分析：鉴于所要证明的等式中含有两个中值，并且中值处的导数位于分式中
中，因此可考虑用两次柯西中值定理，即证法2。也可用一次柯西中值定理后，
2
分式中函数值差的部分改用拉格朗日中值定理进行进一步化简，即为证法1的基
本思想方法。
例三．设f ( x), g( x)在[a,b]上二阶可导，并且g ( x)0，f (a)f (b)0，
导出g (3) 0，从而推出矛盾，证得结论。而（2）的证明关键在于首先要将欲证的等式变形成某一函数在中值处的导数为零。 从中选定一函数对其应用罗尔定理导出结论。
例四.设f (x)在[-a,a]
上连续，在x 0处可导，且f
(0) 0
。
（1）求证：x (0, a),
(0,1)，
x
x
x[ f (
x)
f ( x)]
3!
因此可考虑反复用罗尔定理。 证明的难点化解是通过将展开式移项、 寻求函数零点，引进辅助函数等手段实现。
例七.设f ( x)在[a,b]
上 连续 ，在(a,b)
内 可导 且f ( x)
0。试证存在
,
(a,b)，使得f ( )
eb
ea
e。
f ( )
b a
证明： 由于f ( x), ex在[a,b]
上满足柯西中值定理，故必有
(a, b)，使
f (b)
f ( a)
f ( )。因为f (x)在[a,b]
上满足拉格朗日中值定理，所以存在
eb
ea
e
(a,b)，使得f (b)
f ( a)
f
( )。于是有
b a
f (
)
f (b)
f (a)
eb
ea
f ( )
eb
ea
。
eb
ea
b
a
e
b
a
5
所以存在
,
(a,b)，使得f (
)
eb
ea
e
。
3
x
f (t )dt
x
x[ f ( x) f (
x)]
即
0
f (t )dt
0
x
x
f (t) dt
（2）由于
f (t )dt
0
f ( x) f (
x)
lim
0
lim
2x
2
2x
f (0) lim
x 0
x
0
x 0
x
f (t)dt
x
f (t )dt
而运用洛必达法则，lim
0
0
f (x) f ( x)
1
。
2x
a。
(
)
(1)
(0)
任意给定正整数b，再令g1( x)
bx, g2(x)
( x)，则在[0,1]
上对g1( x), g2( x)应用
柯西中值定理得：存在
(0,1)
，使得
b
b
0
b。
(
)
(1)
(0)
两式相加得：任意给定正整数
a,b，必存在(0,1)
内的两个数
,
，使得
a
b
a
b
(
)
(
)
成立。
证法2：任意给定正整数a, b，令f1(x)
例八.设抛物线y
x2
Bx
C与x轴有两个交点x
a, x b, a b。另有一
函数f ( x)在[a,b]上有二阶导数，且f ( a)
f (b) 0
,如果曲线y
f ( x)与
y
x2
Bx
C在(a,b)内有一个交点，求证：在
(a,b)内存在一点
,使得
f (
)
2。
证明： 设曲线y
f ( x)与y
x2
Bx
C在(a,b)内的交点为c。作辅助函
0，从而当x
1时，
exex。
分析：本例是运用拉格朗日中值定理证明不等式的典型实例。 利用拉格朗日中值定理证明不等式的一般步骤为： （1）从所欲证的不等式中找到含函数值差的
表达式，从中选定f (x)及一闭区间（2）运用拉格朗日中值定理得到一等式（3）
利用此等式及ab导出欲证的不等式。
例六.设f (x)在[0,1]上三阶可导， 且f (0)1, f (1)0, f (0)0，试证：至
f (b)
f (a)
f ( )(b a)
令g ( x) x2，在[a,b]
上对f ( x), g ( x)应用柯西中值定理，得存在
(a,b)，
使得
f ( )
f (b)
f (a)
f ( )。
2
b2
a2
b a
证法2：令g( x)
x2
，在[a,b]
上对f
(x), g( x)应用柯西中值定理，得存在
(a,b)，使得
b，故arctana
arctanb a
b
1
2(b
（2）设f ( x) ex
ex，由于f ( x)在[1, x]上连续，在(1, x)内可导，因此根据
拉格朗日中值定理，有
f (x) f (1)
f ( )( x
1),
(1, x)。即
ex
ex (e e)( x
1)
。由于
(1, x)，所以(e
e)( x 1)
f (t )dt
f (t )dt
0
0
（2）求lim
x 0
证明：（1）令ห้องสมุดไป่ตู้ ( x)
x
x
f (t)dt，则F ( x)
f ( x)
f (
x)。
0
f (t)dt
0
根据拉格朗日中值定理，
x ( 0, a)，
(0,1)，使得
F ( x) F ( x) F (0)
F ( x)( x 0)
x[ f ( x) f ( x)]
f
( )
f (b)
f ( a)。
2
b2
a2
再令g (x)
(b a) x，在[a,b]
上对f ( x), g( x)应用柯西中值定理，得存在
(a,b)，使得
f ( )
f (b)
f ( a)
f (b)
f (a)
。
b
a
(b
a)b
(b
a) a
b2
a2
综合两式得到存在
,
(a,b)，使得f
( )
f (
)。
2
b
a
中值定理的应用方法与技巧
中值定理包括微分中值定理和积分中值定理两部分。微分中值定理即罗尔
定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，
一般高等数学教科书上均有介绍， 这
里不再累述。积分中值定理有积分第一中值定理和积分第二中值定理。
积分第一
中值定理为大家熟知，即若f ( x)在[a,b]
上连续，则在[a,b]上至少存在一点 ，
ax, f2( x)
(x)，则在[0,1]
上对
1
f1(x), f2(x)应 用 柯 西 中 值定 理 得： 存在
(0,1)
，使 得
a
a。再 令
(
)
g1( x)
(a
b)
(x)
bx, g2( x)
( x)，则在[0,1]
上对g1( x), g2(x)应用柯西中值定
理 得 ： 存 在
(0,1)， 使 得(a b) ( )
（1）arctanaarctanbab
（2）当x 1时，
ex
ex
证明：（1）令f ( x)
arctan x, x
[a,b]，f ( x)在[ a,b]上连续，在(a, b)内可导，
因此根据拉格朗日中值定理，有
f (b) f ( a)
f ( )(b a)，a
b。即
arctan b arctan a
1
a)，a
例一．设( x)在[0,1]
上连续可导，且
(0)
0,
(1)
1。证明：任意给定正
整数a,b，必存在(0,1)内的两个数
,
，使得
a
b
a
b成立。
(
)
(
)
证法1：任意给定正整数
a，令f1(x)
ax, f2(x)
( x)，则在[0,1]
上对
f1(x), f2(x)应用柯西中值定理得：存在
(0,1)
，使得
a
a
0
0，故H (a)
H (b)
0。在[a,b]
上对H ( x)应用
罗尔定理得：在(a,b)内至少存在一点
，使H
( )
f ( ) g ( )
g(
) f ( )
0，
从而有f (
)
f
( )。
g(
)
g
( )
分析：该题的证明主要运用了罗尔定理。 由于题设中出现了f ( a)
f (b)
0，
g(a)g (b)0，因此在（1）的证明中可考虑用反证法，通过反复运用罗尔定理
2
lim
2 2x
f (0)
x
0
x 0
2
因此lim
1。
x 0
2
分析：此题运用的知识点和方法较为综合。既用到了积分上限的函数特性，又用到了拉格朗日中值定理另一种表达方式， 以及洛必达法则、 函数极限运算法则、导数概念等等。 因此要求解题者需具备较扎实的微积分知识基础和一定的函数构造技巧。
例五.证明下列不等式：