第二轮 河北中考题型专题复习 专题复习(一) 数学思想方法类型1 整体思想整体思想是一种解题思想，它主要渗透在解题步骤当中．常见的有：1．求代数式的值时，不是求出代数式中每个字母的值，而是求代数式中整体某一个部分的值． 2．求零散图形的面积时，利用它们的结构特点或全等变换进行整体求出．这种思想可以应用到各种类型的题之中．(2017·北京)如果a 2＋2a －1＝0，那么代数式(a －4a )·a2a －2的值是(C)A ．－3B ．－1C ．1D ．3【思路点拨】 先化简所求代数式，然后把方程变形成a 2＋2a ＝1，利用整体代入的方法求代数式的值．1．(2018·保定二模)若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋6＝0的一个根为x ＝－2，则代数式6a －3b ＋6的值为(D)A ．9B ．3C ．0D ．－32．(2018·唐山路南区一模)已知a －b ＝3，那么1－a ＋b ＝(A)A ．－2B ．4C ．1D ．－13．(2018·石家庄二模)已知a －b ＝1，则a 3－a 2b ＋b 2－2ab 的值为(C)A ．－2B ．－1C ．1D ．2 4．(2018·石家庄裕华区一模)若a 2－2a －3＝0，则代数式a 2·2－a 3的值是(D)A ．0B ．－a23C ．2D ．－125．(2018·孝感)已知x ＋y ＝43，x －y ＝3，则式子(x －y ＋4xy x －y )(x ＋y －4xyx ＋y )的值是(D)A ．48B ．12 3C ．16D ．126．(2018·南充)已知1x －1y ＝3，则代数式2x ＋3xy －2yx －xy －y的值是(D)A ．－72B ．－112 C.92D.347．(2018·云南)已知x ＋1x ＝6，则x 2＋1x2＝(C)A ．38B ．36C ．34D ．328．(2018·菏泽)若a ＋b ＝2，ab ＝－3，则代数式a 3b ＋2a 2b 2＋ab 3的值为－12．9．(2018·唐山丰南区二模)如图，点E 是矩形ABCD 内任一点．若AB ＝30，BC ＝40，则图中阴影部分的面积为600．10．我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图)．如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为a ，较长的直角边为b ，那么(a＋b)2的值为49．11．(2018·滨州)若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －my ＝5，2x ＋ny ＝6的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，则关于a ，b 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3（a ＋b ）－m （a －b ）＝5，2（a ＋b ）＋n （a －b ）＝6的解是⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32b ＝－12． 类型2 分类思想分类讨论思想常见的六种类型：1．方程：若含有字母系数的方程有实数根，要考虑二次项系数是否等于0，进行分类讨论．2．等腰三角形：如果等腰三角形给出两条边求第三条边或给出一角求另外两角时，要考虑所给的边是腰还是底边，所给出的角是顶角还是底角进行分类讨论．3．直角三角形：在直角三角形中给出两边的长度，确定第三边时，若没有指明直角边和斜边，要注意分情况进行讨论(分类讨论)，然后利用勾股定理即可求解．4．相似三角形：若题目中出现两个三角形相似，则需要讨论各边的对应关系；若出现位似，则考虑两个图形在位似中心的同旁或两旁两种情况讨论．5．一次函数：已知一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，求k 的值，常分直线交坐标轴于正半轴和负半轴两种情况讨论；确定反比例函数与一次函数交点个数，常分第一、三象限或第二、四象限两种情况讨论．6．圆：圆的一条弦(直径除外)对两条弧，常分优弧和劣弧两种情况讨论；求圆中两条平行弦的距离，常分两弦在圆心的同旁和两旁两种情况讨论．(2017·孝感)已知半径为2的⊙O 中，弦AC ＝2，弦AD ＝22，则∠COD 的度数为30°或150°．【思路点拨】 先根据等边三角形的性质与判定、勾股定理的逆定理分别求出∠AOC 和∠AOD 的度数，再根据点D 位置的不确定性进行分类讨论，求出∠COD 的度数．1．(2018·冀卓二模)已知x 2＋4mx ＋16是完全平方式，则m 的值为(C)A ．2B ．4C ．±2D ．±4 2．(2018·乐山)已知实数a ，b 满足a ＋b ＝2，ab ＝34，则a －b ＝(C)A ．1B ．－52C ．±1D ．±523．