(1)、
一般有三种情况 2、“ ”，“3 ”开不尽的数
(3)、. 类似0.于 01001000000 110
下列各数中有理数是
:
3 2 ， 7，，-22，2，
7
20， - 5， -38，4， 0.
3
9
••
0.3737737773…… 0.3 21;
.
判断下列说法是否正确： （1）无限小数都是无理数； （2）无理数都是无限小数； （3）带根号的数都是无理数； （4）实数都是无理数； （5）无理数都是实数; （6）没有根号的数. 都是有理数.
.
补充练习
(1)、（3 4） 3
(2)2(5 5 2 2) (2 5 3 2)
(3)、 (-2)2(3)2(32)34
(4) 2 3 3 2 3 .
1、x3 y30， 求x y
2、 3 x33 y30， 求x y
3 、 |x 3 |y 2 0 ， 求 x 2 2 x y y 2
则 3 52的 50值17.是 38
注意平方根和立方根的移位法则
.
学以致用
1.若12.53.53， 51.251.118 那么125 11.8 ；0 .125 0.3 535 。
2.若已7.知 452.72， 9y27.92； 那y么 74500 。
.
3.已知3 0.342 0.6993，3 3.42 1.507，
一、判断下列说法是否正确：
1.实数不是有理数就是无理数。 （ ）
2.无限小数都是无理数。
（）
3.无理数都是无限小数。
（）
4.带根号的数都是无理数。
（）
5.两个无理数之和一定是无理数。（ ）
6.所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来， 数轴上所有的点都表示有理数。（ ）
.
若点A在数轴上表示的数为3 5， 点B在数轴上对应的数为 5， 则A，B两点的距离为 4 5
解:（ 1 ） 2232 （ 23 ） 22
(2)｜ 2 ｜3 2 2 3 22 2 3 2
.
练习：计算：
(1)3 22 2
(2) 4 5 5
(3) (3 22 3)4 2
(4) 3 2(2 24 2)
.
练习：计算下列各式的值:
(1) 3 2 23 2
(2) 22(1 2)
(3)、 292 52
A.2或12 B.2或-12 C.-2或12 D.-2或-12
5 、 已 知 57 的 小 数 部 分 是 a ？ 57 的 小 数 部 分 是 b ？ 求 ab 的 值1
变 式 ： 已 知 9 1 3 和 9 1 3 的 小 数 部 分 分 别 为 a 和 b
求 a b 的 相 反 数 的 立 方 根 1
一、概念
❖ 算术平方根，平方根， ❖ 被开方数，根指数， ❖ 开平方，开立方， ❖ 无理数，实数
.
乘方
互 为 逆 运 算
开方
实数
有理数 无理数
平方根
立方根
.
定义
一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a（x2 = a），那么这个正数 x 就叫做
a 的 算术平方根
a 的算术平方根记作 a
读作 “ 根号a ”
.
五、比较大小的方法
❖有理化法 估算法 求差法 v 1、有理化法比较大小
(1) 5 > 2 6 < (2) 2 3 3 2
v 2、估算法比较大小
比较 和4 1的大小 .
5
.
3、求差法比较大小
例：比较大小：4 2 5 与 2 3 5
解： （ 42 5） （ 23 5）
425235
2 5 < 0
< 42 5 23 5
3 27
x 2 3 125
y 3
3
y21或y32
3
3
3
27
x 25
33
x1
当方程中出现平方时，若有解，一般都有 两个解
当方程中出现立方时，一般都有一个解 .
自测： 1.如果一个数的平方根为a+1和2a-7, 求这 个数？ 3.已知y= 1 2x1 12x 求2（x+y）的平方根
2
4.已知5+ 11 的小数部分为 m, 7- 23
.
下列说法正确的是( B ) A. 16的平方根是4
B. 6表示6的算术平方根的相反数
C.任何数都有平方根 D. a2一定没有平方根
.
