2020 年全国各地数学中考题汇编——压轴题12（黄冈市 2020 ）24．（14分）如图所示，过点F （0，1）的直线 y=kx ＋ b 与抛物线 y x 24交于M （x1，y 1）和 N （ x 2， y 2）两点（其中 x 1<0，x 2<0）．⑴求 b 的值． ⑵求 x 1?x 2 的值⑶分别过 M 、N 作直线 l ：y=－ 1 的垂线， 垂足分别是 M 1、N 1， 判断△ M 1FN 1 的形状，并证明你的结论．⑷对于过点 F 的任意直线 MN ，是否存在一条定直线 m ，使 m 与以 MN 为直径的圆相切．如果有，请法度出这条直线 m 的解析式；如果没有，请说明理由．1x 2 kx 1 0 ，依据“根与系数关系”得4－4⑶△ M 1FN 1是直角三角形是直角三角形，理由如下：由题知 M 1的横坐标为 x 1， N 1的横坐标为 x 2，设 M 1N 1交y 轴于 F 1，则 F 1M 1?F 1N 1=－x 1?x 2=4，而 FF1=2，所以 F 1M 1?F 1N 1=F 1F 2，另有∠M 1F 1F=∠FF 1N 1=90°，易证 Rt △M 1FF 1∽Rt △N 1FF 1，得∠M 1FF 1=∠ FN 1F 1，故∠M 1FN 1=∠M 1FF 1＋∠F 1FN 1= ∠FN 1F 1＋∠ F 1FN 1=90°，所以△ M 1FN 1 是直角三角形．⑷存在，该直线为 y=－ 1．理由如下： 直线 y=－1 即为直线 M 1N 1．答案： 24．解：⑴ b=1⑵显然 x x 1 和x x 2是方程组y y 1y y 2 ykx 11 2 的两组 x 4解，解方程组消元得 x 1gx 2 =第 22 题第 22 题解答如图，设 N 点横坐标为 m ，则（黄石市 2020年）24. （本小题满分 9分）已知⊙ O 1与⊙ O 2相交于 A 、B 两点，点 O 1 在⊙ O 2上， C 为⊙ O 2上一点（不与 A ， B ， O 1重合），直线 CB 与⊙ O 1交于另一点 D 。

（1）如图（ 8），若 AC 是⊙ O 2的直径，求证： AC CD ； （2）如图 （9） ，若 C 是⊙ O 1外一点，求证： O 1C AD ；（ 3）如图（ 10），若 C 是⊙ O 1 内一点，判断（ 2）中的结论是否成立。

答案：24．（9分）证明：（1）如图（一），连接 AB ， CO 1∵ AC 为⊙ O 2 的直径 ∴ DB AB ∴ AD 为⊙ O 1的直径∴ O 1在 AD 上又CO 1 AD ， O 1为 AD 的中点∴△ ACD 是以 AD 为底边的等腰三角形 ∴ ACCD ···· · ····· · · ··· · ··· ·（3分）（2）如图（二） ，连接 AO 1 ，并延长 AO 1交⊙ O 1 与点 E ，连 ED ∵四边形AEDB 内接于⊙ O 1 ∴ ABC E又AE为⊙ O1 的直径∴ ED AD∴ CO 1 AD3）如图（三） ，连接 AO 1 ，并延长 AO 1交⊙ O 1 与点 E ，连ED∵B EO 1C 又 E B∴ EO 1C E∴ CO 1 AD黄石市 2020 年） 25. （本小题满分 10 分）已知二次函数 y x 22mx 4m 81）当 x 2时，函数值 y 随 x 的增大而减小，求 m 的取值范围。

22）以抛物线 y x 22mx 4m 8的顶点 A 为一个顶点作该抛物线的内接正三角形AMN （ M ， N 两点在抛物线上） ，请问：△ AMN 的面积是与 m 无关的定值吗？ 若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。

2x 22mx 4m 8与 x 轴交点的横坐标均为整数，求整数 m 的值。