(2018·安顺)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x 2－7x ＋10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是(A)A ．12B ．9C ．13D ．12或94．(2018·潍坊)如图，菱形ABCD 的边长是4厘米，∠B ＝60°，动点P 以1厘米/秒的速度自A 点出发沿AB 方向运动至B 点停止，动点Q 以2厘米/秒的速度自B 点出发沿折线BCD 运动至D 点停止．若点P ，Q 同时出发运动了t 秒，记△BPQ 的面积为S 平方厘米，下面图象中能表示S 与t 之间的函数关系的是(D)A B C D5．(2018·齐齐哈尔)若关于x 的方程1x －4＋m x ＋4＝m ＋3x 2－16无解，则m 的值为－1或5或－13．6．(2017·随州)在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，点D 在边AB 上，且AD ＝2，点E 在边AC 上，当AE ＝53或125时，以A ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似．7．(2017·兰州)如图，在平面直角坐标系xOy 中，▱ABCO 的顶点A ，B 的坐标分别是A(3，0)，B(0，2)，动点P 在直线y ＝32x 上运动，以点P 为圆心，PB 长为半径的⊙P 随点P 运动，当⊙P 与▱ABCO 的边相切时，P 点的坐标为(0，0)或(23，1)或(3－5，9－352)．类型3 数形结合思想数形结合思想常见的四种类型：1．实数与数轴：实数与数轴上的点具有一一对应关系，因此借助数轴观察数的特点，直观明了．2．在解方程(组)或不等式(组)中的应用：利用函数图象解决方程问题时，常把方程根的问题看作两个函数图象的交点问题来解决；利用数轴或函数图象解有关不等式(组)的问题更直观、形象，易于找出不等式(组)解的公共部分或判断不等式组有无公共解．3．在函数中的应用：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法，函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法．4．在几何中的应用：对于几何问题，我们常通过图形找出边、角的数量关系，通过边、角的数量关系，得出图形的性质等．如图，抛物线y ＝－2x 2＋4x 与x 轴交于点O ，A ，把抛物线在x 轴及其上方的部分记为C 1，将C 1以y 轴为对称轴作轴对称得到C 2，C 2与x 轴交于点B.若直线y ＝x ＋m 与C 1，C 2共有3个不同的交点，则m 的取值范围是(A)A ．0＜m ＜98B.98＜m ＜258 C ．0＜m ＜258D ．m ＜98或m ＜258【思路点拨】 首先求出点A 和点B 的坐标，然后求出C 2解析式，分别求出直线y ＝x ＋m 与抛物线C 1相切时m 的值以及直线y ＝x ＋m 过原点时m 的值，结合图形即可得到答案．1．(2018·枣庄)实数a ，b ，c ，d 在数轴上的位置如图所示，下列关系式不正确的是(B)A ．|a|＞|b|B ．|ac|＝acC ．b ＜dD ．c ＋d ＞02．(2018·保定二模)已知一次函数y ＝kx －3，且y 随x 的增大而增大，那么它的图象不经过(B)A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．(2018·河北联考)如图，数轴上表示2的数对应的点为A 点．若点B 为在数轴上到点A 的距离为1个单位长度的点，则点B 所表示的数是(D)A.2－1B.2＋1C ．1－2或1＋ 2 D.2－1或2＋14．(2018·贵阳)已知二次函数y ＝－x 2＋x ＋6及一次函数y ＝－x ＋m ，将该二次函数在x 轴上方的图象沿x 轴翻折到x 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数(如图所示)，当直线y ＝－x ＋m 与新图象有4个交点时，m 的取值范围是(D)A ．－254＜m ＜3B ．－254＜m ＜2C ．－2＜m ＜3D ．－6＜m ＜－25．(2018·白银)如图，一次函数y ＝－x －2与y ＝2x ＋m 的图象相交于点P(n ，－4)，则关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋m ＜－x －2，－x －2＜0的解集为－2＜x ＜2．类型4 转化思想化归的思想是指在解决问题的过程中，对问题进行转化，将“未知”转化为“已知”，将“陌生”转化为“熟悉”，将“复杂”转化为“简单”的解题方法．化归思想常见的六种类型：1．在解方程和方程组中的应用：通过消元将二元一次方程组转化为一元一次方程；通过降次把一元二次方程转化为一元一次方程；通过去分母把分式方程转化为整式方程．2．多边形化为三角形：解决平行四边形、正多边形的问题通过添加辅助线转化为全等三角形、等腰三角形、直角三角形去解决．