专题02 指数型与对数型复合函数的性质A 组 基础巩固1．下列结论正确的是（ ）1=-B.lg(25)1+=C.1383272-⎛⎫=⎪⎝⎭D.24log 3log 6=【答案】 C. 【解析】A选项1=，B 选项 25lg(25)lg lg 1+≠+= .C 选项113133822327332---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. D 选项24log 3log 9=.故选C.2.若函数()log (3)1(0,a f x x a =-+>且1)a ≠的图像恒过定点P ,则P 的坐标是（ ）A.)0,3(B.4,0（）C.(3,1)D.(4,1)【答案】 D.【解析】∵函数()log (0,a f x x a =>且1)a ≠的图像恒过点(1,0)，则令31,x -=得4x =，此时log (3)11a y x =-+=，∴函数()log (3)1(0,a f x x a =-+>且1)x ≠的图像恒过点P (4,1)，故选D. 3.已知函数3log 2,0,()1,0,3x x x f x x ->⎧⎪=⎨⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎩则((2))f f -的值为（ ）A.4-B.2-C.0D. 2【答案】 C.【解析】由题意知：21(2)93f -⎛⎫-== ⎪⎝⎭，3((2))(9)log 92220f f f -==-=-=.4.设)(x f 是定义域为R 的偶函数，且在)0(∞+，单调递减，则 ( )A ．)31(log )3()3(24334f f f >>--B ．)3()3()31(log 34432-->>f f fC ．)3()3()31(log 43342-->>f f fD ．)31(log )3()3(23443f f f >>--【答案】A【解析】∵)(x f 是定义域为R 的偶函数，∴)3(log )3log ()31(log 222f f f =-=，又x y 3=是R 上的增函数， ∴3log 13324334<<<--，因为)(x f 在)0(∞+，单调递减，所以)31(log )3()3(24334f f f >>--；选A.5.已知14e a -=，ln0.9b =，1e 1log c π=，则（ ）A.a b c <<B.c b a <<C.a c b <<D.b a c << 【答案】D 【解析】1040ee 1a -<=<=，ln0.9ln10b =<=，11ee 11log log 1πec =>=，∴b a c <<，故D. 6．下列函数中，在区间()0,∞+上为增函数的是（ ）A ．()2log 5y x =+B ．13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭C．y =D ．1y x x=- 【答案】A【解析】A 中，函数()2log 5y x =+可看作由2log y t =，5t x =+复合而成的函数，而5t x =+递增，2log y t =递增，()2log 5y x =+在(0,)+∞上递增；B 中，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的底数为13，1013<<，∴函数在R 上递减，排除B ；C中，y =在(0,)+∞上递增，y =在(0,)+∞上递减，排除C ；D中，1y x x =-，1y x =在()0,∞+上递减，y x =-在()0,∞+上递减，故1y x x=-在(0,)+∞上递减，排除D ； 故选A 。

7．已知23a =，2323b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，232323c ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ） A ．a b c << B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b <<【答案】D【解析】由于指数函数23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的减函数，232221333⎛⎫⎛⎫∴=>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，a c b <<， 故选D 。

8．设31log 5a =，131log 5b =，153c -=，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c a b >> B ．b a c >> C ．b c a >> D ．c b a >>【答案】C 【解析】331log log 105a =<=，113311log log 153b =>=，105331c -=<=， 且c>0，b c a ∴>>.故选C 。