练习：1、—8是64 的平方根, 64的平方根是±8；
64____8_ -64的立方根是__-_4__ 9 __3__
9 的平方根是 。3
2、 64 的立方根是（ 2），
练习：已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示。 化简：
ab (ab)2 －2b
.b a
ox
求下列数的相反数、倒数和绝对值： （1）3－ 8的相反2数 ； 倒 是数 12是 ；
绝对值 2 .是
（2） 3 的倒数是 3 ； （3） 3 －2的绝对值是 2－ 3 ； （4）若 x 2 5 ,y 1 2 ， x y 且 0 ， x ＋ y 则 ＝ 8或－5
｛ x≤2
X-2≥0
2-x≥0
∴x=2
当x=2时，y=3 yx 321
.
四、扩大，缩小
已 知 1.7201.31, 11.72014.14,7
掌 那0么 .0017的 20平 1 方 0.0根 414是 7 握 已知 2.361.53,623.64.85,8 规 若x0.485,则 8x是 0.236 律 已3知 5.251.73,385.253.74,4
（5） 2 5 9
5和 5 33
2.说出下列各数的立方根
（1） -0.008
（2） 0.512
（ 3） - 27 64
（4） -15 5 8
.
4、下列运算中，正确的是（ A） (A） 1 25 1 1 144 12
（B） (4)2 4
（ C ） 22222
（D） 11 119 16 25. 4 5 20
6 、 设 a 和 b 互 为 相 反 数 ， c 和 d 互 为 负 倒 数 ， x 的 绝 对 值 为 5 ，
则 代 数 式 x 2 （ a b c d ） x （ a b 3c d ） _ _ _ 4_ _ _ _ _ 5_ _ _ .
七、实数的计算
(1)2 2 3 2
(2)｜ 2 3 2 2
5、 (5) 2 的平方根是（D）
(A) 5 (B) 5 (C) 5 (D) 5
6、下列运算正确的是( D)
(A)3 13 1 (B)3 33 3
(C)3 13 1 (D)39
3 0.008
( 4 )2 13
2、若M＝ab2 a＋8是（a＋8）的算术平方
3 34.2 3.246，求下列各式的值。
（1）3 0.000342
0.06993
（2）3 34200000 －324.6
（3） 3 0.00342 －0.1507
4.已 知 3 32.83.20， 313.281.48， 6 3 0.3280.689， 36x14.86， 3 y68.96， 则x 3280 ； ｙ 3 28000 。
的平方根是 （ 3）
4.若 （ 3 x7） 37x,则 x的值 _ X=7_是 ___
5.一个正数x的两个平方根分别是a+1和a-3,则
a= 1 , x=
4
.
1. 9(3y)2 4
解: (3 y)2 4 9
3 y 4 9
2
2. 2（ 7x2） 31250 解: 27(3x2)3 125
3 (x2)3 125
.
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数轴上两点A，B分别表示实数 3 和 3 1 ，求A，B两点之间的距离。
3( 31)1 .
三、相反数、（负）倒数、绝对值、
在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有 理数的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。
例如： a、b互为相反数，c与d互为倒数
则a+1+b+cd= 2 。
| 3|3,|0|0,|-|.
a (a0)
a0
3 a 3 a a为任何数
3 a 3 a a为任何数
.
1.说出下列各数的平方根和算术平方根：
（ 1） 169 （ 2）0.16 （ 3 ）
（ 4 ） 1 02
（ 5 ） 2 7 9
2 14 25
（1）169
13和13
64 （2）0.16 （3）2 5
0.4和0.4
8和 8 55
： （4）100 10和10
N＝2ab4 b3是（b3）的立方根，求： MN的值.
3、如果一个数的平方根是a＋3和 2a－15，求这个数的立方根。
.
8是 64 的平方根
不 64的平方根是
±8
要 64的值是 8 搞
错 64的立方根是 -4 了
大于 17小于11的所有整数 ＿＿-04,＿＿1,-,32＿＿为 ,,-32. ,-1,
算术平方根
平方根
立方根
表示方法
a的取值
正数
性
0
质
负数
a
a
3a
a≥ 0
a≥ 0 a是任何数
正数（一个） 互为相反数（两个） 正数（一个）
0
0
0
没有
没有
负数（一个）
开方
求一个数的平方根 求一个数的立方根 的运算叫开平方 的运算叫开立方
是本身
0,1
0
.
0,1,-1
a2 a =