第三章：直线与方程的知识点及测试题
一、倾斜角与斜率
1. 当直线l 与x 轴相交时，我们把x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的 .当直线l 与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为 . 则直线l 的倾斜角α的范围是 .
2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即 . 如果知道直线上两点111222(,),(,)P x y P x y ，则有斜率公式 . 特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k ；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k .
★二、两条直线平行与垂直的判定
1.斜截式下： 已知直线111:l y k x b =+、直线222:l y k x b =+，有：
（1）12//l l ⇔ ；（2）12l l ⊥⇔ .
（注意：斜率不存在时单独讨论）
2.一般式下：已知直线1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），
则有：
（1）12l l ⊥⇔； ；（2）12//l l ⇔ ； （3）1l 与2l 重合122112210,0A B A B AC A C ⇔-=-=； （4）1l 与2l 相交12210A B A B ⇔-≠.
3.三点共线的判断：A ，B,C 三点共线⇔BC AB k k =(或) 三、直线的点斜式方程
1. 点斜式：直线l 过点000(,)P x y ,且斜率为k ，其方程为 ；.
2. 斜截式：直线l 的斜率为k ，在y 轴上截距为b ，其方程为 ；.
3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x 轴直线. 若直线l 过点000(,)P x y 且与x 轴垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为00x x -=，或0x x =.
4.0
y y k x x -=-与00()y y k x x -=-是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点000(,)P x y ，后者才是整条直线.
四、直线的两点式方程
1. 两点式：直线l 经过两点111222(,),(,)P x y P x y ，其方程为 ；
， 2. 截距式：直线l 在x 、y 轴上的截距分别为a 、b ，其方程为 ；. 3. 两点式不能表示垂直x 、y 轴直线；截距式不能表示垂直x 、y 轴及过原点的直线. 4.中点坐标公式：已知两点111222(,),(,)P x y P x y 线段12P P 中点坐标为 . 五、直线的一般式方程
1. 一般式：0Ax By C ++=，注意A 、B 不同时为0. 直线一般式方程0(0)Ax By C B ++=≠化为斜截式方程 ，表示斜率为 ，纵截距为 ，0A ≠时横截距为 . ★
2. 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线方程可设为 ； 与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线方程可设为 . 六、两条直线的交点坐标
1. 方程111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点.
2.过直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=交点的直线方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++= 七、两点间的距离 1. 平面内两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则两点间的距离为： . 特别地，当12,P P 所在直线与x 轴平行时， ；当12,P P 所在直线与y 轴平行时， ；
八、点到直线的距离及两平行线距离
★1. 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式为 .
2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离公式 ，推导过程为：在直线2l 上任取一点00(,)P x y ，则0020Ax By C ++=，即
002Ax By C +=-. 这时点00(,)P x y 到直线11:0l Ax By C ++=的距离为d =
=
一、选择题
1．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（ ） A ．1=+b a
B ．1=-b a
C ．0=+b a
D ．0=-b a
2．原点关于x - 2y + 1 = 0的对称点的坐标为( )
A ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛52 ，
5
4- B ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛54 ，52- C ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛52 ，54 D ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛54 ，52- 3．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（ ）
A ．0
B ．8-
C ．2
D ．10 4．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ ）
A ．第一、二、三象限
B ．第一、二、四象限
C ．第一、三、四象限
D ．第二、三、四象限
5．已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ）
A ．524=+y x
B ．524=-y x
C ．52=+y x
D ．52=-y x 6．若1(2,3),(3,2),(,)2
A B C m --三点共线 则m 的值为（ ）
A ．
21 B ．2
1
- C ．2- D ．2 7．直线13kx y k -+=，当k 变动时，所有直线都通过定点（ ）
A ．(0,0)
B ．(0,1)
C ．(3,1)
D ．(2,1)
8．直线cos sin 0x y a θθ++=与sin cos 0x y b θθ-+=的位置关系是（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．斜交 D ．与,,a b θ的值有关 9．两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为（ ）
A ．4
B C D 10．已知点(2,3),(3,2)A B --，若直线l 过点(1,1)P 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）
A ．34
k ≥
B ．
3
24
k ≤≤ C ．3
24
k k ≥≤
或 D ．2k ≤ 11．下列说法的正确的是 （ ） A ．经过定点
的直线都可以用方程
表示
B ．经过定点()b A ，0的直线都可以用方程表示
C ．不经过原点的直线都可以用方程
表示
D ．经过任意两个不同的点()
()222111y x P y x P ，、，的直线都可以用方程
12．直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于,A B 两点，若线段AB 的中点为(1,1)M -，则直线l 的斜率为（ ） A ．
2
3
B ．
3
2 C ．3
2
-
D ． 23
-
二、填空题
1．经过两直线11x+3y －7=0和12x+y －19=0的交点，且与A （3，－2），B （－1，6）等距离的直线的方程是 . 2．已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为 ；若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为 ；若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为 . 3．点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则2
2
x y +的最小值是________________.
4．直线l 过原点且平分ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为(1,4),(5,0)B D ，则直线l 的方程为___________. 5．方程1=+y x 所表示的图形的面积为_________.
6．将一张坐标纸折叠一次，使点(0,2)与点(4,0)重合，且点(7,3)与点(,)m n 重合，则n m +的值是_______。

7．已知直线,32:1+=x y l 2l 与1l 关于直线x y -=对称，直线3l ⊥2l ，则3l 的斜率是______. 8．一直线过点(3,4)M -，并且横截距是纵截距的三倍，这条直线方程是 ． 9．已知点(1,1)A ，(2,2)B ，点P 在直线x y 2
1=
上，求2
2PB PA +取得最小值时P 点的坐标为___________. 10.（全国Ⅰ文16）若直线m 被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是 ①15 ②30 ③45 ④60 ⑤75 其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号） 三、解答题
1．求经过点(2,2)A -并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程。

2.求经过点(1,2)A 并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程。

3.已知两条直线)(
12:12,:2416l x m y m l mx y ++=-+=-. m 为何值时, 12:l l 与 （1）相交 （2）平行 （3）垂直
4. 求经过直线0323:,0532:21=--=-+y x l y x l 的交点且平行于直线032=-+y x 的直线方程.
5.已知直线073)1()1(2=+--++m y m x m （R m ∈）
（1）求证：直线过定点；
（2）当直线与两坐标围成三角形面积最小时，求三角形面积的最小值并求此时直线方程.。