19nn(n1)(2)n220n 2
求
（2）由题意可得 bnan3n1,所以bn3n12n21
和
所以 TnSn(13L3n1)n220n3n1 2
数 练习1：
若实数a,b满足：4 a 2 9 b 2 4 a 6 b 2 0
列
求：a a 2 b a 3 b 2 L a 1 0 0 b 9 9
数
例1
求和：11aa12
L
1 an
解：当a=1时，S n 1；
当a 1时，
列 求
S
1
1
1 a
n1
1 1
a n1 1 a n1 a n
a
n1， a=1
和
S
an+1
1
an1 an
a 1
例2：（2010重庆卷）已知 { a n } 是首项为
数 19，公差-2的等差数列，Sn为 an的 前 n项 和 .
数 小结：数列求和的基本方法(一)
列
一、公式法
（▲但要注意：对公比的讨论）
求
二、分组求和法
作业：名师经典P112 （ 基础落实）
和
.
(x 2 x 4 L x 2 n ) (1 1 L 1 ) 2 n
求
x 2 x 4
x 2 n
和
当x1时， Snnn2n4n
数 列
当x1时 ， Sn
x2(1 x2n) 1 x2
1 x2
(1
1 x2n
1
1 x2
)
2n
求
(x2nx2n1()x(x22n12)1)2n
4n(x1)
和
Sn (x2nx2n1()x(x22n12)1)2n(x1)
an bn
数 对策2：
列
此数列的特征是{bn cn}两部分构成，
求
其 分中 数部{ b n分} 又是是整等数比部数分列，。又所是以等此差数数列列可，{ c 以n }
转化为等差数列和等比数列，所以此方法
称为“分组法求和”.
和
数 练习2：
列 （ 1 ） 求 S n a 1 a 2 2 L a n n
的形式，且数列{ b n } { c n } 可求出前n项和 s b ，s c
列
则
求
和
数 例3.求下列数列的前n项和
列
(1)21 4,41 8,61 1 6,L,2n21 n1
求
2(x1 x)2,(x2x 1 2)2,L,(xnx 1 n)2
和
1
数 解（1）：该数列的通项公式为 an 2n 2n1
22 2
和
a1an nn1
当a 1时，Sn
1a
2
数 解 ： 2 S n 2 3 5 1 4 3 5 2 L 2 n 3 5 n
2 4 L 2 n 3 5 1 5 2 L 5 n
列
求
n(2
2n)
3
1 5
1
1 5n
2
1 1
5
和
n(n1)34(151n)
求
a 1(ab)100
1 2
1
(
1 6
)100
1 ab
1 1
和
3 (1 1 ).
6
5
6100
数 对策1：
列
在求等比数列前n项和时，要
特别注意公比q是否为1。当q不确
求 定时要对q分q=1和q≠1两种情况讨 论求解。
和
2.分组求和法：
数
若数列{ a n } 的通项可转化为 an bn cn
列
求：(1)求通项
an及
S n
(2) {bn an} 是首项为1，公比为3 的等比
数列，求数列 { b n } 的通项公式及其前n
求
项和Tn
和
数 解：
（1）因为 { a n } 是 首 项 为 a 1 1 9 , 公 差 d 2 的 等 差 数 列 ,
列
所以 an 192(n1)2n21
Sn
分析：通过观察，看出所求得数列实际上就是等比数
求 列其首项为a，公比为ab，因此由题设求出a,b，再
用等比数列前n项和公式求和.
和
数 解 ： 由 已 知 有 ( 4 a 2 4 a 1 ) ( 9 b 2 6 b 1 ) 0
即 (2a1)2(3b1)20解得a 1，b 1.
列
23
a a 2 b a 3 b 2 L a 1 0 0 b 9 9
11 1
1
sn2448616 L(2n2nFra bibliotek1)列
11 1
(2 4 6 L 2 n ) (4 8 L 2 n 1 )
求
n(2
2n)
1 4
1
1 2n
和
2
1 1
n(n1)12 1
2 2n1
数 (2)Q an(xnx 1 n)2x2nx1 2n2
列 S n (x 2 x 1 2 2 ) (x 4 x 1 4 2 ) L (x 2 n x 1 2 n 2 )
求
②等比数列的前n项和公式
和
Sn
naa1(11(qqn1)) 1q
a1 anq(q1) 1q
数
例1 求和：11aa12 L a1n 解：
11 1
列1
a
Q1, a, a2 ,L , an 是首项为1，公比为 的等比数列，
求
∴原式=
1
1
1
1 a n1 1
a n1 1 a n1 a n
和
a
即a 上1 述时，解前法n错项误和在公于式，不当再公成比立。1a 1
求 2 求 S n 2 3 5 1 4 3 5 2 L 2 n 3 5 n
和
数 解 ： 1 S n a 1 a 2 2 L a n n
a a 2 L a n 1 2 L n
列
当 a0时 ,Sn n n 1
2
求
当a 1时,Snnnn11 n 2 1 n
数列求和专题(一)
.
数
介绍求数列的前 n 项和的几种方法：
列 1运用公式法 2 通 项 分 析 法（分组求和法）
求 3 错位相减法 4 裂项相消法
和 5 奇偶并项求和法
.
1.公式法：
数
即 直 接 用 求 和 公 式 ， 求 数 列 的 前 n 和 S n
列 ①等差数列的前n项和公式：
Snn(a12 an)na1n(n 2 1)d