变量代换在微积分中的体现
简单的东西总是容易使人理解和信服，科学的主要任务就是寻找复杂现象背后的基本规律，因此牛顿第二定律只是F=Ma 一个表达式这么简单，但其丰富内涵不言而喻。
对于数学简单与准确更是不变的追求。
可是在处理一些数学问题时常因表达式的繁琐、怪异而找不到突破口，联想到“曹冲称象”的故事，转变研究对象，问题就会变得简便易操作。
具体到数学上就是变量代换的运用。
把某个式子（多项式或函数）用另一个新的变量代替，从而使问题简化，这叫变量代换，也叫换元法。
其实质是转化，关键是设定变量，依据是等量代换，目的就是变换研究对象使复杂问题简单化，非标准问题标准化。
在众多的数学方法中，变量代换因其直观性，可操作性以及非凡的化简能力受到重视。
微积分是高等数学的核心内容，变量代换在微积分中得到了充分体现，其形式灵活多样不拘一格。
具体的技巧有比值代换，三角代换，倒代换，极坐标变换，等价无穷小等等。
形式多样拓宽了解题思路但也会因其灵活而不好把握。
不过只要明白了本质，明确解题目的则有利于解题能力提升和数学思维的培养。
极限理论是微积分的基础，学习极限往往需要求解一些极限，极限的解法很多。
运用两个重要极限以及等价无穷小可以很好体现变量代换的作用。
下面先给出两个重要极限：
lim
X→0SinX
X
=1 lim x→∞
(1+1x )x
=e
怎样利用其求极限，举例分析，例如求 lim X→0
tan3X X
的极限。
可令U=3X 则X=U/3
经适当变形lim
X→0
tan3X X
=lim
U→0
sinU U
3
cosU
=3不难发现主要是把X →0时tan3X X
这样的0
0型化成3X →0时
sinU U
3
cosU
这样的可计算的极限，再通过极限运算法则求解。
由此不难推广到X 为任意形式，
即令U=U(X)当X →0时U →0便可得到lim
u→0sinU
U
=1即
lim x→0sinU(x)
U(x)
=1
同样对lim x→∞
(1+1x
)x
=e 令U=U(X)当X →X 0或X →∞U →∞则
lim U→∞
(1+1
U(x))
U(x)
=e
例如计算 lim x→∞
(1−1x
)kx
( k 为整数) 的极限
令 t=-x x →∞时 t →∞ lim x→∞
(1−1
x
)kx = lim t→∞
(1+1
t
)t(−k)=
1e k
另外等价无穷小的代换可有效简化表达式如求极限lim
x→0
1−cos2x
x
注意到当x →0
1-cos2x ~2x 2
直接代入表达式可化简得lim x→0
zx 2
xcosx =lim x→0
2x
sinx =2 等价无穷小虽简单有效但需要记
忆一些公式，否则很容易出错。
在运用等价变换的过程中要注意其等价条件是否成立，这也是变量代换的基本原则之一，
即要等价性，另一方面还考虑是否简化了运算即简便行原则。
在这两个前提下可适当选取变量来达到化简的目的。
变量代换的另一特点在于其桥梁和纽带的作用，运用其作为中间变量来思考问题而不必真的设出变量，当然设出变量并不影响结果但主要是辅助性手段。
可以说复合函数本身就体现了变量代换的方法，对于复合函数求导直接利用公式即可，有时候写出中间变量反而增加书写量，例如求y=ln(1+X 2)的导数，可设U=1+X 2 则y ′=(ln U )’U ’=
2x 1+x 2
也可以直接把1+X 2
作为一整体，运用复合函数求导法则得到y ′=2x
1+x 2 。
当然变量代换作用不容忽视。
例如： 设f(x)=x(x-1)(x-2)⋯(x-100) 求f ′(0)。
直接求解比较麻烦可以 设g(x)= (x-1)(x-2)⋯(x-100)
则 f(x)=xg(x)这时对f ′ (x )求导得 f ′ (x)=g(x)+x g ′(x) f ′(0)=g(0)+0∙g ′(0)=g(0)=100! 这里的变量代换实际上是构造函数，好像已经超出变量代换的范围，不过要说的是变量代换的思想已经渗透到数学的每一部分中，比如说复合函数极大的丰富了初等函数的类型，但其运用到的技巧中包含变量代换，因此单纯的谈论某一方法并没有多大意义，具体来说只是更好的理解其本质。
