平面，再证另一些元素
推论3:经过两条平行直线有且 也在这个平面内。
只有一个平面。
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3
知识探究: 公理定理的简单应用
知识点一 点、线共面 例 1 已知直线 a∥b，直线 l 与 a、b 都相交，求证：
过 a、b、l 有且只有一个平面． 分析 由题目可获取以下主要信息： ①两线平行； ②第三条线与它们都相交． 解答本题可先思考让其中部分元素定面．再证其 余元素也在面内．
证明 ∵AB∩α＝P，CD∩α＝P，
∴A B ∩CD＝P.
∴AB，CD 可确定一个平面，设为β.
∵A ∈A B ，C∈CD，B ∈A B ，D∈CD，
∴A∈β，C∈β，B∈β，D∈β.
∴AC β，BD β，平面α，β相交．
∵A B ∩α＝P，A C∩α＝Q，B D∩α＝R ，
∴P，Q，R 三点是平面α与平面β的公共点．
证明 设 Q 是 DD1 的中点，连接 EQ，QC1， ∵E 是 AA1 的中点，∴EQ//A1D1， 又在矩形 A1B1C1D1 中，A1D1//B1C1， ∴E Q//B 1C1，
∴四边形 EQC1B1 为平行四边形，∴B1E//C1Q，
又∵Q、F 是矩形 DD1C1C 的两边的中点，
∴QD//C1F，∴四边形 DQC1F 为平行四边形，
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12
变式训练 4 已知在棱长为 a 的正方体
ABCD—A′B′C′D′中，M、N 分别为 CD、
AD 的中点．
求证：四边形 MNA′C′是梯形． 证明 如图所示，连接 AC，
∵M、N 分别为 CD、AD 的中点，
∴MN
=//
1 2AC.
由正方体性质知 AC 綊 A′C′，
∴MN =// 12A′C′，
6．平面几何中的定义、定理等，对于非平面图形， 需要经过证明才能应用，不能盲目应用.
∴四边形 MNA′C′是梯形．
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13
课堂小结
1．三个公理的作用：
公理 1——判定直线在平面内的依据；
公理 2——判定点共面、线共面的依据；
公理 3——判定点共线、线共点的依据．
2．注意事项
(1)应用公理 2 时，要注意条件“三个不共线的
点”．事实上，共线的三点是不能确定一个平面的．
(2)在立体几何中，符号“∈”与“ ”的用法与读
∴P，Q，R 都在α与β的交线上，故 P，Q，R 三点
共线．
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6
•变式训练3
•例、正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C与平 面BDC1交于O，AC、BD交于点M．
求证：点C1、O、M共线．
D1
C1
A1
B1
D A
O C
M B
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7
知识探究: 公理定理的简单应用
平行公理的应用 例 4 如图所示，E、F 分别是长方体 ABCD—A1B1C1D1
一个公共点，那么它们有且只有 一条过该点的公共直线
证明线共点：先确定两
条直线交点，再证交点
公理2:经过不在同一条直线上 的三点有且只有一个平面。
在第三条直线上。
推论1:经过一条直线和这条直线 外的一点有且只有一个平面。
证明点共面或线共面：
推论2: 经过两条相交直线有且 先由一些元素确定一个
只有一个平面。
的棱 A1A、C1C 的中点．
求证：四边形 B1EDF 是平行四边形．
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知识探究: 公理定理的简单应用
证明线共点问题 例 3 在四面体 ABCD 中，E、G 分别为 BC、AB
的中点，F 在 CD 上，H 在 AD 上，且有 DF∶FC ＝DH∶HA＝2∶3， 求证：EF、GH、BD 交于一点．
§4 空间图形的基本关系与公理
4.2空间图形的公理的应用
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1
学习目标
掌握公理、定理的内容；能运用公理 定理解答一些简单问题.
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2
平面的基本性质
基本题型
公理1: 如果一条直线上的两点在 一个平面内，那么这条直线上的
证明点共线：证明这些
所有点都在这个平面内。
点同时在两相交平面内
公理3:如果两个不重合的平面有
则 O∈平面 ABD，
同理 O∈平面 BCD.源自∴O∈平面 ABD∩平面 BCD＝BD.
则 O 在直线 BD 上．
所以 EF、GH、BD 交于一点．
点评 证明若干条线共点，一般可先证其中两条相
交于一点，再证其他线也过该点即可，本题在解答
中应用了两个相交平面的公共点必然在它们的交
线上这一结论．
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10
∴C1Q//DF ，又∵B 1E //C1Q，∴B 1E //DF ，
∴四边形 B1EDF 是平行四边形．
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11
点评 平行四边形是平面图形，若能证得四边形的 一组对边平行且相等，那么这个四边形就是平行四 边形．公理 4 是我们证明分别在两个平面的两条直 线平行的常用工具，往往通过“中间量”即第三条 直线来实现．
证明 ∵E，G 分别为 BC，AB 的中点，∴GE∥AC. 又∵DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3，∴FH∥AC， 从而 FH∥GE.故 E，F，H，G 四点共面．
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9
又∵GE≠FH 且 GH∥FH.
∴四边形 EFHG 是一个梯形，则 GH 和 EF 延长后
交于一点设为 O.
又 O∈GH，GH 平面 ABD，
法不要混淆．
(3)解决立体几何问题时注意数学符号、文字语言、
图形语言间的相互转化.
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课堂小结
4．平行公理表明，空间中平行于同一条直线的所 有直线都互相平行，它给出了判断空间两条直线 平行的依据，其主导思想是利用第三条直线作为 联系两条直线的中间环节．
5．要正确运用等角定理，必须抓住“角的两边分 别平行”这个条件．要注意，等角定理的逆命题 不成立．
点评 证明多线共面的方法是先由公理 2 确定一个平面，
再利用公理 1 依次证明其余精选各课件线也在这个平面内．
4
变式训练 1 两两相交且不过同一个点的三条直线
必在同一平面内．
已知 如图所示，l1∩l2＝A， l2∩l3＝B，l1∩l3＝C. 求证证明 直线 l1、l2、l3 在同一平面内．
∵l1∩l2＝A，∴l1 和 l2 确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.
又∵l2 α，∴B∈α.
同理可证 C∈α. 又∵B∈l3，C∈l3，∴l3
α.
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5
∴直线 l1、l2、l3 在同一平面内．
变式训练 2 如图所示，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A，D 与 B，C
分别在平面 α 的两侧， AC∩α＝Q，BD∩α＝R.
求证：P、Q、R 三点共线．