课时规范练 A 组基础对点练3 * 1. （2018嘉兴调研）已知a n =亦二而（n€ N ），数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,则使 各>0的n 的 最小值为（ ）A . 99B . 100C . 101D . 102、、3解析： 由通项公式得 a 1 + a 100= a 2 + a ?9= a 3+ a 98 =••• = a 50 + a 51 = 0, a 1°1 = 101>0，故选 C. 答案：C2. （2018昆明七校调研）在等比数列｛a n ｝中，S n 是它的前n 项和，若q = 2，且a ?与2a 4的等 差中项为18,则S 5=（ ）A . 62B . - 62 D . - 3262,选 A.答案：A53. 已知等差数列｛a n ｝的各项均为正数，a 1= 1，且a 3, a °+ ?, an 成等比数列•若p -q = 10, 则 ap— aq =（ ）A . 14B . 15C . 16D . 17 5解析：设等差数列｛a n ｝的公差为d ,由题意分析知d>0，因为a 3, a °+ ?, an 成等比数列， 所以 a 4 + 5 2 = a 3an ，即 §+ 3d 2= (1 + 2d) (1 + 10d)，即 44d — 36d — 45 = 0,所以 d =号 15谷土 I 才「、『 3n — 1 3d =— 22舍去，所以 a n = — •所以 a p — aq = ^(p — q)= 15. 答案：B 4.已知数列｛a n ｝满足 a n + 2— a n +1= a n +1 — a n , n €N *，且 a 5 =寸，若函数 f(x)= sin 2x + 2cos^, 记y n = f(an )，则数列｛y n ｝的前9项和为( )A . 0B . — 9C . 9D . 1C . 32解析: 依题意得a 2 + 2a 4= 36, q = 2，则 2a 1 + 16a 1 = 36,解得 a 1 = 2, 因此S 5 = 52X( 1 — 25)_ 1-2 =解析：由已知可得，数列｛a n｝为等差数列，f(x) = sin 2x+ cos x+ 1 ,「. f 2 = 1.■/ f( —x) = sin(2 —2x) + cos(—x) + 1 = —sin 2x—cos x+ 1 ,「. f( —x) + f(x)= 2.•' a i + a g = a 2 + a &=…=2a 5= n 二 f(a” + •••+ f(a 9)= 2 x 4 + 1 = 9,即数列｛y n ｝的前 9 项和为 9. 答案：Ca 2, a 4, a 8成等比数列，则｛a n ｝的前n 项和S n =( ) A . n(n + 1) C n(nJ i)D .n (n—〔)解析：因为a 2, a 4, a 8成等比数列，所以 a ：= a ? a 8,所以 佝+ 6)2=⑻+ 2)(印+ i4),解得 a i = 2.所以 S n = na<| + “ i x 2 = n(n + i).故选 A. 答案：A6.已知｛a n ｝是等差数列，a i = i ,公差d z 0, S n 为其前n 项和，若a i , a ?, 成等比数列,贝U S ；3= ____ .答案：647 •对于数列｛a n ｝，定义数列｛a n +1 — a n ｝为数列｛a n ｝的“差数列”，若a i = 2, ｛a n ｝的“差数列” 的通项公式为2n ，则数列｛ a n ｝的前n 项和S n = ______ .解析：T a n +1 — a n = 2n , .•. a n = (a n — a n -1) + (a n -1 — a n -2) + …+ (a 2— a i )+ a i = 2n 1+ 2n 2+…+ n n + 12 2— 2 n n 2— 2 n +1 22 + 2+ 2 = ---- + 2= 2n — 2 + 2 = 2n /. S n = --------- = 2n 1 — 2.1 —2 1 — 2答案：2n +1 — 2&设S n 为等比数列｛ a n ｝的前n 项和.若a i = 1,且3S ,2S 2, S 3成等差数列，则a * = _______________ . 解析：由 3S i,2S 2, S 3 成等差数列，得 4S 2= 3S i + S 3,即 3S 2 — 3S i = S 3 — S 2,贝U 3a 2= a ?,得公比 q = 3，所以 a n = a i q n 1 = 3n 1. 答案：3n—19. 已知数列｛a n ｝的首项为1, S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，S n +i = qS n + 1,其中q>0 , n € N . (1)若a 2, a 3, a 2 + a 3成等差数列，求数列｛a *｝的通项公式；2⑵设双曲线X 2— y2= 1的离心率为e n ,且e 2= 2,求e i + e 2+-+金a n解析：(1)由已知，S n +1 = qS n + 1 , S n + 2= qS n +1 + 1,两式相减得到 a n +2= qa n + i , n 》1. 