9.若幂函数()2()22m f x m m x =--在()0,+∞单调递减，则(2)f =（ ）A.8B.3C.-1D.12【答案】 D.【解析】 ∵()f x 是幂函数，∴222=1,m m --解得3m =或1,m =-又函数()f x 在()0,+∞单调递减，则1,m =-即有幂函数1()f x x -=，∴1(2)2f =，故选D.10.若函数()213()log 45f x x x =-++，则()f x 的单调递增区间为（ ）A ．()2,5B ．()1,2-C ．()2,+∞D ．(),2-∞【答案】 A ． 【解析】令245t x x =-++，则13log y t =，由真数0t >得15x -<<，∵抛物线245t x x =-++的开口向下，对称轴2x =，∴245t x x =-++在区间()1,2-上单调递增，在区间()2,5上单调递减，又∵13log y t =在定义域上单调递减，由复合函数的单调性可得：()213()log 45f x x x =-++的单调递增区间为()2,5.故选A11．图中曲线是对数函数log a y x =的图象，已知a43，35，110四个值，则相应于1C ，2C ，3C ，4C 的a 值依次为( )A，43，35，110 B43，110，35 C ．4335，110D ．43，110，35【答案】A 【解析】由已知中曲线是对数函数log ay x =的图象，由对数函数的图象和性质，可得1C ，2C ，3C ，4C 的a 值从小到大依次为：4C ，3C ，2C ，1C ， 由a43，35，110四个值， 故1C ，2C ，3C ，4C 的a43，35，110， 故选：A ．12．设函数()()2log 1,00x x f x x ⎧+≥⎪=<，则满足()12f x +<的x 的取值范围为（ ）．A ．()4,3-B ．()5,2-C ．()3,4-D ．()()34-∞-+∞,,【答案】B 【解析】由题意，()()2log 1,00x x f x x ⎧+≥⎪=<，所以()()2lo 1g 2,11x x x f x ⎧+≥-+=<-，①当1x ≥-时，()12f x +<，即()2log 22x +<， 解得2x <，所以12x -≤<；②当1x <-时，()12f x +<2<， 解得5x >-，所以51x -<<-；综上是，()12f x +<时x 的取值范围为()5,2-. 故选：B13.计算下列各式：（1）)2 （2）92log 2663log 4log 3.2++ 【答案】：（1）2 （2）3 【解析】：)()0(1)213|2|422.ππππ=+-+-=-+-=92332log 2662log2666log 2663(2)log 4log 322log 2log 3log 23log 2log 333.++=+-+=++=14.已知函数()22()log 43f x ax x =-+.（1）若()f x 的定义域为R ，求a 的取值范围； （2）若()f x 的值域为R ，求a 的取值范围.【答案】（1）4+3a ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭，；（2）403a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，. 【解析】（1）∵函数()f x 的定义域为R ，∴2430ax x μ=-+>在R 上恒成立 分类讨论：当0a =时，430x μ=-+>不恒成立； 当0a ≠时，0416203a a a >⎧⇒>⎨∆=-<⎩综上，4,3a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭. （2）∵函数()f x 的值域为R ，∴243ax x μ=-+能取到大于0的一切实数；分类讨论：当0a =时，43x μ=-+，满足题意；当0a ≠时，04016203a a a >⎧⇒<≤⎨∆=-≥⎩ 综上，403a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，.B 组 能力提升15．下列四个图中，函数10ln 11x y x +=+的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】函数10ln 11x y x +=+的图象可以看作是由函数10ln x y x=的图象向左移动1个单位得到的，而函数10ln x y x=是奇函数，所以排除A 和D ；又因为当0x >时，ln 111,01x x x ++>∴>+，故选C 。

16．已知函数()32|log |,031108,333x x f x x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩，若方程()f x m =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x 满足1234x x x x <<<则()()341233x x x x --的取值范围是（ ）A ．()0,3B ．(]0,4C ．(]3,4D ．()1,3【答案】 A【解析】将问题进行转化，借助函数的图象，确定1x ，2x ，3x ，4x 之间关系，来解决问题．解：作出函数()f x 的图象如图：根据条件，结合图形可知01m <<，且12=1x x ，34=10x x +，其中334x << 则()()()()()()()23433333123331033754x x x x x x x x x --=---=--=--+，中其中334x <<，因为()2354x --+在()3,4上单调递增，故()()()3412330,3x x x x --∈，故选A ．17．已知A ，B 是函数()21x f x 图象上纵坐标相等的两点，线段AB 的中点C 在函数()2x g x 的图象上，则点C 的横坐标的值为 ． 【答案】12． 【解析】（湖北咸宁 吴威）解法一：不妨设11,12x A x ，22,2x B x ，33,21x C x ，由题意得312132122212x x x x x x ，令3121222101x x x t t ＜＜，则222log 1log 12log t t t ，解得22t， 故212x ． 解法二：21,0()2112,0x xxx f x x ≥＜， 设A ，B 的坐标分别为11,21x x ，22,12x x ．则122112x x ，线段AB 的中点121222,22x x x x C ， ∵线段AB 的中点C 在函数()2xg x 的图象上，∵121222222x x x x ，把12222x x ，代入121222222x x x x ，化为：2222(12)(22)2x x x ，化为：22222x ，12222x ，∵12122x x ，解得121x x ．则点C 的横坐标的值为12． 18．若函数()f x 对定义域内的任意12,x x ，当()()12f x f x =时，总有12x x =，则称函数()f x 为单调函数，例如函数()f x x =是单纯函数，但函数()2f x x =不是单纯函数，下列命题：①函数()2log ,2{1,2x x f x x x ≥=-<是单纯函数；②当2a >-时，函数()21x ax f x x++=在0,是单纯函数；③若函数()f x 为其定义域内的单纯函数，12x x ≠，则()()12f x f x ≠④若函数()f x 是单纯函数且在其定义域内可导，则在其定义域内一定存在0x 使其导数()0'0f x =，其中正确的命题为__________．（填上所有正确的命题序号） 【答案】①③ 【解析】由题设中提供的“单纯函数”的定义可知：当函数是单调函数时，该函数必为单纯函数。