不等式的证明（放缩法）1．设x 0, y 0 ， A x y , B xx y ，则 A, B 的大小关系是（）1 x y 1 1 yA. A BB. A BC. A BD. A B2．已知三角形的三边长分别为a, b, c ，设 M a b , N c , Q a b ，1 a 1 b 1 c 1 a b 则M,N与Q的大小关系是（）A.MNQB. MQNC. QNMD. N Q M 3．设不等的两个正数a, b 满足a3 b3 a2 b2，则a b 的取值范围是（）A. (1, )B. (1, 4C. [1,4D. (0,1] ) ]1 1 1 3134．设A L ，则 A 与1的大小关系是.210 210 1 210 2 211 15．设S 1 1 1L1，则 S 的整数部分为.2 3 1006．已知a,b,c均为正数，且a2 b2 c2 ，求证：c3 a3 b3 c3 .27．设n N1 1 1 1. ，求证：L(2n 1)2 49 258．设n N1 1 1L11 . ，求证：n 1 n 2 2n29．设n N1 1L11. ，求证：42 (2 n)22210．设S n 1 2 2 3 L n ( n 1) ，求证：不等式n( n 1)S n(n 1)22 2对所有的正整数n 都成立.简答：1． B 提示：Ax yxyxyB1 x y 1 x y 1 x y 1 x 1 y2． D 提示：由 ab c ，得1 1 ， 1 a 1 a b 1 c 11 1a b c b a b cc3． B提示：由条件得 a 2ab b 2 a b ，所以 (a b)2a 2 ab b 2a b ，故a b1 . 又 ( a b)2 0 ，可得 3(a 2 ab b 2) 4( a 2 ab b 2 ) ，从而3( a b)2 4( a b) ，所以 ab4 ，故 1 a b 4 .334． A<15． 18提示：因为 n 2 时，n n 1 2 n n n 1 ，所以21 2 ，即 2( n 1n ) 1n 1)nn 1 n n n2( n1n故18 12( 1012)11 1L1 1 2( 100 1)1923 100所以所求整数部分为 18.6．解：由已知可知， 0a c,0b c, a ba 2b 2c 2c, ab2，所以23 3 2222 3332 ab 22c 2 )c 3 ab aga bgb c(ab )c ，a b(a b)(ab )c(c2 2所以原不等式得证 .7．提示：由1 4k2 1 1 4k1 (11) ，累加即得 .(2 k 1)2 4k 1 4k 24 k k 18．提示：1n1 1L1 1 1 L 1 1 1 L 1 n 1.2 2n 2n 2n 2n n 1 n22n n n n n9．提示：1 1 1 1) 11，累加即得 .(2 n)2n 2 n(n n 1 n10．提示：k2 k(k 1) k (k 1)2不等式证明五（放缩法、反证法）目的：要求学生掌握放缩法和反证法证明不等式。
过程：一、简要回顾已经学习过的几种不等式证明的方法提出课题：放缩法与反证法二、放缩法：例一、若a,+求证：b,c,d R ，a b c d21a b d b c a c d b d a c证：记 m= a b c da b d b c a c d b d a c∵ a, b, c, d R+∴ ma b c d1 a b c d a b c a c d a b d a b cma b c d2 a b a b c d d c∴ 1 < m < 2 即原式成立例二、当 n > 2 时，求证： log n ( n 1) log n ( n 1) 1 证：∵ n > 2 ∴ log n (n 1) 0, log n (n 1) 0 ∴log n (n 1) log n (n 2log n (n 22log n (n 1) log n (n 1) 1) 1)2 2log n n 2 212∴ n > 2 时 , log n (n 1) log n ( n 1) 1例三、求证： 1 1112122232n2证：11 1)1 1n 2n(nn 1 n∴1 1 11 11 1 111121 2122232n22 2 3n 1 nn三、 反证法：例四、设 0 < a , b , c < 1 ，求证： (1a )b , (1b )c , (1c ) a , 不可能同时大于141, (11 ,1 ,证：设 (1a )b >b )c > (1c ) a >444则三式相乘： ab < (1a )b ?(1b )c ?(1c ) a <1①64(1 a) 21又∵ 0 < a , b , c < 1∴ 0 (1 a) aa2 4同理： (1b)b1(1 c)c1,44以上三式相乘： (1a ) a ?(1b ) b ?