∴由题意得， m 2根据抛物线和正三角形的对称性，可知 MN y 轴，设抛物线的对∴ BM a m(m a)3 分）∴ CO 1 //ED又 ED AD3 分）3）若抛物线 y答案： 25．（ 10 分）解： 3 分）称轴与 MN 交于点 B ，则 AB 3BM 。

设 M (a,b)1)∵y (x2)又AB y B y A b (4m 8 ma22ma 4m 8 (4m 8 m 2)2a 2ma 2m(a m)2(am)23(a m)a m3BM3， AB3SVAM N1ABg2 BM 12 323 3 3 定值 ·· ·(3分)3)令 y 0 ，即 x 22mx 4m 8 0 时，有由题意， (m 2)24 为完全平方数，令 (m 2)24 n 2即 (n m 2)(n m 2)4∵ m,n 为整数，n m 2,n m 2的奇偶性相同nm22 n m 2 2或nm2 2 n m 2 2m2m 2解得 或n2 n 2综合得 m 22m 2 m 24m 82m (m 2)242020年广东茂名市）如图，⊙ P与y轴相切于坐标原点O（ 0，0），与x轴相交于点 A （5，0），过点 A 的直线 AB与y轴的正半轴交于点 B，与⊙ P 交于点 C．（1）已知 AC=3 ，求点Ｂ的坐标；（４分）（2）若 AC= a, D是OＢ的中点．问：点 O、P、C、D 四点是否在同一圆上？请说明理由这个圆的圆心为O1 ，函数值（用含a 的代数式表示）解：六、（本大题共 2小题，每小题 8 分，共 16分）第 24 题备用图如果这四点在同一圆上，记ky 的图象经过点O1，求k24、解：∴ACAO 3 5，···············3分，即CO OB 4 OB20 20 ·········4分∴ OB ，∴B(0, ) ····3 3解法连接OC，因为 OA是⊙ P 的直∴∠过 C 作CE⊥ OA于点 E，则：1 OACE11 CA OC ，21 1 12即：1 5 CE 13 4，∴ CE 12，2 2 52 2 2 12 2 16 ∴ OE OC 2 CE 2 4 2 ( )255χ1)解法一：连接 OC，∵ OA 是⊙P 的直径，∴ OC⊥AB，在 Rt△AOC中，OC OA2AC 225 9 4 ，1分在 Rt △ AOC和 Rt△ABO中，∵∠ CAO=∠ OAB ∴Rt△AOC∽ Rt△ABO，·····················在 Rt△AOC中， AO=5， AC=3，∴OC=4，············ 1分2分3分∴∠ 3=∠4，又∵ OP=CP ，∴∠ 1=∠2，∴∠ 1+∠3=∠ 2+∠4=90°， ∴PC ⊥CD ，又∵ DO ⊥ OP ，∴Rt △PDO 和 Rt △ PDC 是同以 PD 为斜边的直角三角形， ∴PD 上的中点到点 O 、 P 、C 、D 四点的距离相等， ∴点 O 、P 、C 、D 在以 DP 为直径的同一个圆上； ·················6 分B （1，0），C （5，0），抛物线对称轴 l 与 x 轴相交于点 M ．（1）求抛物线的解析式和对称轴； （3 分）（2）设点 P 为抛物线（ x 5）上的一点，若以 A 、O 、M 、P 为顶点的四边形四条边的长 度为四个连续的正整数，请你直接．写．出．．点 P 的坐标；设经过 A 、C 两点的直线解析式为： y kx b ．16 12把点 A （5，0）、C （ , ） 代入上式得：5k b 0156k12 ，解得：3，20∴y3 20B(O, ) ．· 4 分 34 x320∴点 2）点 O 、 连接 CP 、CD 、DP ，∵ OC⊥AB，D 为 OB 上的中点， 1 ∴ CD 1OB OD ，2 由上可知，经过点 O 、P 、C 、D 的圆心 O 1是 DP 的中点，圆心O1(OP ,OD)， 22AC由(1)知：Rt △AOC ∽Rt △ABO ，∴ OA OA ， AB ，求得： AB=25a ，在 Rt △ABO 中，OB AB 2 OA 2，OD= 1 OB 2 5 25 a 2，OP OA 5 2a 5 5 25 a 2∴O 1( , 4 4 a ∴ 5 25 a 24a ）， 4k ， 5k 点O 1 在函数 y 的图象上， x 25 25 a 2∴ k ．