推导一元二次方程的求根公式。
解一元二次方程：02=++c bx ax 。
推导：c a
b a b x a b x a
c x a b x a c bx ax c bx ax -=-+⋅⋅+⇒-=+⇒-=+⇒=++])2()2(22[)(0222222 2222222222222444)2(4)2(4)2(]4)2[(a b a ac a b x a b a c a b x a c a b a b x c a b a b x a +-=+⇒+-=+⇒-=-+⇒-=-+⇒ 222222222244244244)2(44)2(a
ac b a b x a ac b a b x a ac b a b x a b ac a b x -±=+⇒-±=+⇒-=+⇒+-=+⇒ a
ac b b x a ac b a b x a ac b a b x 24242242222-±-=⇒-±-=⇒-±=+⇒。
结论：一元二次方程02
=++c bx ax 的求根公式：a ac b b x 242-±-=。
判别式∆与一元二次方程解的个数的关系：
判别式：ac b 42-=∆。
第一种：当040402
2>-⇒>-⇒>∆ac b ac b 时：a ac b b x 2421-+-=，a ac b b x 2422---=。
一元二次方程有两个解。
第二种：当0404022=-⇒=-⇒=∆ac b ac b 时：a
b x a b x 220-=⇒±-=。
一元二次方程有一个解。
第三种：当ac b ac b 404022-⇒<-⇒<∆不成立时：
一元二次方程没有解。
例题一：解下列一元二次方程。
①0322=--x x ；②02522=-+-x x ；③03832=++-x x ；④02532=+-x x 。
解答：①0322=--x x 。
第一步：计算判别式∆。
⇒>=+=-⨯⨯--=∆016124)3(14)2(2方程有两个解。
第二步：用求根公式解方程。
3262422421216)2(1==+=⇒±=⨯±--=x x ，12
22422-=-=-=x 。
所以：方程0322=--x x 的解：31=x ，12-=x 。
②02522=-+-x x 。
第一步：计算判别式∆。
091625)2()2(452>=-=-⨯-⨯-=∆⇒方程有两个解。
第二步：用求根公式解方程。
2
142435435)2(2951=--=-+-=⇒-±-=-⨯±-=x x ，2484352=--=---=x 。
所以：方程02522=-+-x x 的解：211=
x ，22=x 。
③03832=++-x x 。
第一步：计算判别式∆。
010036643)3(482>=+=⨯-⨯-=∆⇒方程有两个解。
第二步：用求根公式解方程。
3
16261086108)3(210081-=-=-+-=⇒-±-=-⨯±-=x x ，361861082=--=---=x 。
所以：方程03832=++-x x 的解：3
11-=x ，32=x 。
④02532=+-x x 。
第一步：计算判别式∆。
012425234)5(2>=-=⨯⨯--=∆⇒方程有两个解。
第二步：用求根公式解方程。
166615615321)5(1==+=⇒±=⨯±--=x x ，3
2646152==-=x 。
所以：方程02532=+-x x 的解：11=x ，3
22=
x 。
例题二：解下列一元二次方程。
①01432=--x x ；②0222=++-x x ；③012212=-+-x x ；④012
32=-+x x 。
解答：①01432=--x x 。
第一步：计算判别式∆。
0281216)1(34)4(2>=+=-⨯⨯--=∆⇒方程有两个解。
第二步：用求根公式解方程。
37237267243228)4(1+=⇒±=±=⨯±--=x x ，3
722-=x 。
所以：方程01432=--x x 的解：3721+=
x ，3
722-=x 。
②0222=++-x x 。
第一步：计算判别式∆。
012842)1(422>=+=⨯-⨯-=∆⇒方程有两个解。
第二步：用求根公式解方程。
31312
322)1(21221+=⇒±=-±-=-⨯±-=x x ，312-=x 。
所以：方程0222=++-x x 的解：311+=x ，312-=x 。
③0122
12=-+-x x 。
第一步：计算判别式∆。
0224)1()2
1(422>=-=-⨯-⨯-=∆⇒方程有两个解。
第二步：用求根公式解方程。
2222122)2
1(2221+=⇒±=-±-=-⨯±-=x x ，222-=x 。
所以：方程0122
12=-+-x x 的解：221+=x ，222-=x 。
④012
32=-+x x 。
第一步：计算判别式∆。
0761)1(2
3412>=+=-⨯⨯-=∆⇒方程有两个解。
第二步：用求根公式解方程。
3713712
32711+-=⇒±-=⨯±-=x x ，3712--=x 。
所以：方程012
32=-+x x 的解：3711+-=x ，3712--=x 。
例题三：解下列一元二次方程。
①0122=+-x x ；②0962=-+-x x ；③091242=+-x x ；④043432=-+-x x 。
解答：①0122=+-x x 。
第一步：计算判别式∆。
044114)2(2=-=⨯⨯--=∆⇒方程有一个解。
第二步：用求根公式解方程。
122202120)2(==±=⨯±--=
x 。
所以：方程0122=+-x x 的解：1=x 。
②0962=-+-x x 。
第一步：计算判别式∆。
⇒=-=-⨯-⨯-=∆03636)9()1(462方程有一个解。
第二步：用求根公式解方程。
32
6206)1(206=--=-±-=-⨯±-=x 。
所以：方程0962=-+-x x 的解：3=x 。
③091242=+-x x 。
第一步：计算判别式∆。
0144144944)12(2=-=⨯⨯--=∆⇒方程有一个解。
第二步：用求根公式解方程。
2
38128012420)12(==±=⨯±--=x 。
所以：方程091242=+-x x 的解：2
3=x 。
④043432=-+-x x 。
第一步：计算判别式∆。
⇒=-=-⨯-⨯-=∆04848)4()3(4)34(2方程有一个解。
第二步：用求根公式解方程。
3
326346034)3(2034=--=-±-=-⨯±-=x 。
所以：方程043432=-+-x x 的解：332=
x 。
例题四：解下列一元二次方程。
①0322=+-x x ；②02322=-+-x x ；③053212=+-x x ；④0652
32=---x x 。
解答：①0322=+-x x 。
计算判别式⇒<-=-=⨯⨯--=∆08124314)2(2方程没有解。
②02322=-+-x x 。
计算判别式⇒<-=-=-⨯-⨯-=∆07169)2()2(432方程没有解。
③0532
12=+-x x 。
计算判别式⇒<-=-=⨯⨯--=∆0110952
14)3(2方程没有解。
④0652
32=---x x 。
计算判别式⇒<-=-=-⨯-⨯--=∆0113625)6()2
3(4)5(2方程没有解。