又由 S 2= qS-i + 1 得到 a 2= qa 1,故 a n +1 = qa n 对所有n > 1都成立.所以数列｛a n ｝是首项为1,公比为q 的等比数列. 从而 a n = q n 1.由 a 2, a 3, a 2+ a 3 成等差数列，可得 2a 3= a ? + a ?+ a 3,5.等差数列｛a n ｝的公差为2,若 B . n(n — 1)解析：因为｛a n ｝为等差数列，且a i , a 2, a 5成等比数列，所以 a i (a i + 4d) = (a i + d)2，解得d所以 a 3= 2a 2，故 q = 2, 所以 a n = 2^1(n € N ).n — 1⑵由⑴可知，a n = q .2 ________________________________ _____________所以双曲线x 2 — y ?= 1的离心率e n= p 1 + a n = p 1 + )由 e 2 =，』1 + q 2= 2 解得 q = , 3.所以 e j + e 2+…+ e 2= (1 +1)+ (1 + q 2)+…+ [1 + q 2(n 1)] =n + [1 + q 2+・・・+ q 2( n _1)]2n q1=n + 1(3n — 1).10. (2018西安质检)已知等差数列｛a n ｝的各项均为正数，a 1= 1,前n 项和为S n ,数列｛b n ｝ 为等比数列，b 1= 1，且b 2S 2 = 6, b 2+足=8.(1)求数列｛a n ｝与｛b n ｝的通项公式；1 1 1 (2)求 §+S 2+…+ s n解析：(1)设等差数列｛a *｝的公差为d , d>0, ｛ b n ｝的公比为q ，则a n = 1 + (n — 1)d , b n = q n 1 依题意有^(2 + d尸6,q + 3 + 3d = 8d = 1 [d =— 3解得〈 ，或$3(舍去).q = 2 lq = 9故 a n = n , b n = 2n 1.1(2)由(1)知 S n = 1 + 2 + …+ n = ?n(n + 1),C" 1 1 1 11=2[(1 —1)+ (2—1+…+(n -不)] =2(1 -丄)n + 1 =2nn + 1.B 组能力提升练31. 设函数 f(x)= (x — 3) + x — 1, ｛a n ｝是公差不为 0 的等差数列，f(a 1)+ f(a 2)+…+ f(a 7)= 14, 则 a i + 82 +…+ a 7=( )A . 0 C . 14D . 21解析：■/ f(x)= (x — 3)3 + x — 11 =2 = S n n(n + 1 )2(1 -1n + 1),=(x—3)3+ (x—3) + 2,而y= x3+ x是单调递增的奇函数，••• f(x)= (x—3)3+ (x—3) + 2是关于点(3,2)成中心对称的增函数.又••• 2n｝是等差数列，f(a i)+ f(a2) + …+ f(a7)= 14= 7x 2,• f(a4)= 2,即(a4 —3)3+ (a4 —3) + 2 = 2,•- a4= 3,• a1+ a2+ …+ a7= 7a4= 21.答案：D—_I o _I o2. 已知等差数列｛a n｝的公差和首项都不等于0，且az®®成等比数列，则9=( )A . 2B . 3C. 5 D . 7解析：T等差数列｛a n｝中，a2, a4, a8成等比数列，• a4= a2a8, •(a1+ 3d)2= (a1+ d)(a1+ 7d), 2•- d = ap ,T d 丰 0, • d = a1,...a1 +a5+a9 =直=3.故选B. a2 + a3 5a1答案：B3. 定义"规范01数列” ｛a n｝如下:｛a n｝共有2m项，其中m项为0,m项为1,且对任意k w 2m, a1, a2,…，a k中0的个数不少于1的个数.若m= 4,则不同的"规范01数列”共有()A . 18 个B . 16个C. 14 个D. 12 个解析：由题意可得a1= 0, a8= 1, a2, a3,…，a7中有3个0、3个1，且满足对任意k< 8, 都有a1, a2,…，a k中0的个数不少于1的个数，利用列举法可得不同的“规范01数列” 有00001111,00010111,00011011,00011101,00100111,00101011,00101101,00110011,00110101,010 00111,01001011,01001101,01010011,01010101，共14 个.答案：C4. 5个数依次组成等比数列，且公比为一2，则其中奇数项和与偶数项和的比值为()21 2021C •— 10解析：由题意可设这5个数分别为a , — 2a,4a ,— 8a,16a ,故奇数项和与偶数项和的比值为答案：C5.