16a 8分 2020 年广东茂名市 ）如图，在平面直角坐标系 xoy 中，已知抛物线经过点Ａ （0， 4）， N ，使△ NAC 的面积最大？（2分）（ 3）连接 AC．探索：在直线 AC 下方的抛物线上是否存在一点若存在，请你求出点 N 的坐标；若不存在，请你说明理由．（ 3 分）解：再设出点 N 的坐标，同样可求 , 余下过程略）25、解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为 y a(x 1)(x 5) ，1分4 把点 A(0， 4)代入上式得： a ，54 4 2 2442y (x 1)(x 5) x 2 x 4 (x 3)2162分∴抛物线的对称轴是： x 3 ．3分2）由已知，可求得 P （ 6，4）． 5分提示：由题意可知以 A 、O 、M 、P 为顶点的四边形有两条边 AO=4 、 OM=3 ，又知点 P 的坐标中 x 5 ，所以， MP>2,AP>2 ；因此以 1、 2、3、4 为边或以 4、 5、6 的一种 情 况 ， 在 Rt △ AOM中 ， AMOA 2OM242 325 ，因为抛物线对称轴 过点 M ，所以在抛物线 x 5 的图象上有关于点 A 的对与 M 的距离为 5，即 PM=5，此时点 P 横坐标为 6，即 AP=6； 故以 A 、O 、M 、P 为顶点的四边形的四条边长度分别是四 个连续的正整数 3、4、5、6 成立，即 P （6，4）．···································5 分注：如果考生直接写出答案 P （６，４），给满分 2 ⑶法一 ：在直线 AC 的下方的抛物线上存在点 N ，使 △NAC 面积最大．设 N 点的横坐标为 t ，此时点 N （t,4t 20t5），过点 N 作 NG ∥ y 轴交 AC 于 G ；由点 A （0，C （5，0） 4) 和 点 4x 4 ；5 可求出直线 AC 把x t 代入得： G (t,此时： 4t 2 5 ∴S ACN 4 NG= t 5 20t ． 51 4- 45t 224t 5 4 ）， ７分12( 4t 2 5 ∴当 t 5 2由t 5 ，得： y 2 法二：提示：过时，△ CAN 面积的最大值为 20 t) 5 5 25， 2t 2 10t 2(t 52)2 25 SANC24t 4 5 4t 25 N 作 x 轴的平行线交 y 轴于点3 ，∴ N -3）． 8分 作 CF ⊥ EN 于点 F ，则S 梯形 AEFC S AEN S NFC 2、3、4、5 为边都不符合题意，所以四条边的长只能是则24t 4)5的解析式为： 4 t 4 ， 5重庆市潼南县2020年）26. （12分）如图,在平面直角坐标系中，△ ABC 是直角三角形, ∠ ACB =90, AC =BC, OA=1，OC=4，抛物线y x2 bx c 经过 A ，B 两点，抛物线的顶点为 D．（ 1）求 b,c 的值；（2）点 E是直角三角形 ABC 斜边 AB 上一动点（点 A、B除外），过点 E作 x 轴的垂线交抛物线于点 F，当线段 EF 的长度最大时，求点 E 的坐标；（ 3）在（ 2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点 P，使△ EFP 是以 EF 为直角边的直角三角形 ? 若存在，求出所有点 P 的坐标；若不存在，说明理由 .26题图26题备用图∵二次函数 2yx bx c 的图像经过点 A（-1 ，0）B（4,5）1bc0分----- 216 4b c5解得：b=-2c=-3 ------ 3 分2 如２６题图：∵直线 AB经过点A（-1，0) B(4,5)∴直线 AB的解析式为：y=x+1∵二次函数 2yx 2x 3∴设点 E（t，t+1),则F（t，t22t 3 ) ------ 4 分∴EF= (t 21) (t22t 3) --- 5 分26. 