=在R 上恒大于1，∵，，，，c x c x c c x c x x 22222|2|<≥⎩⎨⎧-=-+∴函数|2|c x x y -+=在R 上的最小值为c 2，∴不等式1|2|>-+c x x 的解集为R ⇔12>c ，即21>c ，若P 正确，且Q 不正确，则210≤<c ；若Q 正确，且P 不正确，则1≥c ；所以c 的取值范围为)1[]210(∞+，， . ［收获］“解不等式”一类的命题可以有形式上的更新和内容上的变化.结合简易逻辑的概念和集合的语言来命题，借助集合的运算性质和四个命题的关系来作答，是这个命题的基本特征，在求解时则主要以化归思想为破解切入点.复习中对于此类问题要引起足够的重视.（2）解不等式的题常以填空题和解答题的形式出现，此类题主要以一元二次不等式，分式不等式，含绝对值不等式为主，在解答题中含字母参数的不等式较多，需要对字母进行分类讨论．例3：解关于x 的不等式2680kx x k ++-<。
分析 本例涉及了两个讨论点：二次项系数和判别式的符号． 解 364(8)4(9)(1)k k k k ∆=--=--+(1)当0k>时：若k ≥9，则0∆≤，不等式解集为∅；若09k <<，则0∆>，解集为xx k ⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭.(2)当0k =时：不等式为680x -<，解集为43xx ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭．(3)当0k <时：若10k -<<，则0∆>，解集为x x x kk ⎧⎪<>⎨⎪⎪⎩⎭.若1k =-，不等式为2690x x -+-<，解集为x ∈R 且3x ≠.若1k <-，则0∆<，解集为R ．点拨 由于分类的原因有两个，为了避免逻辑混乱，本例采取了“二级分类”方法：第一级以二次项系数的符号作为划分的依据；第二级依判别式的符号进行划分．例4：若不等式|x －4|+|3－x |<a 的解集为空集，求a 的取值范围。
［思路］此不等式左边含有两个绝对值符号，可考虑采用零点分段法，即令每一项都等于0，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集，这是按常规去掉绝对值符号的方法求解，运算量较大。
若仔细观察不等式左边的结构，利用绝对值的几何意义用数形结合方法或联想到绝对值不等式|a +b |≤|a |+|b |，便把问题简化。
［破解］解法一 (1)当a ≤0时，不等式的解集是空集。
(2)当a >0时，先求不等式|x －4|+|3－x |<a 有解时a 的取值范围。
令x －4=0得x =4，令3－x =0得x =3① 当x ≥4时，原不等式化为x －4+x －3<a ，即2x －7<a解不等式组474272x ax x a ≥⎧+⇒≤<⎨-<⎩，∴a >1② 当3<x <4时，原不等式化为4－x +x －3<a 得a >1③ 当x ≤3时，原不等式化为4－x +3－x <a 即7－2x <a解不等式377337222x a ax x a ≤⎧--⇒<≤⇒<⎨-<⎩，∴a >1 综合①②③可知，当a >1时，原不等式有解，从而当0<a ≤1时，原不等式解集为空集。
由(1)(2)知所求a 取值范围是a ≤1解法二：由|x －4|+|3－x |的最小值为1得当a >1时，|x －4|+|3－x |<a 有解 从而当a ≤1时，原不等式解集为空集。
解法三： ∵a >|x －4|+|3－x |≥|x －4+3－x |=1∴当a >1时，|x －4|+|3－x |<a 有解从而当a ≤1时，原不等式解集为空集。
［收获］1）一题有多法，破解时需学会寻找最优解法。
2）()f x a ≤有解()m in a f x ⇒≥；()f x a ≤解集为空集()m in a f x ⇒<；这两者互补。
()f x a ≤恒成立()m ax a f x ⇒≥。
()f x a <有解()m in a f x ⇒>；()f x a <解集为空集()m in a f x ⇒≤；这两者互补。
()f x a <恒成立()m ax a f x ⇒>。
()f x a ≥有解()m ax a f x ⇒≤；()f x a ≥解集为空集()m ax a f x ⇒>；这两者互补。
()f x a ≥恒成立()m i n a f x ⇒≤。
()f x a >有解()m a x a f x ⇒<；()f x a >解集为空集()m ax a fx ⇒≤；这两者互补。
()f x a >恒成立()m in a fx ⇒≤。
（3）证明不等式一般同函数知识相结合，综合性较强，灵活性较大，具有较好的区分度．例5：若二次函数()y f x =的图象经过原点，且()112f ≤-≤，()314f ≤≤，求()2f -的范围．［思路］要求()2f -的取值范围，只需找到含()2f -的不等式(组)．由于()y f x =是二次函数，所以应先将()y f x =的表达形式写出来．即可求得()2f -的表达式，然后依题设条件列出含有()2f -的不等式(组)，即可求解．［破解］因为()y f x =的图象经过原点，所以可设()2y f x ax bx ==+．于是()()()11212131434f a b f a b ≤-≤⎧≤-≤⎧⎪⇔⎨⎨≤≤≤+≤⎪⎩⎩解法一(利用基本不等式的性质)不等式组(1)变形得()2224642106210426a b a b f a ≤-≤⎧⇒≤-≤⇒≤-≤⎨≤≤⎩其中等号分别在21a b =⎧⎨=⎩与31a b =⎧⎨=⎩时成立，且21a b =⎧⎨=⎩与31a b =⎧⎨=⎩也满足（1）所以()2f -的取值范围是[]6,10．解法二(数形结合)建立直角坐标系a o b ，作出不等式组(1)所表示的区域，如图中的阴影部分．因为()242f a b -=-，所以()4220a b f ---=表示斜率为2的直线系．如图6，当直线()4220a b f ---=过点()2,1A ，()3,1B 时，分别取得()2f-的最小值6，最大值10．即()2f -的取值范围是：[]6,10．解法三(利用方程的思想)因为()()11f a b f a b =+⎧⎪⎨-=-⎪⎩所以()()()()11121112a f fb f f ⎧=+-⎡⎤⎣⎦⎪⎪⎨⎪=--⎡⎤⎣⎦⎪⎩又()()()242311fa b ff -=-=-+，而()112f≤-≤，()314f ≤≤， ①所以 ()3316f ≤-≤． ②①+②得()()631110f f ≤-+≤即()6210f ≤-≤。
［收获］1)在解不等式时，要求作同解变形．要避免出现以下一种错解：将不等式组（1）变形得234261312322a ab b ≤≤⎧≤≤⎧⎪⇒⎨⎨≤≤≤≤⎩⎪⎩，而()242fa b -=-，8412,321,a b ≤≤-≤-≤-所以()5211f≤-≤2)对这类问题的求解关键一步是，找到()2f-的数学结构，然后依其数学结构特征，揭示其代数的、几何的本质，利用不等式的基本性质、数形结合、方程等数学思想方法，从不同角度去解决同一问题．若长期这样思考问题，数学的素养一定会迅速提高．3）本题灵活地考查了同向不等式的可加性，但要注意()2f-的数学结构。