3．立体图形转化为平面图形：立体图形的展开与折叠、立体图形的三视图体现了立体图形与平面图形之间的相互转化．4．一般三角形转化为直角三角形：通过作已知三角形的高，将问题转化为直角三角形问题． 5．化不规则图形为规则图形：根据图形的特点进行平移、旋转、割补等方法将不规则图形的面积转化为规则图形(如三角形、矩形、扇形等)面积的和或差进行求解．6．转化和化归在圆中的应用：圆中圆心角与圆周角、等弧与等弦、等弧与等弧所对的圆周角都是可以相互转化的．如图，在扇形OAB 中，C 是OA 的中点，CD ⊥OA ，CD 与AB ︵交于点D ，以O 为圆心，OC 的长为半径作CE ︵交OB 于点E.若OA ＝4，∠AOB ＝120°，则图中阴影部分的面积为43π＋23．(结果保留π)【思路点拨】 连接OD ，根据点C 为OA 的中点可得∠CDO ＝30°，继而可得∠DOC ＝60°，求出扇形AOD 的面积，最后用S 阴影＝S 扇形AOB －S 扇形COE －(S 扇形AOD －S △COD )即可求出阴影部分的面积．1．(2018·张家口二模)三个全等三角形按如图的方式摆放，则∠1＋∠2＋∠3的度数是(D)A ．90°B ．120°C ．135°D ．180°2．(2018·保定竞秀区模拟)如图是某商品标志的图案，AC 与BD 是⊙O 的两条直径，首尾顺次连接点A ，B ，C ，D ，得到四边形ABCD.若AC ＝10 cm ，∠BAC ＝36°，则图中阴影部分的面积为(B)A ．5π cm 2B ．10π cm 2C ．15π cm 2D ．20π cm23．(2018·河北中考预测)如图，点E 在边长为10的正方形ABCD 内，满足∠AEB ＝90°，则阴影部分的面积的最小值是(A)A ．75B ．100－2532C.2532D ．254．(2018·河北一模)如图，矩形ABCD 的边AB ＝1，BE 平分∠ABC ，交AD 于点E.若点E 是AD 的中点，以点B 为圆心，BE 为半径画弧，交BC 于点F ，则图中阴影部分的面积是(B)A ．2－π4B.32－π4C ．2－π8D.32－π85．(2018·东营)如图所示，圆柱的高AB ＝3，底面直径BC ＝3，现在有一只蚂蚁想要从A 处沿圆柱表面爬到对角C 处捕食，则它爬行的最短距离是(C)A ．31＋πB ．3 2 C.34＋π22D ．31＋π26．(2018·邢台二模)在宽为20米、长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，则道路的宽为(C)A ．5米B ．3米C ．2米D ．2米或5米7．(2018·宁波)在矩形ABCD 内，将两张边长分别为a 和b(a ＞b)的正方形纸片按图1，图2两种方式放置(图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S 1，图2中阴影部分的面积为S 2.当AD －AB ＝2时，S 2－S 1的值为(B)图1 图2A ．2aB ．2bC ．2a －2bD ．－2b8．(2017·福建)两个完全相同的正五边形都有一边在直线l 上，且有一个公共顶点O ，其摆放方式如图所示，则∠AOB 等于108度．类型5 方程、函数思想方程与函数思想是一种重要的数学思想：1．在某些图形的折叠问题中，求线段长时，通常利用勾股定理建立方程模型来解决问题．2．在运动中求最大值或最小值时，通常可以考虑将问题转化为函数的最值讨论问题，利用二次函数的顶点坐标或函数取值范围解决．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6 cm ，BC ＝2 cm.点P 在边AC 上，从点A 向点C 移动，点Q 在边CB 上，从点C 向点B 移动．若点P ，Q 均以1 cm/s 的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ ，则线段PQ 的最小值是(C)A ．20 cmB ．18 cmC ．2 5 cmD ．3 2 cm【思路点拨】根据P ，Q 两点的运动方向和运动速度，用含t 的式子表示出PC ，CQ 的长度，进而用勾股定理表示出PQ 2，根据二次函数的性质在0≤t ≤2的范围内求出PQ 2的最小值，则PQ 的最小值即可求出．1．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于(B)A.35B.53C.73D.542．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，BC＝8 cm，点P从点A沿AC向点C以1 cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2 cm/s的速度运动(点Q运动到点B停止)，在运动过程中，四边形PABQ面积的最小值为(C) A．19 cm2B．16 cm2C．15 cm2D．12 cm2。