若a , b 是函数f(x)= x 2— px + q(p>0, q>0)的两个不同的零点，且a ,b , — 2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p + q 的值等于 ___________ .解析：依题意有a , b 是方程x 2— px + q = 0的两根，则a + b = p , ab = q ,由p > 0, q>0可知 a > 0, b > 0.由题意可知 ab = (— 2)2= 4= q , a — 2= 2b 或 b — 2 = 2a ,将a — 2 = 2b 代入ab = 4可解得a = 4, b = 1,此时a + b = 5,将b — 2 = 2a 代入ab = 4可解得 a =1, b = 4,此时 a + b = 5，贝U p = 5，故 p + q = 9. 答案：96. ___________________________________ 已知a n = 3n (n € N *),记数列｛a n ｝的前n 项和为T n ,若对任意的n € N *, T n +3 k >3n — 6 恒成立，则实数 k 的取值范围是 .nn +1n +1解析：T n = 3J : =— 3+ \，所以「+ 3 =蔦，则原不等式可以转化为k >1 — 32 2 2 2 32n 一 4 2n 一 4 23* 恒成立，令 f(n) = —3^,当 n = 1 时，f(n)=— 3 当 n = 2 时，f(n)= 0,当 n = 3 时，f(n)2答案：k> —7•为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，长沙市计划用若干时间更换一万辆燃油 型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型车.今年初投入了电力型公交车 128辆，混合动力型公交车 400辆；计划以后电力型车每年的投入量比上 一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入 a 辆.(1) 求经过n 年，该市被更换的公交车总数S(n);(2) 若该市计划7年内完成全部更换，求 a 的最小值.解析：(1)设a n , b n 分别为第n 年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量.3依题意，得｛a n ｝是首项为128，公比为1 + 50% = 3的等比数列，｛b n ｝是首项为400,公差为a 的等差数列.所以｛a n ｝的前n 项和21 ~5a + 4a + 16a _ —2a — 8a — 2121，故选C .227,当n = 4时, f(n)=81， 即f(n)是先增后减, 2 2n = 3时，取得最大值27，所以kA^.nfn — 1 s{b n }的前 n 项和 T n = 400n + 2 —a. 所以经过n 年，该市被更换的公交车总数为T n + ■)— T n = - >0, n 1 n n + 1 n + 3'二数列｛T n ｝单调递增，1 二｛Tn ｝中的最小项为T l = 3.128 x 1 — S n =256 [©-1],⑵若计划7年内完成全部更换，则 S(7) > 10 000, 所以25637—1 + 400 X 7 + 三汽 > 10 000,16即 21a > 3 082,所以 a > 146；16. 又a € N *，所以a 的最小值为147.* 12 1&已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,点(n , S n )(n € N )在函数f(x) = * + 2x 的图象上. (1)求数列｛ a n ｝的通项公式; 1a n a n + 2• 丿的取值范围.(2)设数列「1的前n 项和为T n ,不等式T n >?log a (1 — a)对任意正整数n 恒成立，求实数a1 o 1 1 o 1 解析：(1) •••点(n , S n )在函数 f(x)= ?X 2+ 2x 的图象上，••• S n =討 + -n. 1 2 1当 n 》2 时，S n -1 = ^(n — 1) + 2(n — 1), 两式相减得a n = n.当n = 1时，a 1 = 0 = 2+ *= 1，符合上式, • a n = n(n € N *). 11 1 r1(2)由(1)得矿=击2 = 2 —n + 2 ,• 口=丄+丄+…+1a 1a 3 a 2a 4 a n a n +2丄n + 2 S(n )= S n + T n = 2561 + 400 n +1 2 =21- 丄+ 11n + 1 2 n1 1 1要使不等式T n>§log a(1 —a)对任意正整数n恒成立，只要3>§log a(1 —a)，即log a(1 —a)<log a a.1-1 —a>0, a>0 ,• • 0<a<1，…1 —a>a，…0< a<—,即实数a的取值范围为(0,=21”-。