古典概型与几何概型时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题6分，共48分)1．(2011·理，4)如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点．若在矩形ABCD 部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 部的概率等于( )A.14 B.13 C.12 D.23【答案】 C【解析】 本题主要考查几何概型．∵E 为CD 的中点，则△AEB 的面积为矩形面积的一半， ∴所求概率为P ＝121＝12，故选C.2．为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为( )A.3181 B.3381 C.4881 D.5081【答案】 D【解析】 运用对立事件的概率的求法，可先求不获奖的概率为P 1＝3×25－335，所以获奖概率为P ＝1－P 1＝5081，选D.3．电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为( )A.1180B.1288C.1360D.1480 【答案】 C【解析】 由时间特点知后2个数字之和最大为5＋9＝14， 故前2个数字之和不能小于9， 前2个数字只可能为：09,18,19.∴只有在09：59,18：59,19：58与19：49时，四个数字之和为23.又一天共有60×24＝1440分钟， 即只能显示1440个数字， ∴所求概率为41440＝1360.4．(2011·哈六中期末)在区间[－π2，π2]上随机取一个数x ，则cos x 的值介于0到12之间的概率为( )A.13B.2πC.12D.23【答案】 A【解析】 ∵0≤cos x ≤12，x ∈[－π2，π2]，∴－π2≤x ≤－π3或π3≤x ≤π2，∴所求概率为P ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π3π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝13，故选A.5．(2011·学普教育中心联考版)在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A.π12 B ．1－π12C.π6 D ．1－π6【答案】 B【解析】 以点O 为圆心，半径为1的半球的体积为V ＝12×43πR 3＝2π3，正方体的体积为23＝8，由几何概型知：点P 到点O 的距离大于1的概率为P (A )＝1－23π8＝1－π12，故选B.6．(2010·，3)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b >a 的概率是( )A.45 B.35 C.25 D.15【答案】 D【解析】 设从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，组成实数对{a ，b }，共有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)共15种，其中b >a 的有(1,2)，(1,3)，(2,3)3种，所以b >a 的概率为315＝15.故选D.7．ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )A.π4 B ．1－π4C.π8 D ．1－π8【答案】 B【解析】 要使点到O 的距离大于1，则点需落在以O 为圆心，1为半径的圆之外，∴P＝2－π22＝1－π4，∴选B.8．(2011·理，10)甲乙两人一起去游“2011世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参加1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是( )A.136B. 1 9C.536D. 1 6【答案】 D【解析】本题考查排列与组合及概率的计算．甲、乙的游览方式为A46A46，确定一个景点的方式为A35A35，∴P＝6·A35A35A46A46＝1 6.二、填空题(每小题6分，共18分)9．(2011·，13)盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个，若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于________．【答案】3 5【解析】本题主要考查古典概型概率的计算．P＝1－C23＋C22C25＝1－410＝35.10．(2010·)点A为周长等于3的圆周上的一个定点．若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为______．【答案】2 3【解析】 圆周上使弧的长度为1的点M 有两个，设为M 1，M 2，则过A 的圆弧的长度为2，B 点落在优弧上就能使劣弧的长度小于1，所以劣弧的长度小于1的概率为23.11．(2012·八校联考)已知k ∈Z ，AB →＝(k,1)，AC →＝(2,4)，若|AB →|≤4，则△ABC 是直角三角形的概率是________．【答案】 37【解析】 ∵|AB→|＝k 2＋1≤4，∴－15≤k ≤15， ∵k ∈Z ，∴k ＝－3，－2，－1,0,1,2,3，当△ABC 为直角三角形时，应有AB ⊥AC ，或AB ⊥BC ，或AC ⊥BC ，由AB →·AC →＝0得2k ＋4＝0，∴k ＝－2，∵BC →＝AC →－AB →＝(2－k,3)，由AB →·BC →＝0得k (2－k )＋3＝0，∴k ＝－1或3，由AC →·BC →＝0得2(2－k )＋12＝0，∴k ＝8(舍去)，故使△ABC 为直角三角形的k 值为－2，－1或3，∴所求概率P ＝37.三、解答题(共34分)12．(11分)(2010·天津，18)有编号为A 1，A 2，…，A 10的10个零件，测量其直径(单位：cm)，得到下面数据：(1)从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；(2)从一等品零件中，随机抽取2个． ①用零件的编号列出所有可能的抽取结果； ②求这2个零件直径相等的概率．【解析】 (1)由所给数据可知，一等品零件共有6个，设“从10个零件中，随机抽取1个为一等品”为事件A ，则P (A ) ＝610＝35.(2)①一等品零件的编号为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，从这6个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果有：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共有15种，②“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”(记为事件B )的所有可能结果有：{A 1，A 4}，{A 1，A 6}，{A 4，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 5}，{A 3，A 5}，共有6种．∴P (B )＝615＝25.13．(11分)单位正方形ABCD ，在正方形(包括边界)任取一点M ，求：(1)△AMB 面积大于等于14的概率；(2)AM 的长度不小于1的概率．【解析】 (1)如图a ，取BC 、AD 的中点E 、F ，连结EF ，当M 在CEFD 运动时，△ABM 的面积大于等于14，由几何概率定义知P＝S矩形CDFES正方形＝12.(2)如图b，以AB为半径作圆弧，M在阴影部分时，AM长度大于等于1，由几何概率的定义知P＝S阴影S ABCD＝1－12×π2×1＝1－π4.14．(12分)一个均匀的正四面体面上分别涂有1,2,3,4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为b，c.(1)记z＝(b－3)2＋(c－3)2，求z＝4的概率；(2)若方程x2－bx－c＝0至少有一根a∈{1,2,3,4}，就称该方程为“漂亮方程”，求方程为“漂亮方程”的概率．【解析】(1)因为是投掷两次，因此基本事件(b，c)共有4×4＝16个，当z＝4时，(b，c)的所有取值为(1,3)、(3,1)，所以P(z＝4)＝216＝18.(2)①若方程一根为x＝1，则1－b－c＝0，即b＋c＝1，不成立．②若方程一根为x＝2，则4－2b－c＝0，即2b＋c＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，c ＝2，③若方程一根为x ＝3，则9－3b －c ＝0，即3b ＋c ＝9，所以⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2，c ＝3.④若方程一根为x ＝4，则16－4b －c ＝0，即4b ＋c ＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝4.综合①②③④知，(b ，c )的所有可能取值为(1,2)、(2,3)、(3,4)，所以，“漂亮方程”共有3个，方程为“漂亮方程”的概率为P ＝316.。