绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试文 科 数 学注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。

2．回答第I 卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{|12}A x x =-<<，{|03}B x x =<<，则AB = A ．(1,3)- B ．(1,0)-C ．(0,2)D ．(2,3)2．若a 为实数，且231aii i+=++，则a = A ．-4B ．-3C ．3D ．43．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论不正确的是A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著2004年 2005年 2006年 2007年 2008年 2009年 2010年 2011年 2012年 2013年190020002100220023002400250026002700B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 4．向量(1,1)=-a ，(1,2)=-b ，则(2)+⋅=a b aA ．-1B ．0C ．1D ．35．设S n 等差数列{}n a 的前n 项和。

若a 1 + a 3 + a 5 = 3，则S 5 =A ．5B ．7C ．9D ．116．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为A ．18B ．17C ．16 D ．157．已知三点(1,0)A ，B ，C ，则ΔABC 外接圆的圆心到原点的距离为A ．53B C D ．438．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。

执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a =A ．0B ．2C ．4D ．149．已知等比数列{}n a 满足114a =，a 3a 5 = 44(1)a -，则a 2 =A ．2B ．1C ．12 D ．1810．已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB = 90°，C 为该球面上的动点。

若三棱锥O —ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π11．如图，长方形ABCD 的边AB = 2，BC = 1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠AOB = x 。

将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图象大致为12．设函数21()ln(1||)1f x x x=+-+，则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是A．1(,1)3B．1(,)(1,)3-∞+∞C．11(,)33-D．11(,)(,)33-∞-+∞第II卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．已知函数3()2f x ax x=-的图象过点(1,4)-，则a = _________。

14．若x，y满足约束条件50210210x yx yx y+-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩，则2z x y=+的最大值为__________。

15．已知双曲线过点，且渐近线方程为12y x=±，则该双曲线的标准方程为__________。

16．已知曲线lny x x=+在点(1,1)处的切线与曲线2(2)1y ax a x=+++相切，则a = __________。

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）ΔABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC。

（1）求sinsinBC∠∠；（2）若60BAC∠=，求B∠。

18．（本小题满分12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表。

A地区用户满意度评分的频率分布直方图B 地区用户满意度评分的频数分布表（1）在答题卡上作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；B 地区用户满意度评分的频率分布直方图（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：O频率/50 60 70 80 90 100 满意度评分40 50 60 70 80 90 满意度评分O 100频率/估计哪个地区的满意度等级为不满意的概率大？说明理由19．（本小题满分12分）如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB= 16，BC= 10，AA1= 8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E = D1F = 4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。

（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值。

20．（本小题满分12分）已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>，点在C上。

（1）求C的方程；（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M。

证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值。

21．（本小题满分12分）已知函数()ln(1)f x x a x=+-。

（1）讨论()f x的单调性；（2）当()f x有最大值，且最大值大于2a - 2时，求a的取值范围。

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

作答时请写清题号22．（本小题满分10分）选修4 - 1：几何证明选讲如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与ΔABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点。

（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE MN==EBCF的面积。

23．（本小题满分10分）选修4 - 4：坐标系与参数方程GAE FONDB CMDD1C1A1EFA BCB1在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，t ≠ 0），其中0 ≤ α < π，在以O为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：2sin ρθ=，C 3：ρθ=。

（1）求C 2与C 3交点的直角坐标；（2）若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求||AB 的最大值。

24．（本小题满分10分）选修4 - 5：不等式选讲设a ，b ，c ，d 均为正数，且a + b = c + d ，证明：（1）若ab > cd ；（2是||||a b c d -<-的充要条件。

