当前位置:文档之家› 数学模型与数学建模-第4章-量纲分析法

数学模型与数学建模-第4章-量纲分析法

在数学的应用中,需处理的往往不是“纯粹的” 数,而是反映事物某一特性的度量.
用数加单位来表示具体度量; 用量纲的概念来表示被度量的特性.
量纲分析法是一种有效的物理建模方法
一.单位 SI 国际单位制(米—千克—秒); fps 英制单位制(英尺—磅—秒)
一个模型中单位必须统一
二.量纲 基 本 物 理 量
引进无量纲量:
T=w0t , X=x/x0 , V=v/v0

dx dt
d(x0X ) d( T )
w0 x0dX dT
v0dX dT
v
w0
特点?
dX v V
dT v0

m
dv dt
m
d (v0V ) d(T w0 )
mw 0v0
dV dT
代入原方程,有
dV K x C v F dT mw0v0 mw0v0 mw0v0
质量(M) 力学中,任何物理量
长度(L)
都可以表示为其组合形 式,称这种组合形式为
时间(T) 物理量的量纲.
其中 [质量]=[ m ]=M, [长度]=[ l ]=L, [时间]=[ t ]=T,
称为 基本量

例4.1.1
[速度]=[ v ]=[
ds
dt ]
=
=LT-1
;
[加速度]=[ a ] =LT-2 ;
0 1
1
t2l1g
t l
g
或者 F ( ) t 2l 1g 0
(5)
将此例一般化有以下定理
Buckingham Pi定理:
设有m 个物理量 q1,q2,… qm , 而
f (q1,q2,… qm )=0
(6)
是与量纲单位的选取无关的物理定律。X1, X2,
… , Xn 是基本量纲,其中n≤m,q1,q2,… qm
因为力 F=ma, 故 [ F ]=[ m ][ a ] =MLT-2;
部分物理常数也有量纲,如万有引力定律
f
K
m1m2 r2
中的引力常数K的量纲为
[K]
fr 2
[ f ][r 2 ]
m1m2 [m1][m2 ]
LMT 2L2 M2
L3M 1T 2
部分物理量是无量纲的,称之为纯数字,如
3.写出量纲矩阵
(f) (l) (h) (v) (ρ) (μ) (g)
1 1 1 1 3 1 1 (L)
A37
1
00
0
1
1
0
(
M
K x Cv F
mw
2 0
(
x0
)
mw
0
(
v0
)
mw 0v0
= -X-AV+F0
其中,因v0=x0w0 , w0=
K m
原方程变形为
优点:
dV dT
AV
F0
X
1. 减少了参数的个数;
2. 方程中的变量X、V、T都是无量纲量.
量纲分析是20世纪初提出的在物理领域中 建立数学模型的一种方法.
对所设问题有一定了解,在实验和经验的 基础上利用量纲齐次原则来确定各物理量之 间的关系.
的量纲可表为
n
qj
X , ij i
j 1,2,, m
i 1
矩阵A={ai,j}n×m称为量纲矩阵. 若A的秩 Rank(A)=r
若齐次线性方程组 AY=0 ( y是m维向量)的 m-r个基本解为:
ys=(ys1, ys2, …, ysm)T , s=1,2, …,m-r

s
m
q
ysj j
下面用量纲分析法确定阻力与这些物理量 之间的关系.
1.航船问题中涉及物理量满足的物理关系记为
Ф(f, l, h, v,ρ,μ, g)=0
(8)
2.这是力学问题,基本量纲选为L、M、T, 各物理量的量纲表示为
[ f ] LMT 2 , [t] L, h L v LT 1, L3M , L1MT 1, g LT 2 ,
例4.1.2 非线性震荡运动方程
m
d2x dt 2
Kx
C
dx dt
F

dx dt
v,
m
dv dt
Kx Cv
F.
模型中有参数:m、K、C
令 x0=x(0) , w0 =
根据量纲齐次性, 有 [ w0 ]=T-1 , [ K ]=MT-2,
K m
,
v0=x0 w0 ,
[ F ]=MLT-2 , [ C ]= MT-1.
t [m]1 [l] 2 [g] 3
将[ t ]=T, [m]=M, [ l ]=L, [g ]=LT-2 代入得
T M 1 L2 3 T 23
(2)
按照量纲齐次性,有
12
0 3Biblioteka 023 1求解为
1
0, 2
1 2
,3
1 2
代入式(1) 得
t
l g
续例4.2.1 单摆运动的抽象
设变量关系为
[角度]=LL—1=L0
尽管角度是无量纲量,但它有单位(弧度).
量纲独立于单位
三. 量纲齐次性(Dimensional Homogeneity)
量纲齐次原则: 任一有意义的物理方程必定是量 纲一致的,即有
[左边] = [右边]
1. 对数学模型和模型的解进行量纲一致性检验. 2. 无量纲化方法减少参数个数.
Ly3 y4 M y2 T y1 2 y4 L0 M 0T 0
根据量纲齐次性,有线性方程组成立
y3 y4 0,
y2
0,
y1
2
y4
0
0
AY 0
1
0 1 0
1 0 0
1
0
2
y1
y2
y3
y4
0 0 0 0
解得方程组的一个解为 代入(4)式有
y1 2
y2 y3 y4
f (t,m,l,g) =0, (3)
假设各变量间的关系如下:
t y1 m y2 l y3 g y4
(4)
其中y1~y4 是待定常数,π是无量纲量.
各变量的量纲用基本量纲表示如下:
[ t ]=L0M0T1, [ m ]=L0M1T0, [ l ]=L1M0T0, [ g ]=L1M0T-2,
(4) 式的量纲表达式为
j 1
为 m-r 个相互独立的无量纲量,且
F(π1, π2, …,πm-r)=0
(7)
与(6) 式等价, 其中F的形式未知.
例4.2.2 航船阻力
长度为l、吃水深度h的船以速度v 航行,若不
考虑风的影响,那么航船受到的阻力f除依赖船 的诸变量l, h, v 以外,还与水的参数—密度ρ, 粘性系数μ,以及重力加速度g有关.
例4.2.1 单摆运动 将质量为m 的一个小球系在长度为l 的线的
一端,稍偏离平衡位置后小球在重力mg的作用
下(g为重力加速度),做往复摆动. 忽略阻力, 求摆动周期t的表达式.
求解 考虑问题中出现的物理量t、m、l、g,
假设它们之间有关式
t m1 l 2 g3
(1)
其中α1,α2,α3是待定常数,λ是无量纲的 比例常数.上式的量纲表达式为
相关主题