专项练习二与圆有关的角圆心角定理、圆周角定理为圆中角的等量关系提供了丰富的理论依据，圆中确定角相等一般按弧所对角来确定，要特别注意直径与直角的关系．1.如下图，AE∥CD，连结AO，∠AOC=40°，那么所对的圆心角的度数为(A).A.40°B.50°C.60°D.30°(第1题)(第2题)(第3题)(第4题)2.如下图，AB是⊙O的一条弦，且OD⊥AB于点C，所对的圆周角∠DEB=35°，那么∠AOD的度数是(C).A.35°B.55°C.70°D.110°3AB，那么弦AB3.如下图，在⊙O中，圆心O到弦AB的距离OD=6所对圆心角的度数为(C).A.60°B.90°C.120°D.1 50°4.如下图，量角器的外缘边上有A，P，Q三点，分别表示读数180°，70°，30°，那么∠PAQ的度数为(D).A.10°B.30°C.40°D.20°5.如下图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，A C于点D，E，那么以下判断：①BD=CD；②BD=DE；③AE=DE；④△AB C为锐角三角形.其中正确的判断有(C).A.1个B.2个C.3个D.4个(第5题)(第6题)(第7题)(第8题)6.如下图，⊙O的圆心O在正方形网格的格点上，A，B两点在⊙O上，并且也在格点上，C为⊙O上一点，那么∠ACB= 45°．7.如下图，，AD为⊙O的弦，假设∠BAD=50°，那么∠A ED= 75°．8.如下图，AC为⊙O的直径，B，D，E都是⊙O上的点，那么∠A+∠B+∠C= 90°．图1图2〔第9题〕9.如下图，在⊙O中，半径OA与弦BD垂直，点C在⊙O上，∠AO B=80°.(1)假设点C在优弧BD上，求∠ACD的大小.(2)假设点C在劣弧BD上，直接写出∠ACD的大小.【答案】(1)∵AO⊥BD，∴=.∴∠AOB=2∠ACD.∵∠AOB=80°，∴∠ACD=40°.〔第9题答图〕(2)①如答图所示，当点C1在上时，∠AC1D=∠ACD=40°.②如答图所示，当点C2在上时，∵∠AC2D+∠ACD=180°，∴∠AC2D=140°.综上所述，∠ACD=140°或40°.(第10题)10.如下图，在平面直角坐标系中，以点M(0，3)为圆心，23为半径作⊙M交x轴于A，B两点，交y轴于C，D两点，连结AM并延长交⊙M于点P，连结PC交x轴于点E、(1)求点C，P的坐标．(2)求证：BE=2OE、〔第10题答图〕【答案】(1)如答图所示，连结PB.∵PA是⊙M的直径，∴∠PBA=90°.∵MO⊥AB，∴PB∥MO,OB=OA=3.∴PB=2OM=23.∴点P坐标为(3，23).∵MC=23.OM=3,∴OC=MC-OM=3.∴点C的坐标为(0，-3).(2)如答图所示，连结AC.∵AM=MC=23，AO=3，OC=3.∴AM=M C=AC=23.∴△AMC为等边三角形.∵AP为⊙M的直径，∴∠ACP=90°.∴∠OCE=30°.∴OE=1.∴BE=OB-OE=2.∴BE=2OE.11.如下图，过等腰三角形ABC三边的中点D，F，G作⊙O，并与两腰AB，AC分别相交于点H，E，假设∠B=72°，那么∠BDH等于(C).A.32°B.34°C.36°D.72°(第11题)(第12题)(第13题)12.如下图，A，B，C是⊙O上的三个点，∠AOB=2∠BOC，那么以下说法中，正确的选项是(D).A.∠OBA=∠OCAB.四边形OABC内接于⊙OC.AB=2BCD.∠OBA+∠BOC=90°13.如下图，四边形ABCD为矩形，△ACE为以AC为底的等腰直角三角形，连结BE分别交AD，AC于点F，N，CM平分∠ACB交BN于点M.给出以下结论：①BE⊥ED；②AB=AF；③EM=EA；④AM平分∠BAC.其中正确的结论有(D).A.1个B.2个C.3个D.4个14.如下图，AB是⊙O的直径，的度数是60°，的度数是20°，且∠AFC=∠BFD，∠AGD=∠BGE，那么∠FDG的度数为50°．(第14题) (第15题)15.如下图，AB=AC=AD，∠ABD=50°，∠BDC=30°，那么∠CBD= 10°.16.如下图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AC，点D为垂足，E是BC上一点，G是DE的中点，OG的延长线交BC于点F．(1)线段OD，BC所在直线有怎样的位置关系？写出你的结论，并给出证明过程．(2)线段BE，EF，FC三者之间有怎样的数量关系？写出你的结论，并给出证明过程．(第16题)【答案】(1)OD∥BC.证明：∵AB是⊙O直径，C是⊙O上一点，∴∠ACB=90°，即BC⊥AC.∵OD⊥AC，∴OD∥BC.(2)EF=BE+FC.证明：∵OD ⊥AC ，∴AD=DC.∵O 为AB 的中点，∴O D 是△ABC 的中位线.∴BC=2OD.∵∠ODG=∠FEG ，DG=EG ，∠GOD=∠GFE ，∴△ODG ≌△FEG.∴O D=EF.∴BC ＝BE+EF+FC=2OD=2EF.∴EF=BE+FC.17.如下图，是劣弧，M 是的中点，B 为上任意一点.自点M 向BC 引垂线，垂足为点D ，求证：AB+BD=DC 、(第17题)〔第17题答图〕 【答案】如答图所示，在CD 上取点N ，使CN=AB ，连结CM ，MN.