参考答案一．选择题 （1）A （2）D （3）D （4）C （5）A （6）D（7）B（8）B（9）C（10）C（11）B（12）A二．填空题（13）-2（14）8（15）2214x y -= （16）8三．解答题 （17）解： （Ⅰ）由正弦定理得,sin sin sin sin AD BD AD DCB BADC CAD==∠∠∠∠ 因为AD 平分,2BAC BD DC ∠=，所以sin 1sin 2B DC C BD ∠==∠（Ⅱ）因为180(),60C BAC B BAC ∠=-∠+∠∠=，所以1sin sin()sin 2C BAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠由（Ⅰ）知2sin sin B C ∠=∠，所以tan B ∠=，即30B ∠= （18）解： （Ⅰ）通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B 地区用户满意度评分的平均值高于A 地区用户满意度评分的平均值；B 地区用户满意度评分比较集中，而A 地区用户满意度评分比较分散。

（Ⅱ）A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大。

记A C 表示事件：“A 地区用户的满意度等级为不满意”； 记B C 表示事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意”。

由直方图得()A P C 的估计值为(0.010.020.03)100.6++⨯=()B P C 的估计值为(0.0050.02)100.25+⨯=所以A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大。

（19）解：（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF 如图：（Ⅱ）作EM AB ⊥，垂足为M ，则1114,12,8AM A E EB EM AA =====因为EHGF 为正方形，所以10EH EF BC ===于是6,10,6MH AH HB ====因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为97（79也正确） （20）解：（Ⅰ）由题意有224212a a b =+=， 解得228,4a b ==所以C 的方程为22184x y += （Ⅱ）设直线1122:(0,0),(,),(,),(,)M M l y kx b k b A x y B x y M x y =+≠≠将y kx b =+代入22184x y +=得 222(21)4280k x kbx b +++-=故12222,22121M M M x x kb b x y kx b k k +-===+=++ 于是直线OM 的斜率12M OM M y k x k ==-，即12OM k k =- 所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值。

（21）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为1(0,),()f x a x'+∞=- 若0a ≤，则()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增若0a >，则当1(0,)x a ∈时，()0f x '>；当1(,)x a ∈+∞时，()0f x '<。

所以()f x 在1(0,)a单调递增，在1(,)a+∞单调递减。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞无最大值；当0a >时，()f x 在1x a=取得最大值，最大值为111()ln()(1)ln 1f a a a a a a=+-=-+-因此1()22f a a>-等价于ln 10a a +-<令()ln 1g a a a =+-，则()g a 在(0,)+∞单调递增，(1)0g = 于是，当01a <<时，()0g a <；当1a >时，()0g a > 因此，a 的取值范围是(0,1) （22）解：（Ⅰ）由于ABC ∆是等腰三角形，AD BC ⊥，所以AD 是CAB ∠的平分线又因为O 分别与AB ，AC 相切于点E ，F ，所以AE AF =，故AD EF ⊥从而//EF BC（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AE AF =，AD EF ⊥，故AD 是EF 的垂直平分线.又EF 为O 的弦，所以O 在AD 上连结,OE OM ，则OE AE ⊥ 由AG 等于O 的半径得2AO OE =，所以30OAE ∠=，因此ABC ∆和AEF ∆都是等边三角形因为AE =4,2AO OE ==因为12,2OM OE DM MN ====1OD =，于是5,AD AB ==所以四边形EBCF的面积为221122⨯-⨯= （23）解：（Ⅰ）曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，曲线3C的直角坐标方程为220x y +-=.联立222220,0x y y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩ 解得0,0,x y =⎧⎨=⎩或3.2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2C 与3C 交点的直角坐标为(0,0)和3)2（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<因此A 的极坐标为(2sin ,)αα，B的极坐标为,)αα所以|||2sin |4|sin()|3AB πααα=-=-当56πα=时，||AB 取得最大值，最大值为4 （24）解：（Ⅰ）因为22a b c d =++=++由题设,a b c d ab cd +=+>得22>>（Ⅱ）（ⅰ）若||||a b c d -<-，则22()()a b c d -<-，即22()4()4a b ab c d cd +-<+-因为a b c d +=+，所以ab cd >>>22>，即a b c d ++>++因为a b c d +=+，所以ab cd >，于是2222()()4()4()a b a b ab c d cd c d -=+-<+-=- 因此||||a b c d -<->||||a b c d -<-的充要条件。