1
根据极限审敛法 1 , 该积分收敛 .
x 例3. 判别反常积分 d x 的敛散性 . 2 1 1 x 3 2 2 1 x x 解: lim lim x 2 1 2 2 x 1 x x 1 x

3 2
根据极限审敛法 1 , 该积分发散 .
例 3．判别下列反常积分的敛散性： 1 比较判别法 （1） sin 2 dx 1 x 1 1 1 解：∵ 0 sin 2 2 ， dx 收敛 ， 而 1 x2 x x 1 ∴ sin 2 dx 收敛 。 1 x
a
2) 若存在常数 N 0 , p 1, 使对充分大的 x 有 N f ( x) p x 则 f ( x) d x 发散 .
a
例1. 判别反常积分
x4 1 1 sin 2 x 解: 3 4 14 03 4 x x 1 x3 由比较审敛法 1 可知原积分收敛 . 1 思考题: 讨论反常积分 d x 的敛散性 . 3 3 1 x 1 提示: 当 x≥1 时, 利用 1 1 1 3 3 x 1 3 ( x 1) 3 x 1
a
当 p 1时, 可取 0 , 使 l 0 , (l 时用任意正
数 N 代替 l ) , 必有
x p f ( x) l
即
l N f ( x) p x x
a
(N l )
可见
f ( x) d x 发散 .
x
定理1. 设 f ( x) C [a , ) , 且 f ( x) 0 , 若函数
F ( x) f (t ) d t
a
x
在[a , ) 上有上界 , 则反常积分
根据极限收敛准则知
x
a
f ( x) d x 收敛 .
单调有界准则
证: f ( x) 0 , F ( x) 在[a , ) 上单调递增有上界 ,
可知原积分发散 .
1

sin x
3
2
d x 的敛散性 .
定理4. (极限审敛法1) 若 f ( x) C [a ,) , 且 f ( x) 0 , p lim x f ( x) l 满足
x
则有: 1) 当 p 1, 0 l 时 2) 当 p 1, 0 l 时
lim F ( x) lim
a
f (t ) d t x a
x
存在 , 即反常积分
f ( x) d x 收敛 .
定理2 . (比较审敛原理)
设 f ( x) C [a , ) , 且对充
分大的 x 有 0 f ( x) g ( x) , 则
a

A 故常取 g ( x) p ( A 0) 作比较函数 , x 得下列比较审敛法.
定理3. (比较审敛法 1)
设非负函数 f ( x) C [a , )
(a 0) .
1) 若存在常数 M 0 , p 1, 使对充分大的 x 有 M f ( x) p x 则 f ( x) d x 收敛 ;
t a
t

g ( x ) dx
故 f ( x) dx 是 t 的单调递增有上界函数 , 因此
f ( x ) dx a t a lim
极限存在 , 即反常积分
若

a
f ( x) dx 收敛 .
t
a
f ( x) dx 发散 , 因为 t a 时有 0 f ( x ) dx g ( x ) dx
a a t
a
令 t , 可见反常积分
g ( x) d x 必发散 .
思考: 比较判别法需要一个参照的函数来进行比较， 那我们有没有这么一个函数，能适用于大多数函数 的敛散性的判断呢？
下例我们在上节课已经对它的收敛性有过证明 说明: 已知 a

收敛 , p 1 1 dx p x 发散 , p 1
g ( x) dx 收敛 f ( x) dx 发散
a

f ( x) dx 收敛 g ( x) dx 发散
a
若
a
a
t
证: 不失一般性 , 设 x [a , )时, 0 f ( x) g ( x)
g ( x) dx 收敛 , 则对 t a 有
a f ( x) dx a g ( x) dx a
a a
b

f ( x ) dx b a
b
f ( x) dx 收敛 ; 如果上述极限不存在,

f ( x) dx 发散 .
b
f ( x) C ( , b], 则定义
f ( x ) dx f ( x) dx alim a
一、无穷限反常积分的审敛法
dx （2） 0 1 x sin x

1 1 dx 解：∵ 0 ， 而 ln( 1 x ) ， 0 1 x 0 1 x sinx 1 x
注意:
lim x f ( x) lim
p
f ( x)
1 xp
x
此极限的大小刻画了
x 时 f ( x) 趋于 0 的快慢程度 .
例2. 判别反常积分 解:
1

dx x 1 x
2
的敛散性 .
lim x
x
2
1 x 1 x
2
lim
1
1 x2
x
1
第一节 反常积分
无穷限反常积分的审敛法
定义1. 设 f ( x) C [a , ) , 取 b a , 若 b lim f ( x) dx
b a
存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分, 记作
a
这时称反常积分 就称反常积分 类似地 , 若

f ( x) dx lim

a
f ( x) d x 收敛 ;
a
f ( x) d x 发散 .
当x充
证: 当 p 1时, 根据极限定义 , 对取定的
p x f ( x) l , 即 分大时, 必有 M 0 f ( x) p ( M l ) x 可见 f ( x) d x 收敛 ;