∵M 是的中点，∴. ∴AM=CM.∵AB ＝CN ，∠BAM=∠BCM ，AM ＝CM ，∴△ABM ≌△CNM.∴BM=MN.∵MD ⊥BN ，∴BD=DN.∴AB+BD=CN+DN ＝CD.(第18题)18.如下图，A ，B 是⊙O 上的两个定点，P 是⊙O 上的动点(不与点A ，B 重合)，我们称∠APB 是⊙O 上关于点A ，B 的滑动角．(1)∠APB 是⊙O 上关于点A ，B 的滑动角.①假设AB 是⊙O 的直径，那么∠APB= 90° .②假设⊙O 的半径是1，AB=2，求∠APB 的度数．(2)O2是⊙O1外一点，以点O2为圆心作一个圆与⊙O1交于A ，B 两点，∠APB 是⊙O1上关于点A ，B 的滑动角，直线PA ，PB 分别交⊙O2于点M ，N(点M 与点A ，点N 与点B 均不重合)，连结AN ，试探索∠AP B 与∠MAN ，∠ANB 之间的数量关系．【答案】 (1)①90°②如答图1所示，连结AB ，OA ，OB.在△AOB 中，∵OA=OB=1,AB =2，∴OA2+OB2=AB2.∴∠AOB=90°.当点P 在优弧APB 上时，∠APB=21∠AOB=45°.当点P 在劣弧AB 上时，∠AP ′B=21 (360°-∠AOB)=135°.(2)根据点P 在⊙O1上的位置分为以下四种情况.图1图2图3图4图5〔第18题答图〕①如答图2所示，点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点B 在点P与点N之间.∵∠MAN=∠APB+∠ANB，∴∠APB=∠MAN-∠ANB.②如答图3所示，点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点N 在点P与点B之间.∵∠MAN=∠APB+∠ANP=∠APB+(180°-∠ANB)，∴∠APB=∠MA N+∠ANB-180°.③如答图4所示，点P在⊙O2外，且点M在点P与点A之间，点B 在点P与点N之间.∵∠APB+∠ANB+∠MAN=180°，∴∠APB=180°-∠MAN-∠ANB.④如答图5所示，点P在⊙O2内.∠APB=∠MAN+∠ANB.(第19题)19.如下图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB于点D，且∠COD=60°，E为上一动点(不与点B，C重合)，过点E分别作于EF⊥AB于点F，EG⊥OC于点G．现给出以下四个命题：①∠GEF=60°；②CD=GF；③△GEF一定为等腰三角形；④点E在上运动时，存在某个时刻使得△GEF为等边三角形．其中正确的命题是①②④(写出所有正确命题的序号).〔第20题〕〔第20题答图〕20.【上海】如下图，⊙O是△ABC的外接圆，，点D在边BC 上，AE∥BC，AE=BD.(1)求证：AD=CE.(2)如果点G在线段DC上(不与点D重合)，且AG=AD，求证：四边形AGCE是平行四边形.【答案】(1)在⊙O 中，∵，∴AB=AC.∴∠B=∠ACB.∵AE ∥B C ，∴∠EAC=∠ACB.∴∠B=∠EAC.在△ABD 和△CAE 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE BD EAC B CA AB ，∴△ABD ≌△CAE(SAS).∴AD=CE. (2)如答图所示，连结AO 并延长，交边BC 于点H.∵，OA 为半径，∴AH ⊥BC.∴BH=CH.∵AD=AG ，∴DH=HG.∴BH -DH=CH -GH ，即BD=CG.∵BD=AE ，∴C G=AE.∵CG ∥AE ，∴四边形AGCE 是平行四边形.21.如图1所示，AB 是⊙O 的直径，C 是上的一个动点(点C 与点A ，B 不重合)，连结AC ，D 是的中点，作弦DE ⊥AB ，垂足为点F. (1)假设点C 和点E 不重合，连结BC ，CE 和EB ，当△BCE 是等腰三角形时，求∠CAB 的度数.(2)假设点C 和点E 重合，如图2所示，试探索AB 与AC 的数量关系并说明理由.图1图2〔第21题〕图1 图2 〔第21题答图〕【答案】(1)连结OC ，当△BCE 是等腰三角形时，分两种情况：①当时，如答图1所示，∴CE=BC.设的度数为x °，那么的度数为x °，的度数为2x °.∵DE ⊥AB ，AB 为直径，∴.∴的度数为3x °.∵D 是的中点，∴的度数为6x °∴的度数为2x °+3x °=5x °.又∵AB 的度数为180°，∴5x=180，解得x=36.∴∠CAB=21×36°=18°.②当CE=BE 时，如答图2所示.∴.设的度数为x °，那么的度数为x °.∵DE ⊥AB ，AB 为直径，∴.∴的度数为3x °.∵D 是的中点，∴的度数为6x °.∴的度数为4x °.又的度数为180°，∴4x=180，解得x=45.∴的度数为90°.∴∠CAB=21×90°＝45°. 综上所述，当△BCE 是等腰三角形时，∠CAB 的度数是18°或45°. (2)AC=23AB.理由如下：设的度数为x °，那么的度数为x °.∵D 是的中点，∴,且其度数为2x °.∴的度数为3x °.∵的度数为180°，∴3x=180，解得x=60.∴∠A=30°.∵AB 为⊙O 的直径，∴A C=23AB.。