dI2 dt
e12
d12 dt
M
dI2 dt
式中的负号表示，这些感应电势实际上是一种反电 势，抵制磁通变化或电流变化的。由于每一项都有
一个负号，可以把负号体现在线圈电压的极性上。
20
互感电压的极性
由图可得
v11
L1
dI1 dt
v21
M
dI1 dt
？
v22
L2
dI2 dt
v12
M
dI2 dt
vcdab 0
vcdcd 0
vcd
L2
di2 dt
M di1 dt
di1 0
dt
di2 0 dt
vcdab 0
vcdcd 0
vcd
L2
di2 dt
M di1 dt
di1 0
dt
di2 0 dt
vcdab 0
vcdcd 0
vcd
L2
di2 dt
M di1 dt 28
自感电压与互感电压的关系
线圈1
ø11
(b)
W
1 2
22
21
I2
1 2
L2
I
2 2
1 2
M
21I1I
2
I1 线圈2
I2
整个耦合线圈储能为
I2
ø21
ø12
ø22
W
W1
W2
1 2
L1I12
1 2
L2
I
2 2
1 2 (M12
M 21)I1I2
可见，由于互感的存在，线圈中的储能增加了。
11
已有电流I1的情况下，将I2通过去建立2
dt dt dt
同名端送入电流，两线圈产生的磁通相互加强。
-
2 22 21
i
+
vba2
L
di2 dt
-
M
di1 dt
30
-
-
d2 d22 - d21
dt dt dt
i
+
2 22 -21
15
耦合对线圈储能的影响
进一步研究耦合对线圈储能的影响。改写电感储能公式
令 K M L1L2
W
1 2
L1I12
1 2
L2
I
2 2
M
L1L2 L1L2
I1 I 2
则上式变为
W
1 2
L1I12
1 2
L2 I 2 2
K
L1L2 I1I2
再令 a L1 I1,b L2 I2
16
W 1则(a2 b2 2Kab)
这种方法仍然容易搞错。如图所示，同样的电感L1和 L2，套在一个磁柱上与套在一个磁环上是不同的。在 同一个磁柱上，磁通相加；在磁环两侧，则相减。
头 I1
尾
ø11 ø12 L1
头 I1
ø22ø12 头 I2
头
L1
L2
I2
L2
尾
尾 ø11ø21
尾
ø21 ø22
自感磁通与互感磁通相加
自感磁通与互感磁通相减
di2 dt
di1 0 dt
29
di2 0 dt
vcdab 0
vcdcd 0
vcd
L2
di2 dt
M di1
dt
M di1 dt
- M di1 dt
- M di1 dt
- M di1 - dt
判断同名端的简便方法
i1 +
i2
-
+
vab2
L
di2 dt
M
di1 dt
d2 d22 d21
L1是线圈的自感系数（自感量）。 M21是线圈1和线圈2之间的互感系数（互感量)。
7
自感系数与互感系数（续）
线圈2在电流I2驱动下产生22，与本身交链形成
(a) I1
自感磁链22。它们定义为
ø11
(b)
线圈1
式中L2是线圈2的自感系数。M12是线圈2与线圈1
之间的互感系数。
I1
22 L2I2 12 M12 I2
25
同名端记号“*”标注的两个耦合线圈磁通相加减的各种情形
I1
ø11ø12 I1
*
ø1I21
ø11
I1
*
1
1
1
1
* ø11
ø12
* ø11 ø1
* Mø21
I2
M *
2
2
2
2
ø21ø22
ø21
ø22
ø21ø22
磁通相加
磁通相减
磁通相减
磁通相加
I1 * 1
I2 * 2
L2 I2 )2
也许是储能最小（取负号）
Wmin
1 2
(a
b)2
1 2
(
L1 I1
L2 I2 )2
19
互感的动态行为和模型
驱动电流I1和I2随时间变化，则 相应的磁通也必将随时间变化。
产生感应电势，故有
e11
d11 dt
L1
dI1 dt
e21
d21 dt
M
dI1 dt
e22
d22 dt
L2
L1
dI1 dt
v11
L1
di1 dt
e11
d11 dt
L1
dI1 dt
v11
L1
di1 dt
22
e21
d21 dt
M
di1 dt
vabi
vabs
v21
M
di1 dt
e21
d21 dt
M
di1 dt
-
vabi
vabs
v21
M
di1 dt
判断互感线圈磁通的关系
只要知道电流在导体中的流向，按右手螺旋规则可确定
I1
W 1 LI 2 1 I
线圈1
2
2
I1
与线圈1相交链的不仅有自感磁链 线圈2
I2
11，还有互感磁链12。于是，线
圈1中的储能将为。
I2
ø21
ø12
ø22
W
1 2
11 12
I1
1 2
L1I12
1 2
M12 I1I 2
10
互感的存在使线圈中的储能增加
(a)
与线圈2相交链的除了22外，还有21，故线圈2的 I1 储能为
a
a
c
b
c
b
6
自感系数与互感系数
线圈1在电流I1驱动下产生磁通11
(a) I1
ø11
(b)
与本身交链形成自感磁链11。
线圈1
与线圈2交链形成互感磁链21。
I1
线圈2
I2
互感磁链21与自感磁链11类似，
I2
ø21
ø12
ø22
均由I1产生，只是穿过的线圈不同，
故有 11 L1I1 21 M 21I1
实际电路中，没有耦合的多个电感互相联结的情形是非常少见的，大多数 是有互相耦合的情形。
设有一环形线圈，从a端到b端共有N匝，c点为中心抽头。现求Lab、Lac和 Lcb。
a
a
c
b
c
b
3
分段计算的电感
环形线圈的电感量
2
L KN
Lac
K
N 2
2
1 4
KN
2
1 4
Lab
Lcb
K
N 2
2
通常，把自己产生又同自己交链的磁通称为自感磁通。 同非自己产生相交链的磁通称为互感磁通。考虑到这 些互感磁通后，分段计算与整段计算必将吻合。
5
两个彼此耦合的线圈
环形线圈结构对称，ac段产生的与cb段产生的磁 通在数值上是相等的，故穿过ac段线圈和穿过cb段线 圈的磁通量均加倍了，相应的电感量也加倍，结果与 整段计算完全一致。
2
耦合对线圈储能的影响（续）
由于线圈的储能不可能是负的，故必有
W 1 (a2 b2 2Kab) 0 2
取正号，上式是必然满足的，无需检验。关键 是取负号的情况。要检验在磁通相减的情况下， 储能仍是正确的。即检验
W 1 (a2 b2 2Kab) 0 2
不难看出，这是一个二次方程式，一条抛物线。
i1
+
-
-
+
i2
vcd
L2
di2 dt
di1 0 dt
di2 0 dt
vcdab 0
vcdcd 0
vcd
L2
di2 dt
di1 0 dt
di2 0 dt
vcdab 0
vcdcd 0
vcd
L2
di2 dt
di1 0 dt
di2 0 dt
vcdab 0
vcdcd 0
vcd
L2
一个耦合电路有了同名端和电流方向就可以确定磁 通方向，从而获得互感电压的方向。
27
自感电压与互感电压的关系
i1
+
i2
-
+
-
vcd
L2
di2 dt
M di1 dt
di1 0
dt
di2 0 dt
vcdab 0
vcdcd 0
vcd
L2
di2 dt
M di1 dt
di1 0
dt
di2 0 dt
21
1 2
22
I
2
21I 2
1 2
L2
I