(1c ) c ≤1与①矛盾64∴原式成立例五、已知 a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0 ， abc > 0 ，求证： a , b , c > 0证：设 a < 0,∵ abc > 0,∴ bc < 0又由 a + b + c > 0,则 b + c =a > 0∴ab +bc +ca = ( + c ) +bc < 0 与题设矛盾a b又：若 a = 0 ，则与 abc > 0 矛盾， ∴必有 a > 0同理可证： b > 0,c > 0四、 作业：证明下列不等式：1． 设 x > 0,y > 0, ax y bxy，求证： a < bx, 1 x 11 yy 放缩法： x yxyxy1 x y 1 x y 1 x y 1 x 1 y2． lg9 ?lg11 < 1lg 9lg 112lg 99 22 2lg 9 lg 1112223． log n (n 1) log n (n1) 1log n ( n 2 2log n n 2 2log n (n 1) log n (n 1)1)1224． 若 a > b > c ,则114 0abbcc a1 1122 422a bb c(ab)(bc)b) (b c)ac(a 5．1n 1 1 n 11 1 (n R , n2)n 2n 2左边11 11 1 n2 n 1n n 2n 2n 2nn 26．1n 1 1 n 1 1 12 2 2n 1 n 中式 1 n 12n n 17．已知 , ,> 0, 且 2 + b 2 = c 2，求证： n + n<n( ≥ 3,*)a b caab c nn R∵a 22∴a n2n2b ，又, , c > 0,a ,b bcc1a bcccc∴an bn1cc8．设 0< a , b , c < 2 ，求证： (2a ) c , (2b ) a , (2c ) b , 不可能同时大于 1仿例四9．若x,y > 0，且 x +y >2，则1y和1 x中至少有一个小于 2 x y反设1y≥2，1 x≥2∵x,y> 0，可得x+y≤2与x+y>2矛x y盾用放缩法证明不等式所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。
下面举例谈谈运用放缩法证题的常见题型。
一. “添舍”放缩通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。
例 1.设a，b为不相等的两正数，且a3－ b3＝ a2－ b2，求证1＜a＋b＜4。
3证明：由题设得a2＋ ab＋ b2＝ a＋ b，于是（ a＋ b）2＞ a2＋ ab＋ b2＝ a＋ b，又 a＋ b＞0，得 a＋ b＞1，又 ab＜1（ a＋b）2，而（ a＋ b）2＝ a＋b＋ ab＜ a＋ b＋1（ a＋ b）2，即3（ a 44 4＋ b）2＜ a＋b，所以 a＋ b＜4，故有1＜ a＋b＜4。
3 3例 2. 已知 a 、 b 、 c 不全为零，求证：22 2 2 223a ab b b bc ccac a＞ 2 （a b c ）证明：因为22b 23 2b 2b b a ab b（a2） 4 b ＞ （a2） a2 ≥ a2，同理b 2 bc c 2 ＞b 2c ， c 2 ac a 2 ＞ c a2 。
所以a 2abb 2b 2bcc 2c 2aca 2 ＞3 （ ab c ）2二 . 分式放缩一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。
例 3. 已知 a 、 b 、 c 为三角形的三边，求证： 1＜ a ＋ b ＋ c ＜ 2 。
b ca c a b证明：由于a 、b 、c 为 正数 ， 所 以 a＞ a ， b ＞ b ， b c b cbc a a c ac ＞ c ， a b a b cabc ca b c＝ 1，所以 bc ＋a＋＞ ＋ ＋ ＋ a ＋ ＋ ＋ a ＋ ＋a b a b c b c b cac 为真分数，则 a2ac，又 a ， b ， c 为三角形的边，故 b +c ＞ a ，则 b b c＜ a b同理 b ＜2b ， c ＜ 2c ，a b a b b c a c c aac＋ab＋ a cb＜ a2a2b2c2 .故 b c b c ＋a b c ＋a b ca c bc ac综合得 1 b a b 2 。
三 .裂项放缩若欲证不等式含有与自然数n 有关的 n 项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。
例 4. 已知 n∈N*，求1 1 1 12 n 。
2 3 n证明：因为1 2 22n n1 1 n nn n n 11 ，则1321 12 23 2 22 1 nn 12 n 1 2 nn，证毕。
例 5. 已知n N * 且a n 1 2 2 3 n( n 1) ，求证：n(n 1) a n (n 1) 2 对所有正整数n 都成立。
2 2证明：因为n(n 1) n 2 n ，所以a n 1 2 n n(n 1) ，2又n(nn(n 1)，1)21223 n( n 1) 3 5 2n 1 ( n 1) 2所以 a n 2 2 2 2 2 2 2 ，综合知结论成立。