解：（1）由已知得：A（-1，0）B（4，5） 13 2 25(t 32)2 245∴当 t 3时， EF 的最大值 =22535∴点 E 的坐标为（ 3， 5） 22 3）①如２６题图：顺次连接点 3可求出点 F 的坐标（， 26分E 、B 、F 、D 得四边形ＥＢＦＤ． 15）,点 D 的坐标为（ 1，4 -4)S四边行 EBFD S VBEF + SVDEF1 2 75 825(4 3) 14 2 2 25 3 245(32 1)9分 2m 3)②如２６题备用图：ⅰ） 过点 E 作 a ⊥ EF 交抛物线于点P, 设点 P(m,m 2则有： m 22m 3解得:m 12－ 26,m 222 26∴2－26 5 ,∴p 1( 2 ,2) ,2 26 5 p 2(2 ,2)ⅱ）过点 F 作 b ⊥EF 交抛物线于 P 3，设P 3n ，n 22n 3）2则有： n 22n 3154解得：n1 n223（与点 F 重合，舍去）∴1 15P 3(2，－ 4综上所述： 所有点 P 的坐标： p 1(2－226,52)， 1 2 2p 2(2 226,52) P 3((12，－ 2 2 3 215) 组 成 以 EF 为 直 角 边 的 直 1 2 分 使 △ EFP 形． ---- （江苏省宿迁市 2020 年）26．（本题满分 10 分）如图，在平面直角坐标系中， 标原点， P 是反比例函数 y ＝ 6（x>0）图象上的任意一点，以 P 为圆心， x与 x 、 y 轴分别交于点 A 、 B ． 判断 P 是否在线段 AB 上，并说明理由； 求△ AOB 的面积； Q 是反比例函数 y ＝ 6（x> 0）图象上异于点x1） 2） 3） 半径画圆与 x 、y 轴分别交于点 M 、 N ，连接 AN 、 O 为坐PO 为半径的圆第 26解：（ 1）点 P 在线段 AB 上，理由如下：PP 2⊥y 轴，由题意可知 PP 1、 PP 2 11 故 S △AOB ＝OA×OB＝ ×2 PP 1×PP 2 22 11 ∴ S △AOB ＝ OA ×OB ＝ ×2 PP 1× 2PP 2＝ 2 PP 1× PP 2＝ 12．22(3) 如图，连接 MN ，则 MN 过点 Q ，且 S △MON ＝S △AOB ＝12． ∴ OA·OB＝ OM·ON ∴ OA ONOM OB ∵∠ AON ＝∠ MOB ∴△ AON ∽△ MOB ∴∠ OAN ＝∠ OMB ∴AN ∥MB ．（江苏省宿迁市 2020年） 27．（本题满分 12 分）如图，在边长 为 2 的正方形 ABCD 中， P 为 AB 的中点， Q 为边 CD 上一动点， 设 DQ ＝t （ 0≤ t ≤2），线段 PQ 的垂直平分线分别交边 AD 、 BC 于点 M 、 于点 E ，过 M 作 MF ⊥BC 于点 F ．（1）当 t ≠1 时，求证：△ PEQ ≌△ NFM ；（ 2）顺次连接 P 、M 、Q 、N ，设四边形 PMQN 的面积为 S ，求出 函数关系式，并求 S 的最小值． 解：（ 1）∵四边形 ABCD 是正方形∴∠ A ＝∠ B ＝∠ D ＝ 90°， AD ＝AB ∵QE ⊥AB ，MF ⊥BC∴∠ AEQ ＝∠ MFB ＝90°∴四边形 ABFM 、AEQD 都是矩形∴MF ＝AB ，QE ＝AD ，MF ⊥QE 又∵ PQ ⊥MN∴∠ EQP ＝∠ FMN又∵∠ QEP ＝∠ MFN ＝90° ∴△ PEQ ≌△ NFM ．（2）∵点 P 是边 AB 的中点， AB ＝2， DQ ＝AE ＝t∴PA ＝1，PE ＝1－t ，QE ＝2由勾股定理，得 PQ ＝ QE 2 PE 2 ＝ （1 t ）24∵△ PEQ≌△ NFM ∴MN ＝PQ ＝ (1 t)24∵点 O 在⊙ P 上，且∠ ∴AB 是⊙P 的直径 ∴点 P 在线段 AB 上． 