积分学极大的拓宽了数学的应用，多重积分的计算最终都是化为定积分。
定积分与不定积分的计算中换元法又起着重要作用，可以说没有了变量代换定积分将变得举步维艰，其形式的多变灵活充分展现了定积分的解题艺术。
我们先看一道题目 例如求I=∫
1+ln X (X ln X)2
dx 其中（x ln x)’=1+ln x
设 U= X ln X 则∫u ′
u 2dx=∫u −2du=- 1
u
+c
这里用到的是第一类换元法，即凑微分法。
主要是设中间变量U=φ(X)且φ(X)可微，便可得
到∫g (x )dx=∫[φ(x )]φ′(x)dx=[∫f (u )du ]u=φ(x )
把函数g(x)积分转化为f(u)的积分。
如果是选择变量代换x=φ(t )可将∫f (x )dx 化为∫φ(t )φ′(t)dt 例如求I =∫x+√a 2−x 2
为正常数)
可令x =asint xϵ(0,a ) t ϵ(0,π2⁄) 则I=∫COSt
sint+cost
π2
⁄0
dt=∫sinudu
cosu+sinu π2
⁄0
令u=2⁄-t=∫dt π
2⁄
0=π4
这两类换元法的应用并没有严格的界限，可以适当的选择。
再比如求I=∫X 3(1+X 2)2
dX
可以令
U=1+x 2 I= 1
2∫
U−1
U 2
du=12ln |u |+ 121u +c= 12ln(1+x 2)+12（1+x 2）
+c
也可以令
x=tant 则dx=set 2tdt I=∫sin 3t
cost dt =−∫
1−cos 2t sint
dcost =−ln |cost|+12cos 2t +c =12ln(1+x 2)+
12（1+x 2）
+c
由此可以看出换元不拘一格，可以随意选取变量来尽可能减少运算，对于两类换元法一般应先考虑凑微分法，在考虑第二类换元法。
在二重积分的计算中我们经常用到极坐标即 x=ρcosθ y=ρsinθ 极坐标是变量代换的一种特殊形式，其效果显而易见。
例如求I=∫dy ∫(x 2+y 2)√a 2−y 2
a
0dx
如果直接利用X 型，Y 型区域计算，因为牵扯到根式化简显得比较麻烦且极易出错，联想到积分区域是圆，考虑用极坐标，
其中0≤θ≤π2 0≤r ≤a ⁄则
I=∫dθ∫r 2a 0π2⁄
∙rdr =
π2[r 44]0a =π8
a 4 可是有时候积分区域很特殊。
即使借助极坐标也无法完成，这时就需要寻求一种更有效的方法，也就是二重积分换元法更一般的形式。
如果要计算I=∬x 2y 2dxdy 其中积分区域D 由曲线xy=1和xy=2直线y=x 和y=4x 所围成的 第一象限区域这样一个问题。
我们画出积分区域以后发现既非X 型也非Y 型。
极坐标也派不上用场，怎么办？
这时可设 xy=u x 2=v 积分区域D ′就变成了Y 型。
又J ϑ(x,y)ϑ(u,v)=−1
2v ≠0
D ′={(u,v)|1≤u ≤4,u ≥4v,u ≤v} 则I=-∬U 2D ′
∙12V dudv =−12∫du ∬dv =7
3u u 4
21ln 2 由此可见选择适当的坐标可以有效的简化运算。
三重积分的思想方法与二重积分一样，只是增加了一个变量以后可以选择不同的坐标来计算，我们知道不同的坐标只是变量代换的形式不同而已，但要特别注意在选择时要理解被积函数与积分区域的关系，以及积分上下限的等效变换。
对于积分概念的推广即曲线积分和曲面积分，其中主要用到的变量代换就是运用参数方程来 求解，其实质是第二类换元法，可以说参数方程简便，准确解决了曲线积分和曲面积分的计算问题，虽然不称其为变量代换但应明白它的内涵和本质。
以上通过实例粗略分析了变量代换方法在极限理论，微分学，不定积分和定积分、二重积分、三重积分以及曲线积分和曲面积分中的基本应用。
可以看出变量代换方法贯穿微积分的始终，几乎渗透到每一种方法中去。
理解其本质转化思想，对于变量代换的应用会更加得心应手，不过这一切的获得都依赖于大量的练习。