第五章 薄板的小挠度弯曲
•
板是工程中常用的构件，当外荷载作用方
向平行于板面且沿板厚均匀分布且不发生失稳
现象时，可以处理为平面应力问题；当外荷载
作用方向垂直于板面时，则属于弹性力学的空
间问题。由于数学上处理空间问题的复杂性，
要求得满足全部基本方程和边界条件的精确解
非常困难，这就需要引入简化计算的近似假设。
• 在上述假设基础上建立起来的弹性薄板的小挠度理论， 属于薄板弯曲的经典理论，它在许多工程问题的分析 计算中，已得到广泛的应用。
§5-2 薄板内力
• 根据§5-1中的三个基本假设，利用弹性力学的 平衡微分方程、几何方程和物理方程，可以将 薄板内任一点的位移分量、应变分量、应力分 量和板横截面上的内力，都用挠度w来表示。 下面就来建立这些基本关系式。
w z
0
再由式（a）的第五、第六式，有
uw vw
xy
v x
u y
（a）
z x z y
u-z w xf1x,y -v z w yf2x,y
由第三个假设：（u）z=0=0和（v）z=0=0可 知，f1(x,y)=f2(x,y)=0，于是有
yz
w y
v z
0
xz
u z
w x
z z h 0
2
z
z h 2
q
（d）
将式（5-3）代入方程（c），经积分后，利用边 界条件（d）的前三式，不难得到以下结果:
zx
E
21 2
z2
h2 4
x
2
w
zy
E
21 2
z2
h2 4
y
2w
（5-4）
z61 E-h32 1 2h z21h z22w（5-5）
0
xz
yz
z
0
x y z
（c）
这里q为薄板单位面积 内的横向荷载。：
如体力分量FZ及下表面上的 面力不等于零，对簿板来说， 可以归入板上表面的面力， 这样处理只会影响次要应力 σz，于是板上、下表面的 静力边界条件为：
z x z h 0
2
z y z h 0 2
y y 2w 2z
xy 2 x 2 w yz
（5-2）
x
u x
v y y
z
w z
0
xy
v x
u y

yz
w y
v z
0
xz
u z
w x
0
由此可见，应变分量εx,εy,γxy也是沿板厚呈线性分布， 在中面为零，在上、下板面处达极值。
二、薄板中的应力分量表示式
• 根据上述的第一个和第二个假设，物理
h
Mx
2 h
z
xdz
2
h
My
2 h
z
ydz
2
h
Mxy
2 h
z
xydz
2
阴影微分面单位宽度上的正应力和 切应力的主矢量分别为σxdz，σydz 和τxy=τyxdz。由于σx，σy，τxy=τyx沿 板厚按线性规律分布，以及分布的 反对特性，所以，它们在板的全厚 度上的主矢量为零。
基尔霍夫假设
• （1）直法线假设 • （2）σz引起的变形略去不计 • （3）中面内各点只有垂直位移w
基尔霍夫假设
• （1）变形前垂直于薄板中面的直线段（法 线）在变形后仍保持为直线，并垂直于变 形后的中面，且其长度不变，称为直法线 假设，它与材料力学中梁弯曲问题的平面 假设相似。若将板中面作为xOy坐标面，z 轴垂直向下，则根据此假设，有εz=0和 γxz=γyz=0。
式（5-4）就是切应力τxz和τyz与挠度w的关系 式，它们表明，剪应力τxz和τyz沿板厚方向呈抛物 线分布，在中面处达最大值，这也与梁弯曲时剪应 力沿梁高方向的变化规律相同。
σz沿板厚呈三次抛物线规律分布（图5-2）。
三、薄板横截面上的内力表示式
• 下面要建 立这些合 成内力与 挠度之间 的关系。
基尔霍夫假设
• （以2略）去与不σ计x，。σy ， τxy等相比，σz很小，在计算变形时可 • （3）薄板中面内各点只有垂直位移w而无x方向和y方
向的位移，即 • （u）z=0=0，（v）z=0=0，（w）z=0=w（x,y）
• 根即据在这中个面假内设无，应中变面发内生的。应中变面分内量的εx位，移εy和函γ数xy均w（等x于,y零）， 称为挠度函数。
0
u-zw x
-zvw （5-1）
y
u-zw x
-vzw （5-1） y
式（5-1）表示，薄板内坐标为（x,y,z） 的任一点，分别在x和y方向的位移沿板厚 方向呈线性分布，中面处位移为零，在上、 下表面处位移最大。
利用式（a）的第一、第二和第四式， 得应变分量的表示式
x x 2w 2z
• 一、薄板中的位移分量和应变分量的表示式 • 二、薄板中的应力分量表示式 • 三、薄板横截面上的内力表示式
一、薄板中的位移分量和应变分量的表示式
根据上述第一假设，由几何方程知（a）式
x
u x
成立.
由式（a）的第三式可知，在板内所有的点，
y
v y
位板内移各分点量的w只位是移x分和量y的w沿函厚数度而方与向z无是关相，同的故。 z
方程简化为
x
E
1 2
x
y
y
E 1 2
y
x
xy
E
2 1
xy
x
Ez 1
2
2w x2
2w y 2
y
Ez 1
2
2w y2
2w x 2
xy
Ez 1
2w xy
（5-3）
这是薄板小挠度弯曲时，主要应力σx，σy和τxy与挠度w的关 系式。可见它们沿板的厚度也是呈线性分布，其在中面上为零， 在上、下板面处达到极值。
下面将通过引入这样的近似假设，建立薄板弯
曲问题的基本方程和基本关系式以及各种支承
情况下的边界条件，并讨论几种常用的薄板弯
曲问题。
第五章 薄板的小挠度弯曲
• §5-1 基本概念与计算假定 • §5-2 薄板内力 • §5-3 薄板弯曲的基本方程 • §5-4 边界条件 • §5-5 四 边 简 支 矩 形 薄 板 的 重 三 角 级 数 解
(Navier解) • §5-6 矩形薄板的三角级数解(Levy解) • §5-7 圆形薄板的弯曲
§5-1 基本概念与计算假定
• 板 、板面、板边 、板厚 • 薄膜 • 薄板：当板厚与板面内
最小特征尺寸之比在 1/80～1/5之间时 • 厚板 • 挠度 • 小挠度问题：挠度与板 厚之比小于或等于1/5 • 大挠度问题
次要应力分量
• 按假设，σz，τxz和τyz应为零，实际上， 它们只是远小于σx，σy和τxy的次要的 应力分量，对于它们所引起的变形可略 去不计，但对于维持平衡，它们不能不 计。为了求得它们，现考虑不计体力的 平衡微分方程：
x x
yx y
zx z
0
xy x
y y
zy z