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数值计算方法既有数学类课程中理论上的抽象性和严谨 性，又有实用性和实验性等技术特征，它是一门理论性 和实践性都很强的课程。在20世纪70年代，大多数学校 仅在数学系的计算数学专业和计算机系开设计算方法这 门课程。随着计算机技术的迅速发展和普及，现在计算 方法课程几乎已成为所有理工科大学生的一门必修课程。
则有方程 设人龟起初相距 S ，两者的速度分别为 V 和 v ，
Vt vt S
易得人追上龟所花的时间是
（1）
S t* V v
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v0 a0
vk x vk 1 ak
(k 1,2,)
——考虑问题1
算 法 流 程 图
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2 迭代法的校正技术
有些问题的“大事化小”过程似乎无法了结。Zeno悖论 强调人“永远”赶不上龟正是为了突出这层含义。这是 一类无限逼近的过程，适于用所谓预报校正技术来处理。
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tk-1
tk
V
v
Sk-1
V Sk
v
图示: 人龟追赶过程
耐人寻味的是，尽管Zeno悖论的论断极其荒谬，但从算法设计思 想的角度来看它却是极为精辟的。Zeno悖论将人龟追赶问题表达 为一连串追赶步的逐步逼近过程。设人与龟的速度分别为与，记 表示逼近过程的第步人与龟的间距，另以表示相应的时间，相邻 两步的时间差。Zeno悖论将人龟追赶问题分解为一追一赶两个过 程：
若用bk表示前k项的部分和，则有
（1）
b0 a0 bk bk 1 ak , k 1,2,, n
则计算结果即为所求的和值：
（2 ）
S bn
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（3）
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考虑
P( x) a0 x a1x
n
n 1
an1x an
ak x
k 0
n
nk
利用缩减技术可得如下算法：
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数值计算方法，是一种研究如何求解数学问题数值近
似解的方法，是在计算机上使用的解数学问题的方法， 简称计算方法。包括直接方法和迭代方法!
数值计算方法的计算对象是线性代数，微积分，常微
S vtk tk 1 , k 0,1,2, V
(2)
Zeno悖论所描述的逼近过程正是这种迭代过程，当 k→∞时，tk →t* （ ——考虑问题2 ）。大家知道， 任何形式的重复都可看成是“时间”的量度。Zeno在 刻画人龟追赶问题中设置了两个“时钟”：一个是日 常的钟，另外Zeno又将迭代次数视为另一种时钟，不 妨称之为Zeno钟。Zeno公式（2）表明，当Zeno钟趋于 ∞时人才能追上龟，Zeno正是据此断言人永远追不上 龟。
分方程中的数学问题。内容包括： 求解线性方程组的数值方法; 计算矩阵特征值和特征向量的数值方法; 非线性方程和非线性方程组的迭代解法; 插值与拟合; 数值微积分; 常微分方程数值解等问题。
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追的过程：先令龟不动，计算人追上龟所费的时间
tk
Sk 1
赶的过程：再令人不动，计算龟在这段时间内爬行的路程
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Sk vtk
V
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数
值
分
析
——插值、拟合与数值微积分
主讲：
刘敬刚
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一、引例 考虑如下线性方程组 a11 x1 a1n xn b1 a x a x b nn n n n1 1 或者： Ax b
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引例
§ 1.1 算法设计技术
古希腊哲学家 Zeno( 芝诺 ) 在两千多年前提出过一个骇人 听闻的命题：一个人不管跑得多快，也追不上爬在他前 面的一只乌龟。这就是著名的Zeno悖论。
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首先看一个简单的例子：
x1 x2 1 2 x1 x2 0
x1 1 x2 2
（若是更高阶的
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二、研究对象和主要内容
实际问题 数学模型 算法设计
应用数学
程序设计
计 算 数 学
上机求解
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方程组呢？）
若行列式用按行（列）展开的方法计算 ， 用克莱姆法则求解（1）需做乘除法的次数: (n 1)(n 1)n ! 当方程组阶数较高时，计算量很大，因此克莱姆法则通常仅有 理论上的价值，计算线性方程组的解还要考虑:
数值解法 = 算法 + 计算机。
人类的计算能力是计算工具和计算方法效率的乘积，提高计算方 法的效率与提高计算机硬件的效率同样重要。科学计算已用到科 学技术和社会生活的各个领域中，成为继实验和理论研究之后的 第三种研究方法。
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数值分析的基本概念
内容:
1、算法设计技术 2、误差 3、数值计算中需要注意的一些问题 4、算法的稳定性 5、病态问题
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Zeno在论证这个命题时采取了如下形式的逻辑推理：设 人与龟同时同向起跑，如果龟不动，那么人经过某段时 间便能追上它；但实际上在这段时间内龟又爬了一段路 程，从而人又得重新追赶，如下图所示，这样每追赶一 次所归结的是同样类型的追赶问题，因而这种追赶过程 “永远”不会终结。
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S0 S , Sk Sk 1 v
V
k 1, 2,
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1 直接法的缩减技术 数列求和问题：
S a0 a1 an
若以人和龟之间的距离 Sk 定义问题的规模大小，则 上述过程将问题规模压缩了 v V 倍：
V v 由于龟的速度远远小于人的速度，故 V 很小，因此
S k S k 1 v
按上述步骤很快问题的规模 Sk 就可以忽略不计，从而 得到人追上龟所花时间 t k ，Zeno的解释可用如下过程 表示：
——Zeno算法 可见，Zeno算法的设计思想是，将人龟追赶计算化归为简单的行 程计算的重复，它的设计方法是逐步压缩计算模型的规模，这种 “化大为小”的设计策略称为规模缩减技术，简称缩减技术。 算法的设计精髓：“简单”的重复生成复杂！
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参考书目：
1 钟尔杰.数值分析.高等教育出版社,2004. 2 颜庆津.数值分析.修订版.北京航空航天大学出版社,2000. 3 李庆扬. 数值分析.清华大学出版社,2001. 4 白峰杉.数值计算引论.高等教育出版社,2004.
5 王能超.计算方法.北京: 高等教育出版社, 2005.
学习过程中应该注意以下几个方面： 认清算法的计算对象； 掌握基本的计算方法及其原理； 用C++语言编制程序，在计算机上对算法进行验
证； 对于算法要勤思考多比较！
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