2）过点 P 作 PP ⊥ x 轴，AOB ＝90° 是△ AOB 的中位线， ∵P 是反比例函数 y ＝ 6（ x> 0）图象上的任意一点 x 1 N ，过 Q 作QE ⊥AB yD Q C第 27 题）又∵ PQ ⊥MN11 1 5∴S ＝ 1PQ MN ＝ 1 (1 t )2 4＝ 1t 2－ t ＋ 5222 2∵0≤t ≤2∴当 t ＝1 时， S 最小值 ＝2．综上： S ＝ 1 t 2－t ＋ 5 ， S 的最小值为 2．22江苏省宿迁市 2020年） 28．（本题满分 12分）如图，在 Rt△ABC 中，∠B ＝90°， 1 AB ＝1，BC ＝ ，以点 C 为圆心， CB 为半径的弧交 CA 于点 D ；以点 A 为圆心， AD2为半径的弧交 AB 于点 E ． 1）求 AE 的长度； 2）分别以点 A 、E 为圆心， AB 长为半径画弧，两弧交于点 F （F 与C 在 AB 两侧），连 接AF 、EF ，设EF 交弧 DE 所在的圆于点 G ，连接 AG ，试猜想∠ EAG 的大小，并说明 理由． 解：（1）在 Rt △ ABC 中，由 AB ＝1，BC ＝ 1 得 AC ＝ 12 2(12)2 ∵BC ＝CD ，AE ＝AD ∴AE ＝AC －AD ＝ 5 122）∠ EAG ＝ 36°，理由如下：∵FA ＝FE ＝AB ＝1，AE ＝ 1AE＝ 5 1FA 2 △FAE 是黄金三角形BC∠ F ＝36°，∠ AEF ＝72 AE ＝ AG ，FA ＝ FE ∠ FAE ＝∠ FEA ＝∠ AGE △ AEG ∽△ FEA ∠ EAG ＝∠ F ＝ 362020年广东省 ）10．如图（1），将一个正六边形各边延长， 构成一个正六角星形 AFBDCE ， 它的面积为 1；取△ ABC 和△ DEF 各边中点， 连接成正六角星形 A 1F 1B 1D 1C 1E 1，如图（2） 中阴影部分； 取△ A 1B 1C 1和△ D 1E 1F 1各边中点， 连接成正六角星形 A 2F 2B 2D 2C 2E 2，如图 （3） 中阴影部分； 如此下去⋯，则正六角星形 A 4F 4B 4D 4C 4E 4 的面积为 AD D D1256答案： 2020年广东省 ）21．如图（ 1），△ ABC 与△EFD 为等腰直角三角形， AC与 DE 重合，AB=AC=EF=9，∠BAC=∠DEF=90o ，固定△ ABC ，将△ DEF 绕点 A 顺时针旋转，当 DF 边 与 AB 边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设 DE ，DF （或它们的延长线 ）分别交 BC （或它的延长线 ） 于 G ， H 点，如图 （2）1）问：始终与△ AGC 相似的三角形有 及2）设 CG=x ，BH=y ，求 y 关于 x 的函数关系式（只要求根据图 （2）的情形说明理由）3）问：当 x 为何值时，△ AGH 是等腰三角形 . （1）、△ HAB △ HGA ；（2）、由△ AGC ∽△ HAB ，得 AC/HB=GC/AB ，即 9/y=x/9 ，故 y=81/x （0<x< 92 ） （3）因为：∠ GAH= 45°①当∠ GAH= 45°是等腰三角形 .的底角时，如图（ 1）：可知 CG=x=9 2 /2 ②当∠ GAH= 45°是等腰三角形 .的顶角时 , 如图（ 2）：由△ HGA∽△ HAB 知： HB= AB=9 ，也可知 BG=HC ，可得： CG=x=18-9 2题 21 图 (1) 题 21 图 (2)E1256图（1）图（2）4228．（ 1）∵ x 24x 12 0，∴ x 1 2， x 2∴ A （ 2,0） ， B （6,0） 。